【数学】广东省肇庆市2020届高三第一次统考试题（理）（解析版） 12页

广东省肇庆市2020届高三第一次统考数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，集合，‎ 所以.‎ 故选C.‎ ‎2.“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)的单调增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，所以当a＝1时，增区间为[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也递增．当f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则有a≤2，所以a＝1不一定成立．“a=1”是“函数在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3.设，向量，，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知，则，‎ 可得．故本题答案应选B．‎ ‎4.已知，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得,‎ 所以.‎ 故答案为C.‎ ‎5.下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）‎ 的共轭复数为的虚部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，，共轭复数为，的虚部为，所以真命题为选C.‎ ‎6.设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（ ）‎ A. －7 B. －4 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，‎ 由题意知,当目标函数表示的直线经过点A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为，故选A.‎ ‎7.若，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】为增函数且，所以A错误.‎ 为增函数且，故，即，‎ 所以，所以B错误；‎ 为减函数且，所以D错误.‎ 为增函数且，故 故选C.‎ ‎8. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，输出的为数列的前三项和，而 ‎，∴，故选B.‎ ‎9.由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），（其中a为常数且a＞0）的图象，需要将f（x）的图象（　 　）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】B ‎【解析】由函数f（x）＝sin2x的图象平移得到g（x）＝cos（ax），‎ 则函数的周期相同即a＝2，‎ 则g（x）＝cos（2x）＝sin（2x）＝sin（2x）＝sin2（x），‎ 则需要将f（x）的图象向向左平移个单位，‎ 故选：B．‎ ‎10.已知函数的图象是下列两个图象中的一个，如图，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数，‎ ‎，‎ 函数是偶函数，其图象关于轴对称，其图象是右边一个图．‎ 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数．‎ 若，且，‎ 则有，故选项错；‎ 若，且，‎ 则有，故B、C选项错；‎ 根据排除法，正确的是D．‎ 故选：D．‎ ‎11.已知函数的图象上任一点处的切线方程为，那么函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. 和 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由切线方程可知 ，令，则或，故选C． ‎ ‎12.已知函数（，且）有3个零点，，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为，显然为函数的一个零点，‎ 当时，令，则，令，‎ 则函数与函数在上有两个交点，‎ ‎，令，‎ 则，‎ 即函数在定义域上为减函数，‎ 又，则当时，，，单增；‎ 当时，，，单减，‎ 结合图象易知，要使函数与函数在上有两个交点，‎ 则，故．‎ 故选：C．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.若等差数列和等比数列满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，‎ 求得，，那么，故答案为.‎ ‎14.在中，已知是边上一点，若，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，是边上一点，，，如图所示，‎ ‎①，‎ ‎，‎ ‎②；‎ ‎①②得，，‎ ‎；．‎ 故答案为：．‎ ‎15.已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为等差数列中，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．‎ 故答案为：6.‎ ‎16.定义在上的函数满足，则的值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 即函数的周期，‎ 则．‎ 即，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知f（x）sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）当x∈[]时，求函数f（x）的最小值．‎ 解:（1）f（x）sinωx﹣22sin（）﹣1，‎ ‎∵函数f（x）的最小正周期为3π，‎ ‎∴ω，‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝2sin（）﹣1，‎ ‎∵x∈[]，∴，‎ ‎∴当，即x时，f（x）min＝21．‎ ‎18.已知△内角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ 解：（1）由于，所以，．‎ 因为，故． ‎ ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． ‎ 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为．‎ ‎19.已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N*，且n≥2）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ 解：（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①‎ ‎，（n∈N*，且n≥2）②‎ ‎①÷②可得：1，‎ 则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，‎ 则1+（n﹣1）＝n，‎ 则Sn＝n2，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，‎ a1＝1也符合该式，‎ 则an＝2n﹣1；‎ ‎（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，‎ 则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；‎ 则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；‎ 则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；‎ ‎③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，‎ 变形可得：Tn．‎ ‎20.已知在中，角，，对应的边分别为，，，若是与的等比中项，是与的等差中项．‎ ‎（1）证明为直角三角形；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎（1）证明：若是与的等比中项，则，‎ 由于是与的等差中项，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 利用正弦定理和余弦定理整理得，‎ 整理得，‎ 所以为直角三角形．‎ ‎（2）解：由（1）可得，‎ 所以，‎ 解得或（负值舍去）．‎ 即．‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设，为正实数且，求证：．‎ 解：（1），‎ 由题意知，代入得，经检验，符合题意，‎ 从而切线斜率，切点为，‎ 切线方程为.‎ ‎（2）不妨设，要证，只需证，‎ 即证，只需证，‎ 设，则，‎ 故在上是单调递增函数，‎ 又，所以，即成立，‎ 所以．‎ 同理，成立．‎ ‎22.设函数．‎ ‎（1）讨论的导函数零点的个数；‎ ‎（2）若对任意，成立，求的取值范围．‎ 解：（1），‎ 令，，为偶函数，先研究，‎ 则，，‎ 在为递增函数，‎ 且，，即在为单调递增函数，‎ 当，即，没有零点，‎ 当，即，有1个零点，‎ 当，即，，‎ 当，，‎ 当，在有1个零点，‎ 为偶函数，在也有有1个零点．‎ 综上：，没有零点；，有1个零点；，有2个零点．‎ ‎（2）,‎ ‎①当时，由（1）知，在为单调递增函数，，‎ ‎②当时，，，‎ 由零点存在性定理知使得，‎ 且在，，即单调递减，与题设不符．‎ 综上可知，时，.‎ ‎ ‎