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- 2021-06-16 发布
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广东省惠州市2020届高三第一次调研考试
文科数学
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合,,则( )
A. ∅ B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可以求出集合M,然后进行交集的运算即可.
【详解】由M中不等式得,解得,即,
,故选B.
【点睛】考查描述法、列举法的定义,以及一元二次不等式的解法,交集的运算.
2.设(i为虚数单位),其中x,y实数,则等于( )
A. 5 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件,列出方程组求解即可得x,y的值,再由复数求模公式计算得答案.
【详解】由,得.
,解得,﹒故选A.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,考查了复数模的求法,是基础题.
3.平面向量与的夹角为,,,则 ( )
A. B. C. 0 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先由,求出,再求出,进而可求出
【详解】因为,所以,所以,
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查向量模的运算,熟记公式即可,属于基础题型.
4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球,其中2个白球,3个黄球.现从该箱子中随机摸出2个球,则这2个球颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数,这2个球颜色不同包含的基本事件个数,由此能求出这2个球颜色不同的概率.
【详解】设2只白球分别为,3只红球分别为,,,从5只球中随机摸两只球,
其可能结果组成的基本事件有:
共10个.
两只球颜色不同包含的基本事件有
共6个,所以所求概率为:
,故选C.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5.若抛物线上的点M到焦点的距离为10,则M点到y轴的距离是( )
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程,利用抛物线的定义转化求解即可.
【详解】抛物线的焦点,准线为,由M到焦点的距离为10,
可知M到准线的距离也为10,故到M到的距离是9,故选C.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.
6.已知函数的最小正周期为,将其图像向右平移个单位后得函数的图像,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用余弦函数的周期公式可求ω,可得函数解析式,根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解.
【详解】由题意得,故,.
,,
.故选A
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,考查了函数
的图象变换规律,属于基础题.
7.等比数列的前项和为,公比为,若,,则( )
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,分析可得等比数列的公比,进而由等比数列的通项公式可得,解可得,又由,解可得的值,即可得答案.
【详解】根据题意,等比数列中,若,则,
若,则,解可得,则,
又由,则有,解可得;
故选:B.
【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前项和的性质.
8.已知函数的图象在和处的切线相互垂直,则( )
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
因为 ,所以 ,由题意有 ,所以,选A.
9.在长方体中,,,,分别为棱,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
在正方体中,连接CF、AC、EF,则BE//CF,把异面直线AF与BE所成的角,转化为相交直线AF与CF所成的角,在中,利用余弦定理求解,即可得到答案。
【详解】在正方体中,连接CF、AC、EF,
则BE//CF,
所以异面直线AF与BE所成的角,即为相交直线AF与CF所成的角,
设角,
在正方体中,得,
在中,由余弦定理可得,
即异面直线AF与BE所成的角的余弦值为0,故选A。
【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角,其中解答中利用平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,放置在三角形中利用正、余弦定理求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.
10.双曲线的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆的公共点的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】
运用离心率公式,即a,b,c的关系,可得,求得渐近线方程,圆心到直线的距离与半径比较即可得到所求关系,即可判断选项.
【详解】由得,,渐近线方程为.
联立方程组整理得.有唯一解,
∴这两条双曲线的渐近线均与圆相切,公共点个数为2个,故选B.
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质:离心率和渐近线,考查直线和圆的位置关系,以及运算求解能力,属于基础题.
11.关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的普丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对,再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是,那么可以估计的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由试验结果知120对0~1之间的均匀随机数,满足
,面积为1,两个数能与1构成钝角三角形三边的数对,满足且, ,面积为,由几何概型概率计算公式,得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积,二者相等即可估计π的值.
【详解】由题意,120名同学随机写下的实数对落在由的正方形内,其面积为1.
两个数能与1构成钝角三角形应满足且,
此为一弓形区域,其面积为.由题意,解得,故选B.
【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题,也考查了几何概率的应用问题,是综合题.
12.已知函数,设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵
∴
∴
∵当时,;当时,
∴当时,,;
当时;
.
∴
∴函数是偶函数
∴当时,易得为增函数
∴,
∵,,
∴
∴
故选D.
二、填空题.
13.已知,则函数的最小值为_______.
【答案】7
【解析】
【分析】
转化函数,通过基本不等式求解即可.
【详解】,,
.
当且仅当,即,即时等号成立.
法二:,令得或,
当时函数单调递减,
当时函数单调递增.
所以当时函数取得最大值为:.
【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用,考查计算能力.
14.设函数,则_____
【答案】4
【解析】
【分析】
根据已知中函数,将自变量的值代入,分析变量的变化规律,可得答案.
【详解】.
【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.
15.等差数列的前n项和为,若,,则的公差为____.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
【详解】①,
,②.
①-②得,,.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由题意画出图形,可知要使 的体积最大,则面⊥面,求出A到平面BCD的距离,则三棱锥A-BCD的体积最大值可求.
【详解】因为球的直径,且,所以,,(其中为点到底面的距离),故当最大时,的体积最大,即当面面时,最大且满足,即,此时.
【点睛】本题考查球内接多面体体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
17.在中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,满足.
(1)求角A;
(2)若的外接圆半径为1,求的面积S的最大值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)化简,再用余弦定理和三角形内角和,即可求出角A.
(2)根据正弦定理求出a,根据余弦定理结合基本不等式以及三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解:(1)由化简得,
由余弦定理
得
又因为,
所以.
(2)由正弦定理得
所以,
当且仅当时取等号.
故(时取等号).
即面积S的最大值为
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式的性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
18.在四棱锥中,平面ABCD,是正三角形,AC与BD的交点为M,又,,点N是CD中点.
(1)求证:平面PAD;
(2)求点M到平面PBC的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)推导出△ABD≌△BCD,从而MN∥AD,由此能证明MN∥平面PAD.
(2)设M到平面PBC的距离为h,由VM-PBC=VP-BMC,能求出点M到平面PBC的距离.
【详解】(1)是正三角形,所以,又,
∴BD所在直线为线段AC的垂直平分线,
所以M为AC的中点,
又点N是CD中点,所以,
又平面PAD,平面PAD,
所以平面PAD;
(2)解:设M到平面PBC的距离为h,在中,,
所以
在中,,所以,
在中,,,,所以.
由.即,
解得.
所以点M到平面PBC的距离为
【点睛】本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
19.某品牌汽车4S店,对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养,汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况,整理得下表:
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机取10辆进行问卷回访.
(1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数目;
(2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度,按照大于等于80为优秀,小于80为合格,得到如下列联表:
优秀
合格
合计
男司机
10
38
48
女司机
25
27
52
合计
35
65
100
问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系?请说明原因.
(参考公式:)
附表:
0.100
0.050
0.010
0.001
K
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1) 分别为2,2,4;(2) 能在犯错误概率不超过0.01前提下,认为司机对4S店满意度与性别有关系.
【解析】
【分析】
(1)确定A型,B型,C型的比例,即可求A型,B型,C型各车型汽车的数目;
(2)由已知列联表中的数据求得观测值,结合临界值表可得结论.
【详解】解:(1)A、B、C型汽车抽取数目分别为,,,
(2)根据题意,
所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为司机对4S店满意度与性别有关系.
【点睛】本题考查分层抽样,考查独立性检验的应用,考查计算能力,是基础题.
20.已知函数y=f(x)=。
(1)求y=f(x)的最大值;
(2)设实数a>0,求函数F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值。
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)令=0,求得极值点,因此可得到单调区间,从而得到最大值;
(2)根据(1)可知F(x)的单调性,得到F(x)在[a,2a]上的最小值为F(a)和F(2a)之中的较小者,作差讨论即可得到结果.
试题解析:(1)=.
令=0得x=e.
因为当x∈(0,e)时,>0,f(x)在(0,e)上为增函数;
当x∈(e,+∞)时,<0,f(x)在(e,+∞)上为减函数,
所以f(x)max=f(e)=。
(2)因为a>0,由(1)知,F(x) 在(0,e)上单调递增,
在(e,+∞)上单调递减,
所以F(x) 在[a,2a]上的最小值F(x)min=min{F(a),F(2a)}。
因为F(a)-F(2a)=,
所以当02时,F(a)-F(2a)>0,F(x)min=F(2a)=ln2a
21.已知椭圆的左顶点为,右焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点,直线分别与轴交于点,在轴上,是否存在点,使得无论非零实数怎样变化,总有为直角?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点,使得无论非零实数怎么变化,总有为直角,点坐标为或.
【解析】
试题分析:(1)依题意,,结合点在椭圆上及,即可求得椭圆的方程;(2)设,则,联立直线与椭圆的方程,求得,,根据得所在直线方程,即可分别得到与的坐标,结合为直角,列出等式,即可求解.
试题解析:(1)依题意,.
∵点在上,
∴,
又∵
∴,
∴椭圆方程为
(2)假设存在这样的点,设,则,联立,解得,
∵
∴所在直线方程为,
∴,
同理可得,,
.
∴或
∴存在点,使得无论非零实数怎么变化,总有为直角,点坐标为或.
点睛: (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.解题时可先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在;
(2)由于解析几何问题的解答中一般要涉及到大量的计算,因此在解题时要注意运算的合理性和正确性.
22.在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程:
(2)若与相交于A、B两点,求的面积.
【答案】(1) 的普通方程为, 的直角坐标方程为; (2)
【解析】
【分析】
(1)由曲线C1的参数方程能求出C1的普通方程,曲线C2的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ,由此能求出C2的直角坐标方程;
(2)求出原点O到直线x+y-3=0的距离为d,化C2的参数方程为普通方程x2+(y-2)2=4,可得C2表示圆心为C2(0,2),半径r=2的圆,求出C2到直线x+y-3=0的距离,再由垂径定理求得|AB|,代入三角形面积公式求解.
【详解】解:(1)消去参数可得的普通方程为,
由,得,
又因为,,
所以的直角坐标方程为.
(2)标准方程为,表示圆心为,半径的圆.
到直线的距离,
故.
原点O到直线的距离
所以.
综上,的面积为.
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化,考查运算求解能力,是中档题.
23.已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,不等式恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1) .(2) .
【解析】
分析】
(1)将a=1代入f(x)中,去绝对值后分别解不等式即可;
(2)x∈(0,1)时,不等式f(x)<x+2恒成立等价于当x∈(0,1)时,|ax-1|<1恒成立,然后分a≤0和a>0讨论即可.
【详解】解:(1)解法1:当时,不等式可化简为.
当时,,解得,所以;
当时,,,无解;
当时,,解得,所以﹒
综上,不等式的解集为.
解法2:当时,
当时,,解得,所以;
当时,,无解;
当时,,解得,所以.
综上,不等式的解集为.
(2)解法1:当时,不等式可化简为.
令,则的图像为过定点斜率为a的一条直线,
数形结合可知,当时,在上恒成立.
所以,所求a的取值范围为
解法2:当时,不等式可化简为.
由不等式的性质得或,
即或.
当时,,不等式不恒成立;
为使不等式恒成立,则.
综上,所求a的取值范围为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,考查了转化思想,属中档题.