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- 2021-06-16 发布
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河北深州市长江中学2019-2020高三上学期12月月考
数 学(文科)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴,
故选A
2.若函数f(x)=为奇函数,则a等于( )
A. 1 B. 2 C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】
由于函数为奇函数,则,化简后可求得的值.
【详解】依题意得,由于函数为奇函数,故,即,对比可得,故选.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.
在利用奇偶性来解题时,主要把握的是,或者.属于基础题.
3.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为( )
A. b>c>a B. c>b>a C. a>b>c D. b>a>c
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】∵x∈(0,1),
∴a=lnx<0,
b=()lnx>()0=1,
0<c=elnx<e0=1,
∴a,b,c的大小关系为b>c>a.
故选A.
【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
4.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数求出,再求导,求函数值,由点斜式写出切线方程.
【详解】∵函数为奇函数,
∴,所以函数,可得,;
曲线在点处的切线的斜率为:,
则曲线在点处的切线的方程为,即.
故选:A
【点睛】本题主要考查奇函数的性质、利用函数的导数求切线方程,属于基础题.
5.正三角形中,是线段上的点,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先用,表示出,再计算即可.
【详解】先用,表示出,再计算数量积.
因为,,则,
所以.
故选:D.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算,属基础题.
6.在下列给出的四个结论中,正确的结论是
A. 已知函数在区间内有零点,则
B. 若,则是与的等比中项
C. 若是不共线的向量,且,则∥
D. 已知角终边经过点,则
【答案】C
【解析】
【分析】
A.运用举反例判定;
B.计算可知错误;
C.由题可得故C正确;
D. 计算可知错误.
【详解】A. 因为函数f(x)在区间(a,b)内有零点,
可取函数f(x)=x2-2x-3,x∈(-2,4),则f(-2)•f(4)>0,所以错;
B.若, 即是是与的等比中项,故B错;
C. 若是不共线的向量,且 故∥,即C正确;
D.已知角终边经过点,则,故D错误.
【点睛】本题考查命题的真假判断,解题时注意运用举反例这一重要数学方法,可快速解决.本题是一道基础题.
7.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则下列说法不正确的是
A. B. 在区间上是增函数
C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心
【答案】D
【解析】
【详解】分析:利用三角函数的图象平移求得,然后逐一分析四个选项得答案.
详解:把函数的图像向平左移个单位,
得到函数图象的解析式
故A正确;
当时,在区间是增函数,故B正确;
是图象的一条对称轴,故C正确; ,∴不是图像的一个对称中心,故D错误.
故选D.
点睛:本题考查 型函数的图象和性质,是基础题.
8.在中,内角,,所对边分别是,,,若,且,则角的大小( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦定理由求出角,再利用余弦定理由求出角,由三角形内角和为即可求得角.
【详解】由正弦定理得
得,所以.
又,得.所以.
故选:B.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属常规考题.
9.已知函数在上单调递增函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数的导数,由函数上单调递增函数得,得,从而求出的范围.
【详解】,由题意可得在上恒成立,
所以,解得.故的取值范围为,
故选:D
【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性,属于基础题.
10.设为等差数列的前项的和,,则数列的前2017项和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设等差数列 的公差为 ,
, ,则数列 的前 项和为
,故选A.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②
;③;
④;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
11.已知函数,若对任意的正数,满足,则的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定函数奇偶性与单调性,再根据奇偶性与单调性化简方程得,最后根据基本不等式求最值.
【详解】因为所以定义域为,
因为,所以为减函数
因为,,所以为奇函数,
因为,所以,即,
所以,
因为,
所以(当且仅当,时,等号成立),选C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
12.已知函数,若对于,,使得,则的最大值为( )
A. e B. 1-e C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
不妨设f()=g()=a,从而可得的表达式,求导确定函数的单调性,再求最小值即可.
【详解】不妨设f()=g()=a,
∴=a,
∴=ln(a+e),=,
故=ln(a+e)-,(a>-e)
令h(a)=ln(a+e)-,
h′(a),
易知h′(a)在(-e,+∞)上是减函数,
且h′(0)=0,
故h(a)在a处有最大值,
即的最大值为;
故选D.
【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用,考查了指对互化的运算,属于中档题.
二、填空题(本题共4道小题,每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上)
13.已知,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由即可求解.
【详解】
.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,属基础题.
14.已知向量夹角,且,则__________.
【答案】
【解析】
试题分析:夹角,,,,.
考点:向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.
【此处有视频,请去附件查看】
15.若曲线与曲线在上存在公共点,则
的取值范围为
【答案】
【解析】
试题分析:根据题意,函数与函数在上有公共点,令得:
设则
由得:
当时,,函数在区间上是减函数,
当时,,函数在区间上是增函数,
所以当时,函数在上有最小值
所以.
考点:求参数的取值范围.
16.将正整数分解成两个正整数的乘积有,,三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称为的最佳分解.当(且、)是正整数的最佳分解时我们定义函数,例如.则的值为______,数列的前项的和为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由,即可求得的值;对于数列,分为奇数、偶数两种情况讨论求出通项公式,再利用公式法求和即可.
【详解】,可得;
当为偶数时,
当为奇数时,
.
故答案为:;.
【点睛】本题主要考查自定义概念的理解及数列的求和问题,属常规考题,难度中等.
三、解答题 (第17题10分,第18题至22题每题12分,共计70分)
17.已知数列满足,
(1)证明是等比数列,
(2)求数列的前项和
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用定义法证明是一个与n无关的非零常数,从而得出结论;
(2)由(1)求出,利用分组求和法求.
【详解】(1)由得,所以,
所以是首项为,公比为的等比数列,,所以,
(2)由(1)知的通项公式为;则
所以
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法,属于基础题.
18.在中,的对边分别为,已知.
(1)求值;
(2)若的面积为,,求的值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(1)根据二倍角和诱导公式可得的值;(2)根据面积公式求,然后利用余弦定理求,最后根据正弦定理求的值.
【详解】(1),
,
所以原式整理为,
解得:(舍)或
,
;
(2),
解得,
根据余弦定理,
,
,
代入解得:,
.
点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形,属于简单题.
19.如图所示,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于,
两点,点.
(1)若点,求的值:
(2)若,求.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)根据计算,,代入公式得到答案.
(2)根据,得到,根据计算得到答案.
【详解】解:(1)因为是锐角,且,在单位圆上,
所以,,,
∴
(2)因为,所以,
且,所以,,可得:,
且,
所以,
.
【点睛】本题考查了三角函数的计算,意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.
20.已知数列的前项和为,点在直线上,
(1)求通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
⑴由点在直线上代入得到的关系,然后求出通项公式
⑵由(1)得,运用错位相减法求出前项和
【详解】(1)点在直线上,,
.
当时, 则,
当时,,
两式相减,得,
所以.
所以是以首项为,公比为等比数列,所以.
(2),
,
,
两式相减得:,
所以.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用,错位相减求和的运用,解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤.
21.如图,有一块边长为 (百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为 (其中点,分别在边,上),设 (百米).
(1)用表示出的长度,并探求的周长是否为定值;
(2)设探照灯照射在正方形内部区域的面积为 (平方百米),求S的最大值.
【答案】(1),为定值;(2).
【解析】
【分析】
(1)求出,设,表示出和,由勾股定理即可求出,再求出周长,即可判断是否为定值;
(2)由求出面积S,由基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】(1)由,得,,设,则,
,,
,是定值;
(2),
由于,则,当且仅当,即时等号成立,
故探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米.
【点睛】本题考查三角函数知识的运用,考查和角公式的运用,考查面积的最值,考查基本不等式求最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
22.已知函数在处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)函数,对其进行求导,在处取得极值,可得,求得值;
(Ⅱ)由知,得令
则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,转化为上恰有两个不同实数根,对对进行求导,从而求出的范围;
【详解】(Ⅰ)时,取得极值,
故解得.经检验符合题意.
(Ⅱ)由知,得
令
则在上恰有两个不同的实数根,
等价于上恰有两个不同实数根.
当时,,于是上单调递增;
当时,,于是在上单调递增;
依题意有 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题,解题过程中用到了分类讨论的思想,分类讨论的思想也是高考的一个重要思想,要注意体会其在解题中的运用,属中档题.