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  • 2021-06-16 发布

河北省衡水市深州市长江中学2020届高三上学期12月月考数学(文)试题

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河北深州市长江中学2019-2020高三上学期12月月考 数 学(文科)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴,‎ 故选A ‎2.若函数f(x)=为奇函数,则a等于(  )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于函数为奇函数,则,化简后可求得的值.‎ ‎【详解】依题意得,由于函数为奇函数,故,即,对比可得,故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.‎ 在利用奇偶性来解题时,主要把握的是,或者.属于基础题.‎ ‎3.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A. b>c>a B. c>b>a C. a>b>c D. b>a>c ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.‎ ‎【详解】∵x∈(0,1),‎ ‎∴a=lnx<0,‎ b=()lnx>()0=1,‎ ‎0<c=elnx<e0=1,‎ ‎∴a,b,c的大小关系为b>c>a.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎4.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数求出,再求导,求函数值,由点斜式写出切线方程.‎ ‎【详解】∵函数为奇函数,‎ ‎∴,所以函数,可得,;‎ 曲线在点处的切线的斜率为:,‎ 则曲线在点处的切线的方程为,即.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质、利用函数的导数求切线方程,属于基础题.‎ ‎5.正三角形中,是线段上的点,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用,表示出,再计算即可.‎ ‎【详解】先用,表示出,再计算数量积.‎ 因为,,则,‎ 所以.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算,属基础题.‎ ‎6.在下列给出的四个结论中,正确的结论是 A. 已知函数在区间内有零点,则 B. 若,则是与的等比中项 C. 若是不共线的向量,且,则∥‎ D. 已知角终边经过点,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.运用举反例判定;‎ B.计算可知错误;‎ C.由题可得故C正确;‎ D. 计算可知错误.‎ ‎【详解】A. 因为函数f(x)在区间(a,b)内有零点,‎ 可取函数f(x)=x2-2x-3,x∈(-2,4),则f(-2)•f(4)>0,所以错; B.若, 即是是与的等比中项,故B错;‎ C. 若是不共线的向量,且 故∥,即C正确;‎ D.已知角终边经过点,则,故D错误.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断,解题时注意运用举反例这一重要数学方法,可快速解决.本题是一道基础题.‎ ‎7.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则下列说法不正确的是  ‎ A. B. 在区间上是增函数 C. 是图象的一条对称轴 D. 是图象的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:利用三角函数的图象平移求得,然后逐一分析四个选项得答案.‎ 详解:把函数的图像向平左移个单位, 得到函数图象的解析式 ‎ 故A正确; 当时,在区间是增函数,故B正确;‎ 是图象的一条对称轴,故C正确; ,∴不是图像的一个对称中心,故D错误. 故选D.‎ 点睛:本题考查 型函数的图象和性质,是基础题.‎ ‎8.在中,内角,,所对边分别是,,,若,且,则角的大小( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理由求出角,再利用余弦定理由求出角,由三角形内角和为即可求得角.‎ ‎【详解】由正弦定理得 得,所以.‎ 又,得.所以.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属常规考题.‎ ‎9.已知函数在上单调递增函数,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数,由函数上单调递增函数得,得,从而求出的范围.‎ ‎【详解】,由题意可得在上恒成立,‎ 所以,解得.故的取值范围为,‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性,属于基础题.‎ ‎10.设为等差数列的前项的和,,则数列的前2017项和为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设等差数列 的公差为 ,‎ ‎ , ,则数列 的前 项和为 ‎ ,故选A.‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②‎ ‎;③;‎ ‎④;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎ ‎11.已知函数,若对任意的正数,满足,则的最小值为( )‎ A. 6 B. ‎8 ‎C. 12 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数奇偶性与单调性,再根据奇偶性与单调性化简方程得,最后根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】因为所以定义域为,‎ 因为,所以为减函数 因为,,所以为奇函数,‎ 因为,所以,即,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以(当且仅当,时,等号成立),选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎12.已知函数,若对于,,使得,则的最大值为(  )‎ A. e B. 1-e C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设f()=g()=a,从而可得的表达式,求导确定函数的单调性,再求最小值即可.‎ ‎【详解】不妨设f()=g()=a,‎ ‎∴=a,‎ ‎∴=ln(a+e),=,‎ 故=ln(a+e)-,(a>-e)‎ 令h(a)=ln(a+e)-,‎ h′(a),‎ 易知h′(a)在(-e,+∞)上是减函数,‎ 且h′(0)=0,‎ 故h(a)在a处有最大值,‎ 即的最大值为;‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用,考查了指对互化的运算,属于中档题.‎ 二、填空题(本题共4道小题,每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上)‎ ‎13.已知,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,属基础题.‎ ‎14.已知向量夹角,且,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:夹角,,,,.‎ 考点:向量的运算.‎ ‎【思路点晴】平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎15.若曲线与曲线在上存在公共点,则 的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意,函数与函数在上有公共点,令得:‎ 设则 由得:‎ 当时,,函数在区间上是减函数,‎ 当时,,函数在区间上是增函数,‎ 所以当时,函数在上有最小值 所以.‎ 考点:求参数的取值范围.‎ ‎16.将正整数分解成两个正整数的乘积有,,三种,其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称为的最佳分解.当(且、)是正整数的最佳分解时我们定义函数,例如.则的值为______,数列的前项的和为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,即可求得的值;对于数列,分为奇数、偶数两种情况讨论求出通项公式,再利用公式法求和即可.‎ ‎【详解】,可得;‎ 当为偶数时,‎ 当为奇数时,‎ ‎.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题主要考查自定义概念的理解及数列的求和问题,属常规考题,难度中等.‎ 三、解答题 (第17题10分,第18题至22题每题12分,共计70分)‎ ‎17.已知数列满足,‎ ‎(1)证明是等比数列,‎ ‎(2)求数列的前项和 ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用定义法证明是一个与n无关的非零常数,从而得出结论;‎ ‎(2)由(1)求出,利用分组求和法求.‎ ‎【详解】(1)由得,所以,‎ 所以是首项为,公比为的等比数列,,所以,‎ ‎(2)由(1)知的通项公式为;则 所以 ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法,属于基础题.‎ ‎18.在中,的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求值;‎ ‎(2)若的面积为,,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据二倍角和诱导公式可得的值;(2)根据面积公式求,然后利用余弦定理求,最后根据正弦定理求的值.‎ ‎【详解】(1),‎ ‎,‎ 所以原式整理为,‎ 解得:(舍)或 ‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2),‎ 解得,‎ 根据余弦定理,‎ ‎,‎ ‎,‎ 代入解得:,‎ ‎.‎ 点睛】本题考查了根据正余弦定理解三角形,属于简单题.‎ ‎19.如图所示,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与单位圆交于,‎ 两点,点.‎ ‎(1)若点,求的值:‎ ‎(2)若,求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据计算,,代入公式得到答案.‎ ‎(2)根据,得到,根据计算得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)因为是锐角,且,在单位圆上,‎ 所以,,,‎ ‎∴‎ ‎(2)因为,所以,‎ 且,所以,,可得:,‎ 且,‎ 所以,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的计算,意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用.‎ ‎20.已知数列的前项和为,点在直线上,‎ ‎(1)求通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由点在直线上代入得到的关系,然后求出通项公式 ‎⑵由(1)得,运用错位相减法求出前项和 ‎【详解】(1)点在直线上,,‎ ‎ . ‎ 当时, 则, ‎ 当时,,‎ ‎ ‎ 两式相减,得, ‎ 所以. ‎ 所以是以首项为,公比为等比数列,所以. ‎ ‎(2), ‎ ‎ ,‎ ‎ , ‎ 两式相减得:, ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的运用,错位相减求和的运用,解题的关键是理解各个概念以及掌握求和的基本步骤.‎ ‎21.如图,有一块边长为 (百米)的正方形区域.在点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为 (其中点,分别在边,上),设 (百米).‎ ‎(1)用表示出的长度,并探求的周长是否为定值;‎ ‎(2)设探照灯照射在正方形内部区域的面积为 (平方百米),求S的最大值.‎ ‎【答案】(1),为定值;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出,设,表示出和,由勾股定理即可求出,再求出周长,即可判断是否为定值;‎ ‎(2)由求出面积S,由基本不等式即可求出面积的最大值.‎ ‎【详解】(1)由,得,,设,则,‎ ‎,,‎ ‎,是定值;‎ ‎(2),‎ 由于,则,当且仅当,即时等号成立,‎ 故探照灯照射在正方形内部区域的面积最大为平方百米.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数知识的运用,考查和角公式的运用,考查面积的最值,考查基本不等式求最值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎22.已知函数在处取得极值.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)函数,对其进行求导,在处取得极值,可得,求得值; (Ⅱ)由知,得令 则关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根,转化为上恰有两个不同实数根,对对进行求导,从而求出的范围;‎ ‎【详解】(Ⅰ)时,取得极值,‎ 故解得.经检验符合题意.‎ ‎(Ⅱ)由知,得 ‎ 令 ‎ 则在上恰有两个不同的实数根,‎ ‎ 等价于上恰有两个不同实数根.‎ ‎ ‎ ‎ 当时,,于是上单调递增;‎ ‎ 当时,,于是在上单调递增;‎ ‎ 依题意有 .‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程 的实数根问题,解题过程中用到了分类讨论的思想,分类讨论的思想也是高考的一个重要思想,要注意体会其在解题中的运用,属中档题.‎