【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第21讲两角和与差的正弦学案 8页

第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)公式S(α±β):sin(α±β)=　　　　　　　　　　　. ‎ ‎(2)公式C(α±β):cos(α±β)= 　　　　　　　　　　　. ‎ ‎(3)公式T(α±β):tan(α±β)=　　　　　　　　　. ‎ 常用结论 ‎1.两角和与差的正切公式的变形:‎ tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).‎ ‎2.二倍角余弦公式的变形:‎ sin2α=‎1-cos2α‎2‎,cos2α=‎1+cos2α‎2‎.‎ ‎3.一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=a‎2‎‎+‎b‎2‎sin(α+φ)其中tanφ=‎ba或f(α)=a‎2‎‎+‎b‎2‎cos(α-φ)其中tanφ=‎ab.‎ 题组一　常识题 ‎1.[教材改编] sin 75°的值为　　　　. ‎ ‎2.[教材改编] 已知cos α=-‎3‎‎5‎,α∈π‎2‎‎,π,则sinα+π‎3‎的值是　　　　. ‎ ‎3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°=　　　　. ‎ ‎4.[教材改编] 已知tan α=‎1‎‎3‎,tan β=-2,则tan(α-β)的值为　　　　. ‎ 题组二　常错题 ‎◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误.‎ ‎5.已知tan‎5π‎4‎+α=‎1‎‎7‎,α∈π‎2‎,π,则cos α的值是　　　　. ‎ ‎6.化简:‎1‎‎2‎sin x-‎3‎‎2‎cos x=　　　　. ‎ ‎7.计算:‎1-tan15°‎‎1+tan15°‎=　　　　. ‎ ‎8.若α+β=‎3π‎4‎,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为　　　　. ‎ 探究点一　两角和与差的三角函数公式 例1 (1)[2018·湘潭模拟] 若sin(2α-β)=‎1‎‎6‎,sin(2α+β)=‎1‎‎2‎,则sin 2αcos β= (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎6‎ D.‎‎1‎‎12‎ ‎(2)[2018·晋城一模] 已知cosα+‎π‎6‎=‎3‎cos α,tan β=‎3‎‎3‎,则tan(α+β)=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.‎ 变式题 (1)[2018·佛山质检] 已知cos α=‎1‎‎7‎,α∈‎0,‎π‎2‎,则cosα-‎π‎3‎= (　　)‎ A.-‎11‎‎14‎ B.‎‎3‎‎3‎‎14‎ C.‎5‎‎3‎‎14‎ D.‎‎13‎‎14‎ ‎(2)[2018·唐山三模] 已知tanα+π‎6‎=1,则tanα-π‎6‎= (　　)‎ A.2-‎3‎ ‎ B.2+‎3‎ ‎ C.-2-‎3‎ ‎ D.-2+‎‎3‎ 探究点二　两角和与差公式的逆用与变形 例2 (1)[2018·烟台一模] 已知cosx-‎π‎6‎=‎3‎‎3‎,则cos x+cosx-‎π‎3‎= (　　)‎ A.-1 B.1 ‎ C.‎2‎‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎ ‎(2)已知sin α+cos β=‎1‎‎3‎,sin β-cos α=‎1‎‎2‎,则sin(α-β)=　　　　. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) asin α+bcos α=a‎2‎‎+‎b‎2‎sin(α+φ)tan φ=ba.‎ 变式题 (1)[2018·河南中原名校联考] ‎2‎‎2‎cos 375°+‎2‎‎2‎sin 375°的值为 (　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎3‎‎2‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎(2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)=　　　　. ‎ 探究点三　角的变换问题 例3 (1)已知α∈‎-π‎3‎,0‎,cosα+‎π‎6‎-sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,则sinα+π‎12‎的值是 (　　)‎ A.-‎2‎‎3‎‎5‎ B.-‎‎2‎‎10‎ C.‎2‎‎3‎‎5‎ D.-‎‎4‎‎5‎ ‎(2)[2018·莆田二模] 已知sin α=‎2‎‎5‎‎5‎,sin(β-α)=-‎10‎‎10‎,α,β均为锐角,则β= (　　)‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[总结反思] 常见的角变换:π‎2‎±2α=2π‎4‎±α,2α=(α+β)+(α-β),α=α+β‎2‎+α-β‎2‎,π‎3‎+α=π‎2‎-π‎6‎-α等.‎ 变式题 (1)[2018·榆林模拟] 若0<α<π‎4‎,-π‎2‎<β<0,cosπ‎4‎‎+α=‎1‎‎3‎,cosπ‎4‎‎-‎β‎2‎=‎3‎‎3‎,则cosα+‎β‎2‎= (　　)‎ A.‎5‎‎3‎‎9‎ B.-‎‎3‎‎3‎ C.‎7‎‎3‎‎27‎ D.-‎‎6‎‎9‎ ‎(2)已知π‎2‎<β<α<‎3‎‎4‎π,cos(α-β)=‎12‎‎13‎,sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,则sin 2α= (　　)‎ A.‎56‎‎65‎ B.-‎‎56‎‎65‎ C.‎16‎‎65‎ D.-‎‎16‎‎65‎ 第21讲　两角和与差的正弦、余弦和正切 考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.‎ ‎【课前双基巩固】‎ 知识聚焦 ‎(1)sin αcos β±cos αsin β　(2)cos αcos β∓sin αsin β　(3)‎tanα±tanβ‎1∓tanαtanβ 对点演练 ‎1.‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎　[解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=‎2‎‎2‎×‎3‎‎2‎+‎2‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎6‎‎+‎‎2‎‎4‎.‎ ‎2.‎4-3‎‎3‎‎10‎　[解析] ∵cos α=-‎3‎‎5‎,α∈π‎2‎‎,π,∴sin α=‎4‎‎5‎,∴sinα+‎π‎3‎=sin αcosπ‎3‎+cos αsinπ‎3‎=‎4‎‎5‎×‎1‎‎2‎+‎-‎‎3‎‎5‎×‎3‎‎2‎=‎4-3‎‎3‎‎10‎.‎ ‎3.-1　[解析] 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1.‎ ‎4.7　[解析] tan(α-β)=tanα-tanβ‎1+tanαtanβ=7.‎ ‎5.-‎4‎‎5‎　[解析] 因为tan‎5π‎4‎+α=tanπ‎4‎+α=‎1‎‎7‎,所以‎1+tanα‎1-tanα=‎1‎‎7‎,所以tan α=-‎3‎‎4‎,又α∈π‎2‎,π,所以cos α=-‎4‎‎3‎‎2‎‎+(-4‎‎)‎‎2‎=-‎4‎‎5‎.‎ ‎6.sinx-‎π‎3‎　[解析] ‎1‎‎2‎sin x-‎3‎‎2‎cos x=cosπ‎3‎sin x-sinπ‎3‎cos x=sinx-‎π‎3‎.‎ ‎7.‎3‎‎3‎　[解析] ‎1-tan15°‎‎1+tan15°‎=tan45°-tan15°‎‎1+tan45°tan15°‎=tan(45°-15°)=tan 30°=‎3‎‎3‎.‎ ‎8.2　[解析] 因为α+β=‎3π‎4‎,所以tan(α+β)=-1,即tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2.‎ ‎【课堂考点探究】‎ 例1　[思路点拨] (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan α,再根据两角和的正切公式求解.‎ ‎(1)B　(2)-‎3‎‎3‎　[解析] (1)由sin(2α-β)=‎1‎‎6‎,sin(2α+β)=‎1‎‎2‎,‎ 可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=‎1‎‎6‎①, ‎ sin 2αcos β+cos 2αsin β=‎1‎‎2‎②,‎ 由①+②得2sin 2αcos β=‎2‎‎3‎,所以sin 2αcos β=‎1‎‎3‎.故选B.‎ ‎(2)∵cosα+‎π‎6‎=‎3‎‎2‎cos α-‎1‎‎2‎sin α=‎3‎cos α,‎ ‎∴-sin α=‎3‎cos α,故tan α=-‎3‎,‎ ‎∴tan(α+β)=tanα+tanβ‎1-tanαtanβ=‎-‎3‎+‎‎3‎‎3‎‎1+‎3‎×‎‎3‎‎3‎=‎-‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎=-‎3‎‎3‎.‎ 变式题　(1)D　(2)D　[解析] (1)∵cos α=‎1‎‎7‎,α∈‎0,‎π‎2‎,∴sin α=‎1-cos‎2‎α=‎1-‎‎1‎‎7‎‎2‎=‎4‎‎3‎‎7‎,‎ ‎∴cosα-‎π‎3‎=cos αcosπ‎3‎+sin αsinπ‎3‎=‎1‎‎7‎×‎1‎‎2‎+‎4‎‎3‎‎7‎×‎3‎‎2‎=‎13‎‎14‎.故选D.‎ ‎(2)由题意知,tanα-‎π‎6‎=tanα+‎π‎6‎‎-‎π‎3‎ ‎=‎tanα+‎π‎6‎-tanπ‎3‎‎1+tanα+‎π‎6‎tanπ‎3‎ ‎=‎1-‎‎3‎‎1+‎‎3‎=-2+‎3‎.故选D.‎ 例2　[思路点拨] (1)首先利用两角差的余弦公式展开cosx-‎π‎3‎,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可.‎ ‎(1)B　(2)-‎59‎‎72‎　[解析] (1)由题可知,cos x+cosx-‎π‎3‎=cos x+cos xcosπ‎3‎+sin xsinπ‎3‎=‎3‎‎2‎cos x+‎3‎‎2‎sin x=‎3‎‎3‎‎2‎cosx+‎1‎‎2‎sinx=‎3‎cosx-‎π‎6‎=‎3‎×‎3‎‎3‎=1.故选B.‎ ‎(2)∵sin α+cos β=‎1‎‎3‎,sin β-cos α=‎1‎‎2‎,∴(sin α+cos β)2=‎1‎‎9‎,(sin β-cos α)2=‎1‎‎4‎,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=‎1‎‎9‎①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=‎1‎‎4‎②,‎ 由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=‎13‎‎36‎,则sin(α-β)=-‎59‎‎72‎.‎ 变式题　(1)A　(2)4　[解析] (1)‎2‎‎2‎cos 375°+‎2‎‎2‎sin 375°=‎2‎‎2‎cos 15°+‎2‎‎2‎sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=‎3‎‎2‎.故选A.‎ ‎(2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4.‎ 例3　[思路点拨] (1)对条件整理可得cosα+‎π‎3‎=‎4‎‎5‎,又α+π‎12‎=α+‎π‎3‎-π‎4‎,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sin β的值,再求角β. ‎ ‎(1)B　(2)C　[解析] (1)由cosα+‎π‎6‎-sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,‎ 得cos αcosπ‎6‎-sin αsinπ‎6‎-sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,即‎3‎‎2‎cos α-‎3‎‎2‎sin α=‎4‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴‎1‎‎2‎cos α-‎3‎‎2‎sin α=‎4‎‎5‎,即cosα+‎π‎3‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎∵α∈‎-π‎3‎,0‎,∴α+π‎3‎∈‎0,‎π‎3‎,‎ ‎∴sinα+‎π‎3‎=‎1-cos‎2‎α+‎π‎3‎=‎3‎‎5‎,‎ ‎∴sinα+‎π‎12‎=sinα+‎π‎3‎‎-‎π‎4‎=‎2‎‎2‎sinα+‎π‎3‎-‎2‎‎2‎cosα+‎π‎3‎=‎2‎‎2‎×‎3‎‎5‎‎-‎‎4‎‎5‎=-‎2‎‎10‎,故选B.‎ ‎(2)因为sin α=‎2‎‎5‎‎5‎,sin(β-α)=-‎10‎‎10‎,且α,β均为锐角,所以cos α=‎5‎‎5‎,cos(β-α)=‎3‎‎10‎‎10‎,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=‎2‎‎5‎‎5‎×‎3‎‎10‎‎10‎+‎5‎‎5‎×‎-‎‎10‎‎10‎=‎25‎‎2‎‎50‎=‎2‎‎2‎,所以β=π‎4‎.故选C.‎ 变式题　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题可知,0<π‎4‎+α<π‎2‎,π‎4‎<π‎4‎-β‎2‎<π‎2‎,所以sinπ‎4‎‎+α=‎2‎‎2‎‎3‎,sinπ‎4‎‎-‎β‎2‎=‎6‎‎3‎,‎ 所以cosα+‎β‎2‎=cosπ‎4‎‎+α-π‎4‎‎-‎β‎2‎=cosπ‎4‎‎+αcosπ‎4‎‎-‎β‎2‎+sinπ‎4‎‎+αsinπ‎4‎‎-‎β‎2‎=‎1‎‎3‎×‎3‎‎3‎+‎2‎‎2‎‎3‎×‎6‎‎3‎=‎5‎‎3‎‎9‎.故选A.‎ ‎(2)因为π‎2‎<β<α<‎3π‎4‎,所以0<α-β<π‎4‎,π<α+β<‎3π‎2‎,由cos(α-β)=‎12‎‎13‎,得sin(α-β)=‎5‎‎13‎,由sin(α+β)=-‎3‎‎5‎,得cos(α+β)=-‎4‎‎5‎,则sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=‎5‎‎13‎×‎-‎‎4‎‎5‎+‎12‎‎13‎×‎-‎‎3‎‎5‎=-‎56‎‎65‎,故选B.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【备选理由】 例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值.‎ 例1　[配合例1使用] [2018·南充模拟] 若tan α=3tan β‎0<β<α<‎π‎2‎,则α-β的最大值为　　　　. ‎ ‎[答案] ‎π‎6‎ ‎[解析] ∵tan α=3tan β‎0<β<α<‎π‎2‎,‎ ‎∴tan β>0,‎ ‎∴tan(α-β)=tanα-tanβ‎1+tanαtanβ=‎2tanβ‎1+3tan‎2‎β=‎2‎‎1‎tanβ‎+3tanβ.‎ ‎∵tan β>0,‎ ‎∴‎1‎tanβ+3tan β≥2‎1‎tanβ‎·3tanβ=2‎3‎,∴tan(α-β)≤‎3‎‎3‎,当且仅当3tan2β=1,即tan β=‎3‎‎3‎时取等号,此时β=π‎6‎,tan α=3tan β,即tan α=‎3‎,α=π‎3‎.‎ 又0<β<α<π‎2‎,∴0<α-β<π‎2‎,‎ ‎∴0