山西省朔州市怀仁某校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试卷 12页

数学（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知命题，，则是成立的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 ‎2．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，长方体中，，，、、‎ 分别是、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．0‎ ‎4．已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．设函数在定义域内可导，的图象如下图所示，则导函数的图象可能是（ ）‎ ‎6．已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知命题存在实数，，满足；命题()．则下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎9．如图所示，在正四面体中，为棱的中点，则与平面的夹角的正弦值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎10.“平面内，动点到两个定点的距离之和为一定值”是“动点的轨迹为椭圆”的（ ）‎ A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 ‎ C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 ‎11．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设点是棱长为2的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）．‎ ‎13．若不等式与关于不等式的解集相同，则_____．‎ ‎14.如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1-2k)y＋1＋5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是 ．‎ ‎15．如图，在长方体中，，，点在 棱上．若二面角的大小为，则________．‎ ‎16．以下四个关于圆锥曲线的命题：‎ ‎①设，是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；‎ ‎②过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若向量．则动点的轨迹是椭圆；‎ ‎③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④双曲线与椭圆有相同的焦点．‎ 其中正确命题的序号为________．‎ 三、解答题：（本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）已知p：，q：，其中 ‎(1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的范围；‎ ‎(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的范围；‎ ‎18．（12分）设函数．‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求的值．‎ ‎19．（12分）已知抛物线的焦点为，点 在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．‎ ‎（1）求抛物线的方程及点的坐标；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎20．（12分）已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形．‎ ‎（1）求几何体的体积；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小．‎ ‎21．（12分）已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于点．‎ 若向量，为坐标原点，求面积．‎ ‎22．（12分）已知函数在处取得极小值．‎ ‎（1）求函数的增区间；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围 理数答案 ‎1．【答案】B ‎【解析】由，得．‎ ‎∵，∴是成立的必要不充分条件．故选B．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】由双曲线，可得，离心率为，‎ 则，所以双曲线的渐近线方程为，故选C．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则可得，，，，，，‎ 设异面直线与所成的角为，则，故选D．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】，∵在上是单调函数，‎ 且的图象是开口向下的抛物线，∴恒成立，∴，‎ ‎∴，故选D．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】在上为增函数，在上变化规律是减→增→减，‎ 因此的图象在上，，在上的符号变化规律是 负→正→负，故选A．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】由导函数图象可知，时，，即单调递增，‎ 又为锐角三角形，则，即，‎ 故，即，故，故选A．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】当时，满足，故命题是真命题，则是假命题，‎ 当时，，，不等式不成立，故命题是假命题，则是真命题，‎ 则是真命题，其余为假命题．故选A．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点，准线方程为，‎ 圆的圆心为，半径为1，‎ ‎，，‎ 由抛物线定义知：点到直线的距离，‎ ‎∴的最小值即到准线距离，‎ ‎∴的最小值为，故选B．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】在正四面体中，设棱长为，为棱的中点，‎ 如下图所示过做平面，‎ 则为平面的中心，延长交于，过做，‎ 连接，所以就是所求的与平面的夹角．‎ 所以，求得，‎ 所以，利用，解得，‎ 所以，，在中，，故选B．‎ ‎10．B ‎11．【答案】D ‎【解析】∵点在椭圆的外部，∴，，‎ 由椭圆的离心率，‎ ‎，又因为，且，‎ 要恒成立，即，‎ 则椭圆离心率的取值范围是．故选D．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】设在平面上的射影为，在平面上的射影为，平面与平面和平面成的锐二面角分别为，，则，，，，设到距离为，则，，‎ 即点在与直线平行且与直线距离为的直线上，到的最短距离为，‎ 故答案为A．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由有，，由于绝对值不等式的解集和 的解集相同，故，，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得．‎ ‎14．. 15．【答案】‎ ‎【解析】以为原点，以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 设，平面的法向量为，‎ 由题可知，，，，，，‎ 平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为，‎ 为平面的法向量，‎ ‎，令，则，‎ 二面角的大小为，，即，‎ 解得，（舍去），，故答案为．‎ ‎16．【答案】③④‎ ‎【解析】①不正确；若动点的轨迹为双曲线，则要小于，为两个定点间的距离，‎ 当点在顶点的延长线上时，，显然这种曲线是射线，而非双曲线；‎ ‎②不正确；根据平行四边形法则，易得是的中点，根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，设圆心为，那么有，即恒为直角，由于是圆的半径，是定长，而恒为直角，也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，所以点的轨迹是一个圆，如图，‎ ‎③正确；方程的两根分别为和可分别作为椭圆和双曲线的离心率；‎ ‎④正确；双曲线与椭圆焦点坐标都是，故答案为③④．‎ ‎17.解：设p对应集合，q对应集合 ‎(1)当p是q的充分不必要条件时， 故且 ‎ (2) 当p是q的必要不充分条件时，‎ 当时，，满足条件 当且时，得，综上可知 ‎ ‎．18．【解析】函数的定义域为，，‎ ‎（1）当时，，∴当时，，‎ 当时，，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）当时，，‎ 即在上单调递增，故在上的最大值为，因此．‎ ‎19．【解析】（1），．‎ ‎（2）由题意，显然直线斜率不为0，‎ 设直线，联立，得，‎ 设，，，，‎ ‎，‎ 所以，当时，最大值为9．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由该几何体的三视图可知平面，且，．‎ ‎∴，∴几何体的体积．‎ ‎（2）分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系，则：，，，．所以，，，‎ 设平面的法向量为，，∴，于是可以取．‎ 设与平面所成的角为，则：．‎ ‎∴与平面所成的角为．‎ ‎21．【解析】（1）设点为曲线上任意一点，‎ 由得，整理得为所求．‎ ‎（2）设，，且，‎ 由得，∴，‎ 依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点，‎ 故可化为，‎ 由得，‎ 且，又，∴，‎ 消去，整理得，即，‎ ‎∴的面积．‎ ‎22．【解析】（1），由题意知，，‎ 即，解得，则，‎ 令，解得，或，‎ 所以函数的增区间为，．‎ ‎（2）由于，，，，‎ 则当时，的最大值为，要使对恒成立，只要，即，解得或．‎ 所以实数的取值范围是．‎