【数学】2020届江苏一轮复习通用版15-2双曲线作业 11页

‎15.2　双曲线 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 双曲线的定义及标准方程 求双曲线的标准方程 ‎★☆☆‎ 双曲线的几何性质 双曲线的几何性质及简单运用 ‎2015江苏,12‎ 双曲线的几何性质 两直线的距离公式 ‎★★★‎ ‎2016江苏,3‎ 双曲线的几何性质 ‎2017江苏,8‎ 双曲线的几何性质 两直线的交点 ‎2018江苏,8‎ 双曲线的几何性质 点到直线的距离公式 分析解读　　双曲线几乎是江苏高考的必考内容之一,考查的频率比较高,主要是考查双曲线的几何性质,题型以填空题为主,难度不大,主要是基础题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　双曲线的定义及标准方程 ‎1.已知方程x‎2‎‎2+λ-y‎2‎‎1+λ=1表示双曲线,则λ的取值范围是　　　　　　　　. ‎ 答案　(-∞,-2)∪(-1,+∞)‎ ‎2.已知双曲线C的渐近线方程为y=±2x,且经过点(2,2),则C的方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎3‎-y‎2‎‎12‎=1‎ 考点二　双曲线的几何性质 ‎1.(2018江苏启东期中)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎ ‎2.(2018江苏连云港模拟)已知双曲线E:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　. ‎ 答案　2‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　求双曲线方程的方法 ‎　分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程:‎ ‎(1)虚轴长为12,离心率为‎5‎‎4‎;‎ ‎(2)焦距为26,且经过点M(0,12);‎ ‎(3)渐近线方程为y=±‎1‎‎2‎x,且经过点(4,‎3‎).‎ 解析　(1)设双曲线的标准方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1或y‎2‎a‎2‎-x‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0).由题意知,2b=12,e=ca=‎5‎‎4‎,‎ 所以b=6,c=10,a=8.‎ 所以双曲线的标准方程为x‎2‎‎64‎-y‎2‎‎36‎=1或y‎2‎‎64‎-x‎2‎‎36‎=1.‎ ‎(2)因为双曲线经过点M(0,12),‎ 所以M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上,且a=12.‎ 因为2c=26,所以c=13.所以b2=c2-a2=25.‎ 所以双曲线的标准方程为y‎2‎‎144‎-x‎2‎‎25‎=1.‎ ‎(3)解法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±‎1‎‎2‎x,‎ 所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).‎ 因为双曲线过点(4,‎3‎),所以λ=16-4×(‎3‎)2=4,所以双曲线的标准方程为x‎2‎‎4‎-y2=1.‎ 解法二:因为渐近线y=‎1‎‎2‎x过点(4,2),而‎3‎<2,‎ 所以点(4,‎3‎)在渐近线y=‎1‎‎2‎x的下方(如图).‎ 所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0).‎ 由已知条件可得ba‎=‎1‎‎2‎,‎‎16‎a‎2‎‎-‎3‎b‎2‎=1,‎解得a‎2‎‎=4,‎b‎2‎‎=1,‎所以双曲线的标准方程为x‎2‎‎4‎-y2=1.‎ 方法二　求双曲线离心率(范围)的方法 ‎1.(2019届江苏前黄高级中学期中)已知F1,F2是双曲线E:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=‎1‎‎3‎,则E的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎ ‎2.(2018江苏海门四校联考)设双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(01,则双曲线x‎2‎a‎2‎-y2=1的离心率的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(1,‎2‎)‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·江苏卷题组 ‎1.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为‎3‎‎2‎c,则其离心率的值是　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎2.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎‎7‎-y‎2‎‎3‎=1的焦距是　　　　. ‎ 答案　2‎‎10‎ ‎3.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是　　　　. ‎ 答案　2‎‎3‎ ‎4.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　双曲线的定义及标准方程 ‎1.(2018天津文改编,7,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎3‎-y‎2‎‎9‎=1‎ ‎2.(2018浙江改编,2,4分)双曲线x‎2‎‎3‎-y2=1的焦点坐标是　　　　　　　　. ‎ 答案　(-2,0),(2,0)‎ ‎3.(2017课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎4.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,且与椭圆x‎2‎‎12‎+y‎2‎‎3‎=1有公共焦点,则C的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎5‎=1‎ ‎5.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为‎2‎.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎8‎-y‎2‎‎8‎=1‎ ‎6.(2015北京,10,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y2=1(a>0)的一条渐近线为‎3‎x+y=0,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎3‎ ‎7.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,‎3‎),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4‎7‎x的准线上,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎3‎=1‎ ‎8.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎5‎-y‎2‎‎20‎=1‎ ‎9.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率;‎ ‎(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.‎ 解析　(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以ba=2,所以c‎2‎‎-‎a‎2‎a=2,故c=‎5‎a,‎ 从而双曲线E的离心率e=ca=‎5‎.‎ ‎(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎4‎a‎2‎=1.‎ 设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,‎ 则|OC|=a,|AB|=4a,‎ 又因为△OAB的面积为8,‎ 所以‎1‎‎2‎|OC|·|AB|=8,‎ 因此‎1‎‎2‎a·4a=8,解得a=2,‎ 此时双曲线E的方程为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.‎ 若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.‎ 以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1也满足条件.‎ 设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,‎ 则C‎-mk,0‎.记A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=kx+m,‎y=2x得y1=‎2m‎2-k,同理得y2=‎2m‎2+k.‎ 由S△OAB=‎1‎‎2‎|OC|·|y1-y2|得,‎ ‎1‎‎2‎‎-‎mk‎·‎2m‎2-k‎-‎‎2m‎2+k=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎4‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.‎ 因为4-k2<0,‎ 所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),‎ 又因为m2=4(k2-4),‎ 所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.‎ 因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.‎ 解法二:‎ 由(1)知,双曲线E的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎4‎a‎2‎=1.‎ 设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 依题意得-‎1‎‎2‎2或k<-2.‎ 由y=kx+m,‎‎4x‎2‎-y‎2‎=0‎得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,‎ 因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=‎-‎m‎2‎‎4-‎k‎2‎,‎ 又因为△OAB的面积为8,‎ 所以‎1‎‎2‎|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=‎4‎‎5‎,‎ 所以‎2‎‎5‎x‎1‎‎2‎‎+‎y‎1‎‎2‎·x‎2‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎2‎=8,化简得x1x2=4.‎ 所以‎-‎m‎2‎‎4-‎k‎2‎=4,即m2=4(k2-4).‎ 由(1)得双曲线E的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎‎4‎a‎2‎=1,‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎4‎a‎2‎=1‎得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,‎ 因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,‎ 即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,‎ 所以双曲线E的方程为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.‎ 当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1有且只有一个公共点.‎ 综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎16‎=1.‎ 评析本题主要考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类与整合思想、函数与方程思想.‎ 考点二　双曲线的几何性质 ‎1.(2018课标全国Ⅲ文改编,10,5分)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎2‎,则点(4,0)到C的渐近线的距离为　　　　. ‎ 答案　2‎‎2‎ ‎2.(2018课标全国Ⅰ理改编,11,5分)已知双曲线C:x‎2‎‎3‎-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎3.(2018课标全国Ⅲ理改编,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=‎6‎|OP|,则C的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎4.(2017课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y‎2‎‎3‎=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎5.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎6.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　. ‎ 答案　y=±‎2‎‎2‎x ‎7.(2015课标Ⅰ改编,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:x‎2‎‎2‎-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF‎1‎·MF‎2‎<0,则y0的取值范围是　　　　. ‎ 答案　‎‎-‎3‎‎3‎,‎‎3‎‎3‎ ‎8.(2016天津文改编,4,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的焦距为2‎5‎,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎-y2=1‎ ‎9.(2016天津理改编,6,5分)已知双曲线x‎2‎‎4‎-y‎2‎b‎2‎=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎12‎=1‎ ‎10.(2015重庆改编,10,5分)设双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+a‎2‎‎+‎b‎2‎,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是　　　　　　. ‎ 答案　(-1,0)∪(0,1)‎ ‎11.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎12.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(2‎7‎,8)‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2013江苏,3,5分)双曲线x‎2‎‎16‎-y‎2‎‎9‎=1的两条渐近线的方程为　　　　. ‎ 答案　y=±‎3‎‎4‎x ‎2.(2017北京文,10,5分)若双曲线x2-y‎2‎m=1的离心率为‎3‎,则实数m=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎3.(2014课标Ⅰ改编,4,5分,0.472)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ ‎4.(2013课标全国Ⅰ理改编,4,5分)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎5‎‎2‎,则C的渐近线方程为　　　　. ‎ 答案　y=±‎1‎‎2‎x ‎5.(2016浙江理改编,7,5分)已知椭圆C1:x‎2‎m‎2‎+y2=1(m>1)与双曲线C2:x‎2‎n‎2‎-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则e1e2与1的大小关系为　　　　. ‎ 答案　e1e2>1‎ ‎6.(2016北京,12,5分)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(‎5‎,0),则a=　　　;b=　　　　. ‎ 答案　1;2‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2019届江苏崇川期初)双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的离心率为‎3‎,则其渐近线方程为　　　　　　. ‎ 答案　y=±‎2‎x ‎2.(2019届江苏金陵中学周考)已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为　　　　　　. ‎ 答案　x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎12‎=1‎ ‎3.(2018江苏扬州中学期初)已知方程x‎2‎m‎2‎‎+n-y‎2‎‎3m‎2‎-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-1,3)‎ ‎4.(2018江苏南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x‎2‎‎16‎-y‎2‎‎9‎=1的焦点到其渐近线的距离为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎5.(2019届江苏盐城中学质检)已知双曲线x2+my2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m的值是　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎4‎ ‎6.(2019届江苏姜堰中学期中)已知点F是双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(1,2)‎ ‎7.(2018江苏苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则该双曲线的离心率为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎2‎ ‎8.(2019届江苏海门实验学校期初)已知双曲线x2-y‎2‎‎3‎=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则PA‎1‎·PF‎2‎的最小值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ 二、解答题(共30分)‎ ‎9.(2018江苏启东中学月考)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2‎13‎,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求椭圆和双曲线的方程;‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.‎ 解析　(1)由题意知c=‎13‎,设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),双曲线方程为x‎2‎m‎2‎-y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0),‎ 则a-m=4,‎‎7·‎13‎a=3·‎13‎m,‎解得a=7,m=3.则b=6,n=2.‎ 故椭圆方程为x‎2‎‎49‎+y‎2‎‎36‎=1,双曲线方程为x‎2‎‎9‎-y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,‎ 所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2‎13‎,‎ 所以cos∠F1PF2=‎‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎-|‎F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎‎2|PF‎1‎||PF‎2‎|‎ ‎=‎1‎0‎‎2‎+‎4‎‎2‎-(2‎‎13‎‎)‎‎2‎‎2×10×4‎=‎4‎‎5‎.‎ ‎10.(2019届江苏清江中学质检)已知椭圆C1的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.‎ ‎(1)求双曲线C2的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+‎2‎与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且OA·OB>2,求k的取值范围.‎ 解析　(1)设双曲线C2的方程为x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0),‎ 则a2=4-1=3,c2=4,‎ 又a2+b2=c2,所以b2=1,‎ 故双曲线C2的方程为x‎2‎‎3‎-y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+‎2‎代入x‎2‎‎3‎-y2=1,得(1-3k2)x2-6‎2‎kx-9=0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,‎ 得‎1-3k‎2‎≠0,‎Δ=(-6‎2‎k‎)‎‎2‎+36(1-3k‎2‎)>0,‎ ‎∴k2<1且k2≠‎1‎‎3‎.①‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=‎6‎2‎k‎1-3‎k‎2‎,x1x2=‎-9‎‎1-3‎k‎2‎.‎ ‎∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+‎2‎)(kx2+‎2‎)=(k2+1)x1x2+‎2‎k(x1+x2)+2=‎3k‎2‎+7‎‎3k‎2‎-1‎.‎ 又∵OA·OB>2,即x1x2+y1y2>2,‎ ‎∴‎3k‎2‎+7‎‎3k‎2‎-1‎>2,即‎-3k‎2‎+9‎‎3k‎2‎-1‎>0,解得‎1‎‎3‎