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- 2021-06-16 发布
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高一数学期中试卷
一、选择题
1.下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用终边相同的角的公式判断分析得解.
【详解】由题得角在第一象限，角在第四象限，角在第三象限，
，所以角在第二象限，
，所以角在第一象限，与角终边相同.
故选：
【点睛】本题主要考查终边相同的角的公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2.下列各式化简后的结果为的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简判断即得解.
【详解】A. ,所以选项A错误；
B. ，所以选项B错误；
C. ，所以选项C正确；
D. ，所以选项D错误.
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式的化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3.若角的终边经过点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解方程检验即得解.
【详解】由题得.
经检验不满足方程，所以舍去.
故.
故选：
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.设向量，，则的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得.
所以.
所以的夹角等于.
故选：
【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5.的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用和角的正弦公式化简求值得解.
【详解】由题得.
故选：
【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6.，，大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简，再利用函数的单调性比较和的大小即得解.
【详解】由题得，
因为函数在单调递增，
所以.
故得.
故选：
【点睛】本题主要考查诱导公式和正切函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7.如果先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移个单位长度，那么最后所得图象对应的函数解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的平移变换分析解答即得解.
【详解】先将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再将所得图象向上平移个单位长度得到.
故选：
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8.使成立的的一个变化区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简已知得，再解不等式即得解.
【详解】由题得.
所以
当时，
因为.
故选：
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9.已知函数的部分图象如图所示，那么函数的解析式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由图象可求其周期，从而可求得，由的最值可求，再根据求出，解析式可得．
【详解】由图象得，，，
，
，
由题得
所以
当时，.
所以.
故选：．
【点睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，难点是对的确定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据对任意实数成立，进而可得到、是函数对应的最大、最小值的，得到一定是的奇数倍，然后求出函数的最小正周期，根据可求出求出最小值．
【详解】，
、是函数对应的最大、最小值的，
故一定是的奇数倍.
因为函数的最小正周期
的最小值为.
故选：
【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，考查基础知识的简单应用．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化基础知识的夯实．
二、填空题
11.已知，，则______.
【答案】或
【解析】
【分析】
确定在第一和第二象限，再写出方程的解.
【详解】因为，，
所以在第一和第二象限，所以或.
故答案为：或
【点睛】本题主要考查三角函数的象限符号和特殊角的三角函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12.已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为______，面积为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
直接利用扇形弧长和面积公式计算得解.
【详解】由题得扇形的弧长扇形面积.
故答案为：(1). (2). .
【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
13.若向量满足，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
把两边平方化简即得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14.某城市一年中个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示.已知月份的平均气温最高，为℃，月份的月平均气温最低，为℃，则月份的平均气温为______℃.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出方程组，求出，求出年中12个月的平均气温与月份的三角函数关系，将代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得，
解得，
所以
令得.
故答案为：20.5
【点睛】本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，根据解析式求函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
15.若函数（值不恒为常数）满足以下两个条件：
①为偶函数；
②对于任意的，都有.
则其解析式可以是______.（写出一个满足条件的解析式即可）
【答案】等（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题得函数的图象关于直线对称，是偶函数，根据函数的性质写出满足题意的函数.
【详解】因为对于任意的，都有，
所以函数的图象关于直线对称.
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为.
因为，所以函数是偶函数.
令，
所以函数图象关于直线对称.
故答案为：等（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题
16.已知，且为第三象限角.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）-5（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）化简，再代入已知得解；
（Ⅱ）先根据已知求出，，再代入即得解.
【详解】解：（Ⅰ）因为，
，
所以
（Ⅱ）由，得，
又，所以，
注意到为第三象限角，可得，.
所以
.
【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）当时，与共线，求的值；
（Ⅲ）若，且与的夹角为，求.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由得方程即得解；
（Ⅱ）先求出，由题得，解方程即得解.
（Ⅲ）先求出，即得.
【详解】解：（Ⅰ）∵，∴.
即，∴.
（Ⅱ）当时，.
与共线.
所以.
（Ⅲ）∵，，
∴.
∵与的夹角为，
∴.
∴.
∴.
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查向量平行的坐标表示，考查平面向量的数量积及运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18.已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ）最小正周期为.单调递减区间为，（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）化简已知得，再求函数的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）先求出，由题得，解不等式即得解.
【详解】解：（Ⅰ）.
所以的最小正周期为.
因为的单调递减区间为，
所以令，
解得，
因此的单调递减区间为，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
由题意知.所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为.
所以，即.
所以最小值为.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．
（）设集合，，分别求和．
（）若集合，求证：．
（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（2）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得，；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．
（3）l（A）存在最小值，设，所以．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．
试题解析：
（）由，，，，，得，
由，，，，，得．
（）证明：∵最多有个值，
∴，
又集合，任取，，
当时，不妨设，则，
即，
当，时，，
∴当且仅当，时，，
即所有的值两两不同，
∴．
（）存在最小值，且最小值为，
不妨设，可得，
∴中至少有个不同的数，即，
取，则，即的不同值共有个，
故的最小值为．
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