安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 11页

安徽省安庆市桐城中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜‎0”‎是“a＜b”的（）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　） 7816  6572  0802  6314  0702  4369  9728  0198 3204  9234  4935  8200  3623  4869  6938  7481．‎ A. 08 B. ‎07 ‎C. 02 D. 01‎ 3. 若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B的关系是（）‎ A. 互斥不对立 B. 对立不互斥 C. 互斥且对立 D. 以上答案都不对 4. 已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为（　　）‎ A. ：, B. ：, C. ：, D. ：,‎ 5. 焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为,则椭圆的标准方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 6. 已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 方程（3x-y+1）（y-）=0表示的曲线为（）‎ A. 一条线段和半个圆 B. 一条线段和一个圆 C. 一条线段和半个椭圆 D. 两条线段 9. 已知α，β∈（0，π），则“sinα+sinβ＜”是“sin（α+β）＜”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 1. ‎“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础，刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据=2.0946）（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知椭圆，点P是椭圆上在第一象限上的点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为A，若|OA|=2b，则椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知椭圆C：，直线y=x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA•kPB∈，则离心率e的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 命题“若x=1且y=2，则x+y=‎3”‎的逆否命题是______‎ 5. 为配合学校对学生进行交通安全教育，特作如下随机调查：向被调查者提出两个问题： （1）你的学号是偶数吗？ （2）你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）问题，否则回答第（2）问题．被调查者不必告诉调查人自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都如实做了回答． 如果随机调查了300人，其中有90人回答了“是”，由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是______‎ 6. P为椭圆上一点，A（1，0），则|PA|最小值为______‎ 7. 已知椭圆Γ：（a＞b＞0），过其右焦点F且倾斜角为30°的直线与Γ相交A，B两点，且，则椭圆Γ离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 8. 已知命题P：关于x的方程x2+（m-3）x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1．命题q：∃x∈（-1，1），使x2-x-m=0成立，命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆 （1）若命题s为真，求实数m的取值范围； （2）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围． ‎ 9. 已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+2（a为常数）． （1）求不等式f（x）＞0的解集； （2）当a＞0时，若对于任意的x∈[3，4]，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎ ‎ 1. 在平面直角坐标系中，M（1，0），N（4，0），动点R满足|RN|=2|RM|． （1）求点R的轨迹方程C； （2）过点P（1，0）的直线l与（1）中的轨迹方程C交于点A，B，且|PA|=2|PB|．求直线l的方程． ‎ 2. 已知在圆M：（x+1）2+y2=12内有一点A（1，0）．Q为圆M上一点，AQ的垂直平分线与点M，Q的连线交于点P，记点P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）若，求△PMA的面积． ‎ 3. 电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离． 为了解A，B两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A，B两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：‎ 电动摩托车编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A型续航里程（km）‎ ‎120‎ ‎125‎ ‎122‎ ‎124‎ ‎124‎ B型续航里程（km）‎ ‎118‎ ‎123‎ ‎127‎ ‎120‎ a 已知A，B两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等． （1）求a的值； （2）求A型号被测试电动摩托车续航里程方差和标准差的大小； （3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A，B型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过‎122km的概率． （注：n个数据x1，x2…，xn的方差s2=[（x1-）2+（x2）2+（xn-）2]其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ ‎ ‎ 1. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）． （1）求椭圆C的方程； （2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题．根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解． 【解答】 解：∵a，b∈R，（a-b）a2＜0， ∴a＜b成立， 由a＜b，则a-b＜0，∴（a-b）a2≤0， 所以，根据充分必要条件的定义可判断得： a，b∈R，则“（a-b）a2＜‎0”‎是a＜b的充分不必要条件， 故选A． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复． 可知对应的数值为08，02，14，07，01， 则第5个个体的编号为01． 故选：D． 根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案. 本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题． 【解答】 解：若是在同一试验下，由P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件， 但若在不同试验下，虽然有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立， 所以事件A与B的关系是不确定的． 故选D. 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题， 即命题的否定是：￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0， 故选：C． 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 ​本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，属于基础题． ​利用椭圆的简单性质列出方程，求解即可． 【解答】 ​解：焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为， 可得a+b=10， ​‎2c=4，c=2，即a2-b2=20， 解得a2=36，b2=16， 所求椭圆方程为：． 故选C． 6.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ​对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假． 【解答】 解：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题． 对于命题q：由x2-x-1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题． ∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q）， 故选B． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数， 由于输出的数为4， 故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率， 从集合A中任取三个数有=10种取法， 其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法， 故概率P=． 故选：C． 由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，古典概型，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】​解：由方程（3x-y+1）（y-）=0得y-=0（-1≤x≤1）或3x-y+1=0， ∴方程（3x-y+1）（y-）=0表示一条线段和半个圆． 故选：A． 由原方程可得y-=0（-1≤x≤1）或3x-y+1=0，进一步求出的轨迹得答案． 本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义，是中档题． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】解：∵α，β∈（0，π），sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ＜， ∴α，β∈（0，π），则“sinα+sinβ＜”是“sin（α+β）＜”的充分不必要条件． 故选：A． α，β∈（0，π），sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ＜，即可判断出结论． 本题考查了三角函数化简、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题． 10.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式，属中档题． 由几何概型中的面积型及正六边形、圆的面积公式得：=0.8269，所以=0.8269，又=2.0946，所以π≈3.1419，得解． 【解答】 解：由几何概型中的面积型可得： ​=0.8269， 所以=0.8269， 所以=2.0946， 所以π≈3.1419， 故选：A． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：如图，F1由题意，|OA|=2b，所以|F1B|=4b， 又|PF2|=|PB|，|F1B|=|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|=‎2a=4b， 所以a=2b，c=，所以e=， 故选：C． 由中位线定理得到|F1B|=4b，再利用椭圆的定义得到a=2b，代入求出即可． 本题利用了椭圆的定义，中位线定理等，求出离心率，中档题． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题. 设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），求kPA•kPB的值得到a，b的不等式，再计算e的范围即可. 【解答】 解：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（-x1，-y1）， ∴kPA•kPB=‎ ‎， 又，， 两式做差，得， ∴kPA•kPB=，故． 所以． 故选：B． 13.【答案】若x+y≠3，则x≠1或y≠2． ‎ ‎【解析】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为： 若x+y≠3，则x≠1或y≠2， 故答案为：若x+y≠3，则x≠1或y≠2． 根据逆否命题的定义直接进行求解即可． 本题主要考查四种命题的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础． 14.【答案】30 ‎ ‎【解析】解：要调查300名学生， 在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同， ∴第一个问题可能被询问150次， ∵在被询问的150人中有75人学号是偶数，而有90人回答了“是”， ∴估计有90-75=15个人闯过红灯，即在150人中有15个人闯红灯， ∴根据概率的知识来计算这300人中有过闯过红灯的人数为15×2=30， 故答案为：30． 在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，第一个问题可能被询问150次，在被询问的150中有75人学号是奇数，比90人多出来的人数就是闯过红灯的人数，按照比例得到结果． 本题考查实际推断原理和假设检验，是一个基础题，但是题干比较长，这样给我们读懂题意带来困难，不能弄懂题意是本题的难点，属于中档题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：椭圆上一点，A（1，0），设P（2cosa，sina）， 则|PA|2=（2cosa-1）2+sin‎2a =3cos‎2a-4cosa+2 =3（cosa-）2+， 当cosa=时，|PA|最小值为． 故答案为： 设椭圆的参数方程P（2cosa，sina），根据距离公式求最值即可． 本题利用参数方程法，两点间的距离公式，配方法求出最值，中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：利用椭圆的极坐标方程|AF|=，|BF|=|=， 由，得ecosa=，所以e=． 故答案为： 利用椭圆的极坐标方程和，求出e． 考查焦半径的计算，离心率的计算，基础题． 17.【答案】解：（1）命题s为真时，即命题s：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆为真； ∴4-m＞m＞0，∴0＜m＜2； 故命题s为真时，实数m的取值范围为：（0，2）； （2）当命题p为真时，f（x）=x2+（m-3）x+m满足f（1）＜0‎ ‎， 即‎2m-2＜0，所以m＜1． 命题q为真时，方程m=x2-x在（-1，1）有解， 当x∈（-1，1）时，x2-x∈[，2），则m∈[，2）， 由于p∨q为真，￢q为真； 所以q为假，p为真； 则，得；∴m＜； 故p∨q为真，￢q为真时，实数m的取值范围为（-∞，）． ‎ ‎【解析】（1）结合椭圆的标准方程，求出命题为真命题的等价条件即可． （2）若p∨q为真，￢q为真时，则p真假q，求出对应的范围即可． 本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题p，q，s为真命题的等价条件是解决本题的关键．属于基础题． 18.【答案】解：（1）不等式f（x）＞0化为ax2-（a+2）x+2＞0， 即（ax-2）（x-1）＞0， ①a=0时，不等式变为-2（x-1）＞0，解得x＜1； ②a＞0时，不等式变为（x-）（x-1）＞0， 若a＞2，则＜1，解得x＞1或x＜， 若a=2，则=1，解得x≠1， 若0＜a＜2，则＞1，解得x＞或x＜1； ③a＜0时，不等式变为（x-）（x-1）＜0，解得＜x＜1； 综上所述，不等式f（x）＞0的解集为： a=0时，x∈（-∞，1）； ​0＜a＜2时，x∈（-∞，1）∪（，+∞）； a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）； a＞2时，x∈（-∞，）∪（1，+∞）； a＜0时，x∈（，1）； （2）由（1）知：①0＜a＜2时，f（x）＞0，x∈（-∞，1）∪（，+∞）， 需[3，4]⊂（-∞，1）∪（，+∞）， ∴＜3，即2＜‎3a，解得a＞； ②a=2时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞），符合条件； ③a＞2时，f（x）＞0．x∈（-∞，）∪（1，+∞）， 则[3，4]⊂（-∞，）∪（1，+∞），显然也成立； 综上所述，符合条件的a的取值范围是a＞． ‎ ‎【解析】本题考查了利用分类讨论法求不等式的解集问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题． （1）不等式化为（ax-2）（x-1）＞0，讨论①a=0、②a＞0和③a＜0时，求出对应不等式的解集； （2）根据（1）知f（x）＞0的解集情况，再讨论[3，4]是不等式f（x）＞0的解集的子集即可． 19.【答案】解：（1）设点R（x，y），因为|RN|=2|RM|．所以RN2=4RM2， 即（x-4）2+y2=4[（x-1）2+y2]，化简得x2+y2=4； （2）设l：y=k（x-1），圆心到直线l的距离为d，如图， 作OQ⊥AB交AB于点Q，所以QB=AB，因为PA=2PB，所以PB=AB，则QP=AB， 即有QB：QP=3：1‎ ‎，根据勾股定理则有， 所以，解得， 所以l的方程为：． ‎ ‎【解析】（1）设点R（x，y），利用条件即可求出R点轨迹； （2）设直线l的方程，利用|PA|=2|PB|．可求出圆心到直线l的距离d，进而可求出k． 本题考查点的运动轨迹方程，属于中档题． 20.【答案】解：（1）如图，根据中垂线的性质可知PQ=PA， 由条件已知M（-1，0），r=，所以AM=2， 则PM+PA=PM+PQ=MQ=r=＞2=AM， 所以点P的运动轨迹为椭圆，设其方程为（a＞b＞0）， 则a=，c=1，所以b2=2，则曲线C为：， （2）如图，△PMA中且|PM|+|PA|=， 所以|PM|2+|PA|2=（|PM|+|PA|）2-2|PM||PA|=， 设PA，PM夹角为θ， 根据余弦定理：cosθ==， 所以sinθ=， 则==． ‎ ‎【解析】（1）数形结合，结合中垂线性质可得PM+PA=PM+PQ=＞AM，所以点P的运动轨迹是椭圆，再根据条件求出a，b即可． （2）利用余弦定理求出PA，PM夹角，利用面积公式即可求面积． 本题考查椭圆轨迹求法，牢记椭圆第一定义，数形结合是关键，属于中档题． 21.【答案】解：（1）=120+=123（km）， =120+， ∵，∴120+=123， 解得a=127． （2）设A型号被测试电动摩托车续航里程的方差为， 则=[（120-123）2+（125-123）2+（122-123）2+（124-123）2+（124-123）2]=， ∴标准差为=． （3）设A型号电动摩托车为A1，A2，A3，A4，A5，B型号摩托车为B1，B2，B3，B4，B5， 从被测试的电动摩托车中随机抽取A，B型号电动摩托车各一台，不同的抽取方法有： n=5×5=25种， 设事件C：“至少有1台摩托车续航里程不超过‎122km”， 则事件为：“抽取的两台摩托车续航里程都不超过‎122km”的选法有： （A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4种， ∴至少有1台的续航里程超过‎122km的概率： P（C）=1-P（）=1-． ‎ ‎【解析】（1）先分别求出A，B两种型号电动摩托车续航里程的平均值，由二者的平均值相等，能求出a． （2）先求出A型号被测试电动摩托车续航里程的方差，由此能求出标准差． （3）设A型号电动摩托车为A1，A2，A3，A4，A5，B型号摩托车为B1，B2，B3，B4，B5，利用列举法和对立事件概率计算公式能求出至少有1台的续航里程超过‎122km的概率． 本题考查平均数、方差、标准差、概率的求法，考查列举法和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2， 点（1，）代入椭圆方程，可得+=1， 解得a=，b=1， 即有椭圆的方程为+y2=1； （2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±， S△OAB=××=； ②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+‎3m2‎-3=0， x1+x2=-，x1x2=， 由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=， 即有‎4m2‎=3（1+k2）， |AB|=•=• =•=• =•≤•=2， 当且仅当9k2= 即k=±时等号成立， 可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=， 即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1． ‎ ‎【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程． 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题． ‎