2018-2019学年四川省阆中中学高一上学期期中考试数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年四川省阆中中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．设集合,，则有（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：。‎ ‎【考点】元素和集合的关系。‎ ‎2．设集合，，则等于 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 求出函数的定义域化简集合，求出函数的值域化简集合，由交集的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，‎ ‎，‎ ‎ ，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎3．已知全集，，则下图中阴影部分表示的 集合是 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 首先利用一元二次不等式的解法化简集合，然后由图可知阴影部分表示,即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 由图象知,图中阴影部分所表示的集合是，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎ ，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.‎ ‎4．下列各组函数是同一函数的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A中的定义域为R， 的定义域为，不是同一函数；‎ B中 两个函数的对应法则不同，不是同一函数；‎ C中 的定义域为R， 的定义域为，不是同一函数；‎ D中 ，定义域、对应法则均相同，是同一函数，选D.‎ ‎5．已知函数（为自然对数的底数），对任意实数、都有 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据有理数指数幂的运算法则，逐一验证四个选项中的运算是否正确即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由指数幂的运算法则可得；‎ ‎；‎ ‎；‎ 选项正确，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂的运算法则，意在考查对基本概念的掌握情况，属于简单题.‎ ‎6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据偶函数的定义,奇函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于定义域为，不关于原点对称，‎ 是非奇非偶函数，选项错误；‎ 对于是偶函数，但是是减函数，选项错误；‎ 对于是奇函数，选项错误；‎ 对于的定义域为，满足，‎ 是偶函数，且在是递增的，选项正确，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数和偶函数的定义，以及二次函数和一次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎7．已知 ，则函数f(x)的解析式为 A． f(x)=x2 B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据已知条件中，令，则，进而利用换元法，可得结论.‎ ‎【详解】‎ 令， ，‎ 则，‎ 则由可得，‎ ‎，‎ 故函数的解析式为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数解折式的求法一一换元法，解答时一定要注意中间元的范围对函数定义域的影响.‎ ‎8．已知函数()的图象如左下图所示，则函数的图象是 ( ) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得：0＜a＜1，b＜-1‎ ‎，进而结合指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换法则，画出g（x）=ax+b的图象，可得答案．‎ 详解：由已知中函数f（x）=（x-a）（x-b）的图象可得： 0＜a＜1，b＜-1， 故g（x）=ax+b的图象如下图所示：，选A.‎ 点睛：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，其中根据已知分析出0＜a＜1，b＜-1，是解答的关键．‎ ‎9．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 A． [0，4] B． [4，6] C． [2，6] D． [2，4]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为函数的图象开口朝上，由 ，结合二次函数的图象和性质可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象是开口朝上，‎ 且以直线为对称轴的抛物线，‎ 故，‎ 函数的定义域为,值域为，‎ 所以，‎ 即的取值范围是,故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.‎ ‎10．定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的的取值范围是 A． B． （，） C． ［，） D． （，）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据已知条件，由单调递增函数的定义便得到函数在上单调递增，所以由得且 ,解不等式即得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 可知与同号，‎ 函数在上为增函数，‎ 由＜得，‎ 解得，‎ 的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于中档题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.‎ ‎11．已知定义在[-2，2]上的奇函数在区间单调递减,如果不等式成立，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据函数为定义在上的奇函数，将已知不等式移项整理可得，再由在上是减函数，由此建立关于的不等式组并解之，即可得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 移项得，‎ 是定义在上的奇函数，‎ ‎，不等式化成，‎ 又在上是减函数，‎ ‎，解之得，‎ 综上所述，可得的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于中档题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.‎ ‎12．给出下列函数①；②；③；④其中满足条件> 的函数的个数是（ ）‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用函数解析式，对四个函数分别求出与，结合“作差法”，“基本不等式法”，比较大小即可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎①满足=，①不满足条件；‎ ‎②，= ，②不满足条件；‎ ‎③， ，③不满足条件;‎ ‎④, ,‎ 可得，④满足条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的解析式的应用以及比较两个数的大小问题，属于简单题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.‎ 二、填空题 ‎13．=___________．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ 直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.‎ ‎【详解】‎ 化简 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）‎ 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）‎ ‎14．函数的定义域为_____________________（结果用区间表示）．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 根据分母不等于零可得结果，注意结果用区间表示.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，‎ 则有，‎ 即函数的定义域为，‎ 故答案为，.‎ ‎【点睛】‎ 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎15．给出函数,则=______________．‎ ‎【答案】256‎ ‎【解析】‎ 根据函数的解析式，先得到，只需求出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数且，‎ 所以，‎ 故答案为256.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.‎ ‎16．若，则__________．‎ ‎【答案】3021‎ ‎【解析】‎ 由可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的解析式，意在考查转化与划归思想的应用，以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 三、解答题 ‎17．已知集合， ‎ ‎(1)设全集，求；‎ ‎(2)已知集合，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ 解：（1） ……3分 ‎ ………7分 ‎（2） ……………9分 ‎ ……………11分 ……………13分 所以实数的取值集合为…………………14分 ‎18．已知函数是定义在上的偶函数，且当≤0时， ．‎ ‎(1)求出的解析式；‎ ‎(2)现已画出函数在轴左侧的图像，如图所示，请补出函数的完整图像，并根据图像直接写出函数的单调增区间及值域．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，又函数为偶函数所以，最后写成分段函数的形式；（2）找出已画出函数在y轴左侧的图像的几个特殊对称点，然后用一条光滑的曲线将其连接起来，即可得到在y轴右侧的图像，从图像上可看出函数的单调区间，从图像上可分析出 试题解析：（1）当时，‎ ‎，又函数为偶函数所以，所以；‎ ‎（2）‎ 从图像可分析出单调增区间为：和；当时，值域为：.‎ ‎【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、函数的值域.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）判断函数的单调性，并证明；‎ ‎（2）求函数的最大值和最小值．‎ ‎【答案】⑴在上为增函数 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)利用函数单调性的定义,任取且 ，可得 ,即可证明；(2)利用函数的单调性即可得出函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴ 设任取且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ 在上为增函数 ‎ ‎（2）由⑴知在上单调递增， . ‎ ‎ 所以 ‎ ‎【点睛】‎ 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎ ‎20．已知二次函数满足：，．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若当时，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）要求二次函数的解析式，利用待定系数法，设,，根据，，使用系数的对应关系，解方程组求得结果；（2）先利用函数单调性求出的最大值与最小值，从而可得：，，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设,则 ‎ 由得： ‎ ‎ ‎ ‎∴由题2ax+a+b=2x恒成立 ∴ 2a=2 ，a+b=0，得a=1 b=-1 ‎ ‎∴ ‎ ‎（2） 在单调递减，在单调递增 ‎∴f(x)min=f()= ，f（x）max=f（-1）=3． ‎ 由已知得：， ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的解析式与性质，以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎ ‎21．已知二次函数与的图象开口大小相同，开口方向也相同，且, 图象的对称轴为直线，且过点（0,6）.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数在［-2,3］上的值域.‎ ‎【答案】（1）f(x)=-2x2-4x+6 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）根据与的关系得出的二次项系数为2，然后便用待定系数法求出解析式；（2）根据函数解析式，利用函数单调性求出的最大值与最小值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设f(x)=-2+bx+c，由题意得-=-1和c=6 解得b=-4,c=6‎ ‎∴f(x)=-2x2-4x+6. ‎ ‎(2)由（1）知f（x）=-2(x+1)+8，x，∴当x=-1时，f(x)=8，‎ 当x=3时，f(x)=-24‎ 故函数y=f（x）在上的值域为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎22．已知定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数的单调性并证明;‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围 ‎【答案】（1）‎ ‎（2）见解析 ‎（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）在定义域为上是奇函数，所以=0，即求出，（2）由（Ⅰ）知，利用单调性的定义进行证明，设，做差，然后进一步判定正负，从而确定的单调性；（3）因为是奇函数，所以等价于，利用（2）问的结论得出与的大小，转化为二次函数恒成立的问题，由，得出的范围．‎ 试题解析：解：（1）因为在定义域为上是奇函数，所以=0，即 ．．4分 ‎（2）由（Ⅰ）知，‎ 设则 因为函数y=2在R上是增函数且 ∴>0‎ 又>0 ∴>0即 ‎∴在上为减函数． 8分 ‎（3）因是奇函数，从而不等式： ‎ 等价于， 9分 因为减函数，由上式推得：．‎ 即对一切有：， 10分 从而判别式 12分 ‎【考点】1．奇函数的性质2．用定义证明单调性3．利用函数的性质解抽象不等式4．恒成立问题