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- 2021-06-16 发布
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重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年
高二上学期期末考试试题
一、选择题:本题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将直线方程化为斜截式得,因此,该直线的斜率为.
故选:B.
2.若双曲线的焦距为,则实数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知,双曲线的焦点在轴上,其焦距为,解得.
故选 :D.
3.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知,圆是圆心为原点,半径为的圆,抛物线的准线方程为,
由于抛物线的准线方程与圆相切,则,解得.
故选:B.
4.函数在区间[-1,1]上的最大值是( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. -2
【答案】B
【解析】令,解得或.
,故函数的最大值为,所以本小题选B.
5.已知空间中三条不同的直线、、和平面,下列结论正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,则
【答案】A
【解析】对于A选项,若,,由直线与平面垂直的性质定理可知,A选项正确;
对于B选项,若,,则与平行、相交或异面,B选项错误;
对于C选项,若,,则与平行或异面,C选项错误;
对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D选项错误.
故选:A.
6.定义在上的函数满足,且,则不等式的解集为
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的解集即为的解集
构造函数,则,
因为,所以
所以在上单调递增,且
所以的解集为,
不等式的解集为.
故选C.
7.函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】,.
解不等式,即,得;
解不等式,即,得或.
所以,函数的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
令,即,得或;
令,即,得.
所以,符合条件的函数为B选项中的图象,
故选B.
8.在三棱锥中,底面,是的中点,已知,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】以点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
由题意可得:,,,,
则,,
,,,
设异面直线与所成角为,则.
本题选择A选项.
9.已知双曲线过点且其渐近线方程为,的顶点、恰为
的两焦点,顶点在上,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于双曲线过点,则其焦点在轴,
设该双曲线的标准方程为,则,
双曲线的渐近线方程为,得,
所以,双曲线的标准方程为,其焦距为.
,
故选:C.
10.已知函数,若,,,则实数、、大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为,,该函数为偶函数,
当时,,
则函数在区间上为增函数,则,
指数函数为增函数,则,
对数函数在上为增函数,则,即,
,则,因此,.
故选:D.
11.已知是椭圆的左焦点,经过原点的直线与椭圆交于两点,若,且,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设椭圆的右焦点F′,连接PF′,QF′,由∠PFQ=120°,则∠FPF′=60°,
由正弦定理定理可知:∠PFF′=30°,∠PF′F=90°,
则|FF′|=|QF|,即2c=|QF|,2a=|PF|+|QF|=3|QF|,
∴椭圆的离心率e==,
故选A.
12.设表示不大于实数的最大整数,函数,若关于的方程有且只有5个解,则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】首先,确定在x>0上,方程f(x)=1的解.
时,在,
,所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),
又
即在上,恒有
取n=0,,令此时有一根,
当n≥1时,恒有f(x)-1>1,此时在上无根.
在上,,,
又
所以在上,恒有,
.
n=1时,在上,有
n=2时,在有
即
所以此时有两根,
这样在有三根,
在显然有一根
所以在有且仅有一根,
由“洛必达法则”
是先增后减,
得或a>0.
单调递增,
即
故选A
二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13.已知函数,的导函数为,则的值为_______.
【答案】
【解析】,,
因此,.
故答案为:.
14.已知函数,若是函数的极小值点,则实数的值为
________.
【答案】
【解析】,定义域为,且,
由题意得,解得,此时,.
令,得或,列表如下:
极大值
极小值
所以,函数在处取得极小值.
故答案为:.
15.在正方体中,、分别是、的中点,则直线与平面所成角的正弦值为________.
【答案】
【解析】设正方体的棱长为,如下图所示:
连接交于点,则为的中点,
由于、分别是、的中点,,
则直线与平面所成角和直线与平面所成角相等,
设直线与平面所成角为,
则,.
三棱锥的体积为.
是边长为的正三角形,其面积为,
设点到平面的距离,则,
,所以,,
因此,直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为:.
16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点.
若(为坐标原点),则_______.
【答案】
【解析】设,则由抛物线的定义可得
,则,
故,故直线的方程为代入抛物线方程整理可得
,则,则,
所以,应填答案.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数在处的切线为.
(1)求实数的值;
(2)求的单调区间.
【解】(1)依题意可得:
,
又函数在处的切线为,
,解得:
(2)由(1)可得:f'(x)=1+lnx,
当时,f'(x)≤0,f(x)单调递减;
当时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴的单调减区间为的单调增区间为.
18.如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,,
平面平面,、分别为、的中点,,
,.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
【解】(1)因为,为的中点,,且,
四边形为平行四边形,,
又平面,平面,所以平面;
(2)因为,.
因为,,,,
又平面平面,平面平面,平面,
平面,的面积为,
连接,则.
又是线段的中点,,
故三棱锥的体积为.
19.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点,若,求的值.
【解】(1)已知抛物线过点,且
则,∴,
故抛物线的方程为;
(2)设,,
联立,得,
,得,
,,
又,则,
或,经检验,当时,直线过坐标原点,不合题意,
又,综上:的值为-8.
20.如图1,在直角中,,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解】(1)证明:由条件可知,而为的中点, ,
又面面,面面,且, 平面
又因为平面, .
(2)由(1)可知,两两相互垂直,如图建立空间直角坐标系,
则:
易知面的法向量为,
设平面的法向量为,则:,易得
设平面与平面所成锐二面角为,则
21.椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线:被圆:截得的弦长为3,且与椭圆交于,两点,求△面积的最大值.
【解】(1)由题意可得,,
解得,,,
即有椭圆的方程为;
(2)∵到的距离,
∴,∴.
设,,把代入得,
∴,,
∴
,
∵
,
∴当,即时,.
22.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)已知函数,,如果函数
有两个极值点、,求证:.(参考数据:,,,为自然对数的底数)
【解】(1)令,其中,且有,
,
令,则.
① 当时,即当时,对任意的,,即,
所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;
②当时,则或.
(i)当时,对任意的,,即,
所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;
(ii)当时,设函数的两个极值点分别为、,设,
由韦达定理得,则必有,
当时,,当时,.
所以,,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是;
(2)若,
则有两个不同的零点、.
由题意,相加有,①
相减有,从而,
代入①有,
即,
不妨设,则,由(1)有.
又,
所以,即,
设,则,在单调递增,
又,
,
,因此.