山西省忻州市静乐县静乐一中2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷 10页

期中考试数学试题（文）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“”是“直线与圆相切”的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.在中,若,则角的值为 A. B. C. D.‎ ‎4.已知定义域为的奇函数满足,‎ 则 ‎ A. B. C. D.不能确定 ‎5.设,为空间两条不同的直线, ,为空间两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,,则; ②若,,,,则;‎ ‎③若,,则; ④若,,,则.‎ 其中所有正确命题的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①④‎ ‎6.图1‎ 从总体中抽取的样本数据的频率分布直方图如图1所示,若总体中85%的数据不超过,则的估计值为 A. B. C. D. ‎ ‎7.设,,,则 A. B. C. D. ‎ ‎8.已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎9.如图2,在区域内任取一点,则该点恰好取自阴影部分（阴影部分为“”与“ ”在第一、第二象限的公共部分）的概率为 图2‎ A. B. C. D.‎ ‎10.公元前世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了米,此时乌龟便领先他米;当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟仍然领先他米.当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟仍然领先他米……,所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯米时,乌龟爬行的总距离为 A. B. C. D.‎ ‎11.在中, ,,,点满足,则 A. B. C. D.‎ ‎12.已知,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点,若,且,则椭圆的离心率为 A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知向量,,,若,则 　．‎ ‎14.已知数列满足,,,则 　 　．‎ ‎15.设,,则 的最小值是 　 　．‎ ‎16.已知函数(,为自然对数的底数)与的图像上存在关于直线对称的点,则实数的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎(一)必考题：共60分.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.‎ ‎17.(本小题满分12分)设等差数列的前项和为,,.‎ ‎（1）求数列的通项公式; ‎ ‎（2）求.‎ ‎18.(本小题满分12分)已知向量,,‎ 且.‎ ‎（1）求的单调递增区间;‎ ‎（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象，求方程 在区间上所有根之和. ‎ 19. ‎(本小题满分12分)已知三棱锥（如图3）的展开图如图4,其中四边形为边长等于的正方形, 和均为正三角形.‎ ‎（1）证明:平面平面;‎ 图3‎ ‎（2）若是的中点,点在线 ‎ 段上，且满足,求直线 ‎ 与平面所成角的正弦值.‎ 图4 图5‎ ‎20.(本小题满分12分)如图5,在中,角,,‎ 的对边分別,,,,,.‎ 图5‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）如图5，点在边上,且平分,求的面积.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数, .‎ ‎（1）求函数的极值;‎ ‎（2）对任意的,不等式都成立,求整数的最大值.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分) 选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的方程为（）,‎ 以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,且直线与圆相切. ‎ ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）在圆上取两点,,使得,点,与直角坐标原点构成,求面积的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ （1） 当时,有解,求实数的取值范围;‎ （2） 若的解集包含,求实数的取值范围.‎ 期中考试数学答案（文）‎ 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A D A C B B D A D 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）设等差数列的公差设为,,,‎ ‎,,解得. ………………4分 ‎,. ………………6分 ‎（2） ………………8分 ‎ …………………12分 ‎18.解:（1）函数 ‎ …………………4分 令,‎ 即,,‎ 函数的单调增区间为,. …………6分 ‎（2）由题意知, ………8分 由,得,,‎ 或, 或,‎ 故所有根之和为. ………………12分 ‎19.解:（1）证明:如图取的中点,连结.‎ ‎ ,,,‎ 在中,,为的中点, .‎ 在中,, ,,‎ ‎,.‎ ‎,,平面,平面,‎ 平面,平面平面． ……………5分 ‎（2）解: ‎ 点到平面的距离为点到平面距离的一半.‎ 假设到平面距离为,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 到平面的距离为 ………………9分 ‎ 中, ………………10分 设为直线与平面所成角，则 ‎ ………………12分 ‎20.解:(1)由正弦定理知，,‎ ‎. ………………………4分 ‎（2）,,‎ ‎,,‎ ‎, …………7分 由正弦定理知, …………9分 平分, ,‎ ‎, …………11分 ‎. ……12分 ‎21.解:（1）,,, …………1分 当时,,当时, , …………3分 当时, 取得极小值，极小值为,‎ 无极大值． ………………………5分 ‎（2）对任意的,不等式都成立,‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令, , ………6分 ‎①当时,即时, 在上恒成立，‎ 在上单调递增，‎ 都符合题意,此时整数的最大值为. ……………8分 ‎②当时,令,解得,‎ 当时, ,当时, ,‎ ‎,则, ……………10分 令,,‎ 在上恒成立,‎ 在上单调递减，‎ 又,,‎ 存在使得,故此时整数的最大值为.‎ 综上所述: 整数的最大值为. …………………12分 ‎22.解:（1）直线的极坐标方程为,‎ 转化为直角坐标方程为. ………………2分 直线与圆相切, 圆心到直线的距离满足 ‎，解得. …………………4分 ‎（2）由（1）得圆的方程为.‎ 转化为极坐标方程为．设,, … 5分 ‎ …………8分 故当时, 的面积取到最大值为. …………10分 ‎23.解:（1）当时, ‎ 当且仅当, 即时取等号, …………2分 ‎,有解, 只需,‎ 实数的取值范围为. ……………………4分 ‎（2）当时, ,,的解集包含 对恒成立, ……………7分 当时, , 当时, , 即,‎ 当时, , 即, ……………9分 综上所述: 实数的取值范围为. ……………10分