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- 2021-06-16 发布
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1.2 复数的几何意义
(15 分钟 30 分)
1.(2020·成都高一检测)已知复数 z=1-2i,则 = ( )
A. B.1+2i
C. + i D. - i
【解析】选 B.复数 z=1-2i,则 =1+2i.
2.(2020·大同高一检测)当 0,m-1<0,点在第四象限.
【补偿训练】
(2020·巴楚高一检测)i 是虚数单位,则复数 i+i2 在复平面内所对
应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选 B.因为 i+i2=-1+i,所以复数 i+i2 在复平面内所对应的点为
(-1,1),在第二象限.
3.已知 a 是实数,a-1+ i 是纯虚数,则复数 z=a+i 的模等于 ( )
A.2 B. C. D.1
【解析】选 C.a-1+ i 是纯虚数,则实部为 0,虚部不为 0,即 a=1,
所以 z=1+i,|z|= .
4.在复平面内,O 为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点 A 关于直线
y=-x 的对称点为 B,则向量 对应的复数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
【解析】选 B.因为 A(-1,2)关于直线 y=-x 的对称点为 B(-2,1),所以向
量对应的复数为-2+i.
5.(2020·南京高一检测)若 m∈R,i 为虚数单位,且 = ,则 m
的值为 .
【解析】由 = ,可得 = ,解得 m=±1.
答案:±1
6.在复平面内,O 为坐标原点,向量 对应的复数为 3-4i,若点 B 关于原
点的对称点为 A,点 A 关于虚轴的对称点为 C,则向量 对应的复数
为 .
【解析】因为点 B 的坐标为(3,-4),所以点 A 的坐标为(-3,4),所以点 C
的坐标为(3,4),
所以向量 对应的复数为 3+4i.
答案:3+4i
【补偿训练】
在复平面内,把复数 3- i 对应的向量按顺时针方向旋转 ,所
得向量对应的复数是 ( )
A.2 B.-2 i
C. -3i D.3+ i
【解析】选 B.复数对应的点为(3,- ),对应的向量按顺时针方向旋转
,则对应的点为(0,-2 ),所得向量对应的复数为-2 i.
(20 分钟 40 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 15 分)
1.若 x,y∈R,i 为虚数单位,且 x+y+(x-y)i=3-i,则复数 x+yi 在复平面
内所对应的点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选 A.因为 x+y+(x-y)i=3-i,所以 解得
所以复数 1+2i 在复平面内所对应的点在第一象限.
2. 在 复 平 面 内 , 复 数 z1,z2 的 对 应 点 分 别 为 A,B. 已 知
A(1,2),|AB|=2 ,|z2|= ,则 z2 等于 ( )
A.4+5i B.5+4i
C.3+4i D.5+4i 或 + i
【解析】选 D.设 z2=x+yi(x,y∈R),
由条件得
所以 或 所以 z2=5+4i 或 + i.
3.已知复数 z 满足|z|2-3|z|+2=0,则复数 z 对应点的轨迹是 ( )
A.一个圆 B.两个圆
C.两点 D.线段
【解析】选 B.由|z|2-3|z|+2=0,得(|z|-1)·(|z|-2)=0,所以|z|=1 或
|z|=2.由复数模的几何意义知,z 对应点的轨迹是两个圆.
二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的
得 0 分)
4.(2020·海口高一检测)已知复数 z=x+yi ,则 ( )
A.z2≥0 B.z 的虚部是 yi
C.若 z=1+2i,则 x=1,y=2 D. =
【解析】选 CD.对于 A 选项,取 z=i,则 z2=-1<0,A 选项错误;
对于 B 选项,复数 z 的虚部为 y,B 选项错误;
对 于 C 选 项 , 若 z=1+2i, 则 x=1,y=2,C 选 项 正 确 ; 对 于 D 选
项, = ,D 选项正确.
【补偿训练】
(2020· 潍 坊 高 一 检 测 ) 在 复 平 面 内 , 设
z= + i,
t∈R,i 为虚数单位,则以下结论正确的是 ( )
A.z 对应的点在第一象限
B.z 一定不为纯虚数
C.z 一定不为实数
D. 对应的点在实轴的下方
【 解 析 】 选 CD. 因 为 2t2+5t-3=2 - ≥
- ,t2+2t+2= +1>0,
所以,复数 z 对应的点可能在第一象限、第二象限或虚轴上,故 A 错误;
当 即 t=-3 或 t= 时,z 为纯虚数,故 B 错误;
因为 t2+2t+2>0 恒成立,所以 z 一定不为实数,故 C 正确;由选项 A 的分
析知,z 对应的点在实轴的上方,所以 对应的点在实轴的下方,故 D 正
确.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
5.若复数 z 满足 z+|z|=2,则 z= .
【解析】设 z=a+bi(a,b∈R),
所以 z+|z|=a+bi+ =2,
所以 解得
所以 z=1.
答案:1
6.若复数 z=(a-2)+(a+1)i,a∈R 对应的点位于第二象限,则|z|的取值
范围是 .
【解析】复数 z=(a-2)+(a+1)i 对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点
位于第二象限,
所以 解得-13,
所以 m 的取值范围是 m>3;
(2)因为 z= + i,所以 =(m-2)+(9-m2)i,因为 与复数
+5i 相等,
所以 ,解得 m=-2.
【补偿训练】
(2020· 潍 坊 高 一 检 测 ) 设 复 数
z=lg + i,试求实数 m 取何值时(1)z 是纯
虚数;(2)z 是实数;
(3)z 对应的点位于复平面的第二象限.
【解析】(1)若 z=lg + i 是纯虚数,
则可得 ,
即 ,解之得 m=3(舍去-1);
(2)若 z=lg + i 是实数,则可得 m2-2m-2>0
且 m2+3m+2=0,解之得 m=-1 或 m=-2;
(3) 因 为 z=lg + i 对 应 的 点 坐 标 为
,
因为该对应点位于复平面的第二象限,则可得 即
,
解之得-1
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