河南省开封市铁路中学2020高三下学期模拟考试数学（理）试卷 15页

数学试卷（理科）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合 , 则( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设为虚数单位，复数( ).‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列结论中正确的是( ).‎ ‎①命题：的否定是；‎ ‎②若直线上有无数个点不在平面内，则；‎ ‎③若随机变量服从正态分布，且，则；‎ ‎④等差数列的前项和为，若，则.‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线方程为( ).‎ A． B． C． D．‎ ‎5.某产品的研发费用万元与销售利润万元的统计数据如表所示，‎ 研发费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 利润（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5，则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.在中，分别是角的对边，若成等比数列，，( ).‎ A． B． 1 C． D．‎ ‎7.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为( ).‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8.若实数满足不等式组则的最大值是 ( ).‎ A．1 0 B．1 1 C．1 3 D．1 4‎ ‎9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆 内的有( ).‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎10.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处 取得极大值，则函数的图像可能是( ).‎ ‎11.已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的内切圆半径为( ).‎ ‎． ． ． ．‎ ‎12.已知定义在上的函数满足.当时,．设在上的最大值为，且的前项和为，则 ( ).‎ A. B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13.已知，那么的展开式中的常数项为 .‎ ‎14.已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为 .‎ ‎15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，且侧面底面，则四棱锥的外接球的表面积为___ ____.‎ ‎16.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为_______.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．‎ ‎18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．‎ ‎19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：‎ ‎（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望和方差．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（，其中n=a+b+c+d）‎ ‎20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．‎ ‎（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；‎ ‎（2）求证：线段MN的长为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．‎ ‎（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．‎ ‎（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．‎ ‎（I）求实数m、n的值；‎ ‎（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．‎ 答案部分 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D A A D D D B D C B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ ‎（Ⅰ）求角B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且BD⊥AC，BD=，求c．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，‎ 且2cosB（acosC+ccosA）+b=0．‎ 则：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）+sinB=0，‎ 整理得：2cosBsin（A+C）=﹣sinB，‎ 由于：0＜B＜π，‎ 则：sinB≠0，‎ 解得：，‎ 所以：B=．‎ ‎（Ⅱ）点D在AC边上且BD⊥AC，‎ 在直角△BCD中，若a=3，BD=，‎ 解得：，‎ 解得：，‎ 则：，，‎ 所以：cos∠ABD===，‎ 则：在Rt△ABD中，，‎ ‎=．‎ 故：c=5‎ ‎18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，‎ ‎∴AB=AE，‎ 取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，‎ 又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，‎ ‎∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，‎ 在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，‎ ‎∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，‎ ‎∴EC⊥PB，‎ 又PB⊥PE，且PE∩EC=E，‎ ‎∴PB⊥平面PEC，而PB⊂平面PBC，‎ ‎∴平面PBC⊥平面PEC；‎ ‎（Ⅱ）解：以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），‎ ‎∴，，=（，，﹣）．‎ 设平面PED的一个法向量为，‎ 由，令z=﹣1，则，‎ 又平面PBE的一个法向量为，‎ 则cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为．‎ ‎19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．‎ ‎（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：‎ ‎（1）求对商品和服务全好评的次数X的分布列；‎ ‎（2）求X的数学期望和方差．‎ 附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2=≈11.111＞6.635，‎ 故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关．‎ ‎（Ⅱ）（1）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3．‎ 其中P（X=0）=（）3=，‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）=，‎ P（X=3）==，‎ X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵X～B（3，），‎ ‎∴E（X）=，‎ D（X）=3×=．‎ ‎20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．‎ ‎（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；‎ ‎（2）求证：线段MN的长为定值．‎ ‎【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，‎ 解得：a=，b=1，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），‎ 设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，‎ 联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．‎ ‎∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，‎ ‎∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，‎ ‎∴•=﹣1，则l1⊥l2．‎ ‎（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，‎ 则l1：x=±，‎ 当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），‎ 此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；‎ 同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．‎ ‎②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．‎ 设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，‎ ‎∴由得 （1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．‎ 由△=0化简整理得 （3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，‎ ‎∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．‎ 设l1，l2的斜率分别为t1，t2，‎ ‎∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，‎ ‎∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．‎ 综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．‎ ‎∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，‎ ‎∴线段MN的长为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xex，g（x）=tx+1﹣ex．‎ ‎（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xex，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）ex，‎ 若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ 故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，‎ t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；‎ ‎（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，‎ 即（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立，‎ 设h（x）=（t﹣1）xex﹣tx﹣1+ex，‎ h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）ex﹣t+ex，h′（0）=0，‎ h″（x）=ex[（t﹣1）x+2t﹣1]，‎ t=1时，h″（x）=ex≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，‎ ‎∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，‎ 故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，‎ ‎∴t≠1，则h″（x）=ex（x+）（t﹣1），‎ 令h″（x）=0，则x=﹣，‎ ‎①当﹣≤0即t＜或t＞1时，‎ 若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，‎ 故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）≤h（0）=0成立，‎ 若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，‎ 故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，‎ 故h（x）≥h（0）=0，不成立，‎ ‎②﹣≥0即≤t≤1时，‎ h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，‎ 故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，‎ 综上，t的范围是（﹣∞，]．‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．‎ ‎（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：‎ ‎（t为参数），‎ 曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．‎ ‎（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，‎ 所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，‎ 则：，‎ 解得：，‎ 则：=，‎ 则：|AP|的最大值为：，‎ ‎|AP|的最小值为：．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．‎ ‎（I）求实数m、n的值；‎ ‎（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，‎ ‎∴或或，‎ 解得：﹣1≤x≤1，‎ 故m=﹣1，n=1；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，‎ 则++‎ ‎=（++）（a+b+c）‎ ‎=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]‎ ‎≥+（2+2+2）‎ ‎=+3=，‎ 当且仅当a=b=c=时“=”成立．‎