【数学】2018届一轮复习人教A版高考专题突破三高考中的数列问题学案 12页

‎1.(2017·苏州月考)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为____.‎ 答案　2‎ 解析　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.‎ ‎2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为_____.‎ 答案　 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ ‎∵a5＝5，S5＝15，∴∴ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝n.‎ ‎∴＝＝－，‎ ‎∴数列的前100项和为＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎3.(2016·南通、淮安模拟)在等比数列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1,4a3,7a5成等差数列，则a6的值是________.‎ 答案　 解析　因为{an}为等比数列，且a2＝1，所以a1＝，a3＝q，a5＝q3，由a1,4a3,7a5成等差数列得8q＝＋7q3，‎ 解得q2＝1(舍去)或q2＝，故a6＝a2q4＝.‎ ‎4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝_____.‎ 答案　－ 解析　由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以 ＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1－(n－1)＝－n，‎ 所以Sn＝－.‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若10，‎ ‎∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.‎ 综上所述，≤Tn<.‎ 命题点3　数列应用题 例5　(2016·南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ 解　(1)由题意，得 a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，‎ a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，‎ ‎…‎ an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.‎ ‎(2)由(1)，得an＝an－1－d＝(an－2－d)－d ‎＝()2an－2－d－d ‎＝…‎ ‎＝()n－1a1－d[1＋＋()2＋…＋()n－2]‎ 整理，得 an＝()n－1(3 000－d)－2d[()n－1－1]‎ ‎＝()n－1(3 000－3d)＋2d.‎ 由题意，得am＝4 000，‎ 即()m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.‎ 解得d＝＝.‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.‎ 思维升华　数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略 ‎(1)数列与函数的交汇问题 ‎①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；‎ ‎②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.‎ 另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.‎ ‎(2)数列与不等式的交汇问题 ‎①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；‎ ‎②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；‎ ‎③比较方法：作差或者作商比较.‎ ‎(3)数列应用题 ‎①根据题意，确定数列模型；‎ ‎②准确求解模型；‎ ‎③问题作答，不要忽视问题的实际意义.‎ ‎　设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.‎ ‎(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，‎ 曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，‎ 从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).‎ 令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标 xn＝1－＝.‎ ‎(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知 Tn＝xx…x＝()2()2…()2.‎ 当n＝1时，T1＝.‎ 当n≥2时，因为x＝()2＝>＝＝，‎ 所以Tn>()2×××…×＝.‎ 综上可得，对任意n∈N*，均有Tn≥.‎ ‎1.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]‎ ‎＝2.‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝.‎ 当n＝1,2,3时，1≤<2，bn＝1；‎ 当n＝4,5时，2≤<3，bn＝2；‎ 当n＝6,7,8时，3≤<4，bn＝3；‎ 当n＝9,10时，4≤<5，bn＝4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.‎ ‎2.(2016·山东)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d.由 即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.‎ 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].‎ 两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]‎ ‎＝3× ‎＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.‎ ‎3.设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.‎ ‎(1)求a4的值；‎ ‎(2)证明：{an＋1－an}为等比数列；‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)解　当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，‎ 即4(1＋＋＋a4)＋5(1＋)‎ ‎＝8(1＋＋)＋1，‎ 解得：a4＝.‎ ‎(2)证明　因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，‎ 所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，‎ 即4an＋2＋an＝4an＋1 (n≥2)，‎ 当n＝1时，4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，‎ 所以n＝1也满足此式，‎ 所以4an＋2＋an＝4an＋1 (n∈N*)，‎ 因为＝ ‎＝＝＝，‎ 所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列.‎ ‎(3)解　由(2)知：数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，公比为的等比数列，‎ 所以an＋1－an＝()n－1.‎ 即－＝4，‎ 所以数列是以＝2为首项，公差为4的等差数列，所以＝2＋(n－1)×4＝4n－2，‎ 即an＝(4n－2)×()n＝(2n－1)×()n－1，‎ 所以数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×()n－1.‎ ‎4.(2016·常州期末)已知等差数列{an}的公差d为整数，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k 为常数且k∈N*.‎ ‎(1)求k及an；‎ ‎(2)设a1>1，{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项为1，公比为q(q>0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得＝T3，求q.‎ 解　(1) 由题意得 ‎②－①，得d＝4＋.‎ 因为k∈N*且d为整数，所以k＝1或k＝2.‎ 当k＝1时，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.‎ 当k＝2时，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.‎ ‎(2)因为a1>1，所以an＝6n－3，从而Sn＝3n2.‎ 由＝T3，得＝1＋q＋q2，‎ 整理得q2＋q＋1－＝0.‎ 因为Δ＝1－4(1－)≥0，所以m2≤.‎ 因为m∈N*，所以m＝1或m＝2.‎ 当m＝1时，q＝(舍去)或q＝.‎ 当m＝2时，q＝0或q＝－1(均舍去).‎ 综上所述，q＝.‎ ‎5.(2015·山东)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(an＋1)·，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，‎ 令n＝1，得＝，‎ 所以a1a2＝3. ①‎ 令n＝2，得＋＝，‎ 所以a2a3＝15. ②‎ 由①②解得a1＝1，d＝2，‎ 所以an＝2n－1.经检验，符合题意.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，‎ 所以Tn＝1·41＋2·42＋…＋n·4n，‎ 所以4Tn＝1·42＋2·43＋…＋n·4n＋1，‎ 两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1‎ ‎＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.‎ 所以Tn＝×4n＋1＋＝.‎