2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高一下学期开学考试数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高一下学期开学考试数学试题 一、单选题 ‎1．设，，则下列关系正确的是　　‎ A． B． C． D．与没有公共元素 ‎【答案】B ‎【解析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎5，，‎ ‎，‎ 所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考查计算能力.‎ ‎2．设函数，则满足的的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数，的图象如图：‎ 满足，‎ 可得：或，‎ 解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力．‎ ‎3．设函数，则是( )‎ A．奇函数，且在（0,1）上是增函数 B．奇函数，且在（0,1）上是减函数 C．偶函数，且在（0,1）上是增函数 D．偶函数，且在（0,1）上是减函数 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，‎ 又，所以函数的奇函数，‎ 由，令，又由，则 ‎，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，故选A.‎ ‎【考点】函数的单调性与奇偶性的应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.‎ ‎4．已知，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，则它们的大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.‎ ‎5．已知，，若与的夹角为钝角，则的取值范围为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ 的夹角为钝角；‎ ‎，且不平行；‎ ‎；‎ 解得，且；‎ 的取值范围为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 考查向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．‎ ‎6．已知函数，则在上的零点的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由下图可得在上的零点的个数为，故选C.‎ ‎【考点】函数的零点.‎ ‎7．函数y=sin2x的图象可能是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.‎ 详解：令， ‎ 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;‎ 因为时，，所以排除选项C，选D.‎ 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ ‎8．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.‎ 详解：因为是定义域为的奇函数，且，‎ 所以,‎ 因此，‎ 因为，所以，‎ ‎，从而，选C.‎ 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．‎ ‎9．四边形，，， ，若且，则四边形的面积为　　‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎，，；‎ ‎，且；‎ ‎；‎ 解得；‎ ‎，或；‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 考查向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．‎ ‎10．若，，，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由,则,又，,解得,故选B.‎ ‎【考点】1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.‎ ‎11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象.若，且，则的最大值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,若g(x1)·g(x2)=9,则g(x1)=g(x2)=3, 则g（x1）=g（x2）=3，所以sin=sin=1.‎ 因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,‎ 设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,‎ 则当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|取得最大值3π.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进行函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原则，这一原则只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进行加减.‎ ‎12．如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】或，‎ ‎【解析】由，得或，求解后取并集得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得或，‎ 由得，，；‎ 由得，或，．‎ 函数的定义域为或，．‎ 故答案为：或，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义域及其求法，考查象限角与轴线角的三角函数值的符号，是基础题．‎ ‎14．已知，向量，，若，则角的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．‎ ‎【详解】‎ 向量，，‎ 则，‎ 又，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以；‎ 又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是基础题．‎ ‎15．已知是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的小关系是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，‎ 则在上为减函数，‎ 则，，，‎ 且有，‎ 则有；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于基础题．‎ ‎16．给定一组函数解析式：；；；：；；及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：的定义域为，当时，对应第6个图象；‎ 是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；‎ 的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；‎ 的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：‎ 的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；‎ 的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；‎ 是奇函数的应用为R，则上是增函数，对应第5个图象 故7个函数解析式依次排序，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进行判断是解决本题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．设全集，集合，，若，求实数的取值集合．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】对集合M进行讨论，然后根据条件，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 当，即，‎ 时，，满足条件，‎ 当，即时，或，‎ 若，‎ 则或，‎ 即或，此时，‎ 综上：a的取值范围是或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合关系的应用，比较基础要注意对集合M进行分类讨论．‎ ‎18．已知函数且．‎ 当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；‎ 是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）设是减函数，‎ 又时，有意义 且 的取值范围是 ‎（2）假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数， 由已知即 但 这样的实数不存在 ‎【解析】试题分析：（1）根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由分离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；（2）假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由（1）知，由的最大值为，与不符，故不存在.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，由函数恒有定义知恒成立，即，‎ ‎∴，又且，∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）假设存在符合题设条件的实数，则函数在区间上为减函数，且是减函数，‎ ‎∴，又在上恒为正，则，故，由的最大值为 ‎，与不符，故不存在符合题设条件的实数．‎ ‎【考点】对数函数定义域与单调性.‎ ‎19．如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.‎ 求的值；‎ 判断的值是否为一个常数，并说明理由．‎ ‎【答案】14；是.‎ ‎【解析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；‎ 将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；‎ 法二：由题意可以以BC所在直线为X轴，DE所在直线为Y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；‎ 设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.‎ ‎【详解】‎ 法1：由已知可得，，‎ ‎ ,‎ 的值为一个常数为L为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，‎ ‎，‎ 故：‎ 解法2：以D点为原点，BC所在直线为X轴，L所在直线为Y轴建立直角坐标系，可求，‎ 此时，，‎ 设E点坐标为，‎ ‎，‎ 常数．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.‎ ‎20．将函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．‎ 求函数的解析式；‎ 当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．‎ ‎【答案】；，．‎ ‎【解析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．‎ 由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．‎ ‎【详解】‎ 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，‎ 横坐标变为原来的2倍，‎ 可得的图象．‎ ‎，，，‎ 当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，‎ 如图所示：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．‎ ‎21．已知函数，其图象与轴相邻的两个交点的距离为．‎ 求函数的解析式；‎ ‎2若将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当取得最小值时，在上的单调区间．‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；‎ ‎2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由已知函数的周期，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎2将的图象向左平移个长度单位，‎ ‎，‎ 函数经过，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，m取最小值，此时最小值为，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当，即时，函数单调递增，‎ 当，即时，单调递增；‎ 在上的单调区间，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎22．已知函数=)且=.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)若函数= 有零点,求实数的取值范围.‎ ‎(3)当时, 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数的解析式以及，求得的值；（2）由题意可得，函数的图象和直线有交点，则有，即可求得的取值范围；（3）由题意可得当恒成立，令，则 ‎，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)对于函数=,‎ 由,‎ ‎∴.‎ ‎(2) ==.‎ 若函数= = = 有零点,‎ 则函数的图象和直线有交点,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(3)∵当恒成立,‎ 即恒成立,‎ 令,则,且==,‎ ‎∵=在上单调递减,‎ ‎∴=,‎ ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查了指数函数的性质以及换元法的运用. 解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.‎