【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题25线性规划学案 20页

专题二十五 线性规划 ‎【线性规划问题】‎ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题。‎ 可行解、可行域和最优解：‎ 满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解；由所有可行解组成的集合称为可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。‎ ‎【用一元一次不等式（组）表示平面区域】‎ ‎(1)一般地，直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax+by+c=0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c>0;③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c<0．所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0+by0+c的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域，可简称为，特殊点定域”． (2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ‎ ‎【线性规划问题求解步骤】‎ ‎（1）确定目标函数；  （2）作可行域；  （3）作基准线（z=0时的直线）；  （4）平移找最优解；  （5）求最值。‎ ‎【线性规划求最值线性规划求最值问题】 （1）要充分理解目标函数的几何意义，诸如直线的截距、两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率等．    (2)求最优解的方法①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的点为最优解，②利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线，且目标函数的斜率k满足 的交点一般为最优解．在求最优解前，令z=0的目的是确定目标函数在可行域的什么位置有可行解，值得注意的是，有些问题中可能要求x，y∈N（即整点），它不一定在边界上．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行（）时，其最优解可能有无数个，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．可先将题目的量分类，列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组），寻求约束条件，并就题目所述找到目标函数．‎ ‎【2017年高考全国Ⅲ卷，文5】‎ 设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]‎ ‎【答案】B ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即运用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点处或边界上取得.‎ 答题思路 ‎【命题意图】 线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，同时也考察了数形结合的思想.‎ ‎【命题规律】 1、线性规划是高考中的热点之一；2、考查内容涉及最优解、最值等；3、通常用数形结合的思想方法解题；4、考查形式多为选择题或填空题；5、考查难度多为容易题或中档题；‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：‎ 第一步：作出不等组表示的可行域 先后作出三条直线，即为不等式组表示的可行域；‎ 第二步：确定表示的几何意义 目标函数可化成，所以表示的是直线在轴上的截距的相反数，即直线在轴上的截距最大时，取得最小值，在轴上的截距最小时， 取得最大值；‎ 第三步：平移直线，确定最优解，求得最值 通过平移直线，得知在点时，取得最小值，在点时，取得最大值，代入数值即可求得的范围 ‎【方法总结】‎ ‎1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．‎ 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化，确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线，特殊点定域，即在直线的某一侧取一个特殊点作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当时，常把原点作为测试点；当时，常选点或者作为测试点；线性规划的综合运用问题，通常会考查一些非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.‎ ‎2.常见的目标函数有： (1)截距型：形如，求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值． (2)距离型：形如. (3)斜率型：形如.注意：转化的等价性及几何意义．‎ ‎1. 【2017年高考全国Ⅱ卷，文7】设满足约束条件 ,则的最小值是 A. B. C. D ‎ ‎【答案】A 绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点 处取得最小值 .故选A.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎2. 【2017年高考山东卷，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由画出可行域及直线,如图所示,平移发现,‎ 当其经过直线与的交点时,最大为,故选D.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.‎ ‎(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．‎ ‎3.【2017年高考北京卷，文4】若满足则的最大值为 ‎（A）1 （B）3‎ ‎（C）5 （D）9‎ ‎【答案】D ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】‎ ‎4.【2017年高考山东卷，文3】已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是 A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎【答案】D中·华.资*源%库 ziyuanku.com ‎【解析】‎ 试题分析：由画出可行域及直线,如图所示,平移发现,‎ 当其经过直线与的交点时,最大为,故选D.‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组,则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；当不等式中带等号时,边界为实线,不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.‎ ‎(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解对应的点；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．‎ ‎5. 【2017年高考江苏卷，文13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】直线与圆，线性规划 ‎【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎6．【2017南阳一中四模】设， 满足约束条件若目标函数的最小值为，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域图：（阴影部分 ）. ‎ ‎ 由 得 ，平移直线，由图象可知当直线经过点 时，直线截距最小，此时 最小，由 ，解得 ，即 ，同时也在直线上 ，即，则 ，故选A.‎ ‎【点拨】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.‎ 含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.‎ ‎7．【2017安庆一中三模】已知实数， 满足条件，则的最大值为（　　）‎ A. B. 0 C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【点拨】本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎8．【2017辽宁庄河四模】设实数满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎9．【2017长沙长郡中学临考卷】若变量满足约束条件，且的最小值为，则（ ）‎ A. 9 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，‎ 由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．目标函数为，由，解得，即．由点也在直线上，所以．故本题答案选．‎ ‎【点拨】本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①利用截距的几何意义;②利用斜率的几何意义;③利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出的可行域,利用的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. ‎ ‎10．【2017辽宁实验中学六模】设命题实数满足，命题实数满足，则命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【点拨】‎ 对于点集（x,y）的集合或命题关系时，我们可以画出两个集合或命题的的图像，再根据小范围推大范围来判断两个集合或命题关系，但是要注意两集合相等或命题等价的情况。‎ ‎11．【2017锦州二模】设实数， 满足约束条件则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 实数x、y满足约束条件的可行域如图：‎ 可得A(,3),B(,),C(,)，目标函数在线段AB处取得最小值。‎ ‎,当且仅当时， 的最小值为2.‎ ‎【点拨】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎12．【2017巢湖最后一模】已知实数， 满足不等式组目标函数，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【点拨】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎13．【2017雅礼中学二模】若变量满足，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【点拨】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．【2017佳木斯一中三模】若变量满足约束条件，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义是区域内的点与定点 连线的斜率，由图象知 的斜率最大， 的斜率最小， 的最大值为 的最小值为 ，即的取值范围是 ，故答案为.‎ ‎【点拨】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属中档题.求目标函数最值的一般步骤是 “一画、二移（转）、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移（旋转）变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15．【2017石家庄二中三模】已知变量 满足约束条件 ，则 的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围 ‎16.【2016年高考全国卷Ⅱ，文14】若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【点拨】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎17.【2016年高考全国Ⅲ卷，文13】若满足约束条件 则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】简单的线性规划问题 ‎【点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．‎ ‎18．【2016年高考上海卷，文7】若满足 则的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，令，当直线经过点时，取得最大值.‎ P O y x ‎【考点】线性规划及其图解法 ‎【点拨】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.‎ ‎19．【2016年高考浙江卷，文4】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【考点】线性规划.‎ ‎【点拨】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．‎ ‎20．【2016年高考江苏卷12】已知实数满足 则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】线性规划 ‎【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.‎