【数学】2019届一轮复习人教A版选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题学案 6页

选用合理参数解直线与圆锥曲线综合题 直线与圆锥曲线综合题一般通过直线方程与圆锥曲线方程的联立得到一个关于或的方程，利用判别式和根与系数的关系求解，但是利用向量或者三角函数有时也很简单，其中利用向量已经成为近年的考查热点，我们首先通过一个题目的三种解法了解三种方法一般过程.‎ 引例：已知椭圆上一动点关于轴的对称点为，点的坐标为，直线交椭圆 于点，求证：直线经过定点，并求定点的坐标.‎ 一、三种解法：‎ 解法一（设法）： 设，则，设，显然直线有斜率，‎ 设直线的方程为，代入并整理得：‎ ‎.由题意必有，‎ 于是由根与系数关系得：， ‎ 直线方程为，当， ‎ 令有，‎ 把代入整理得：‎ ‎，再将 代入上式化简得.所以直线过定点.‎ 当时，，直线即轴，也过定点.‎ 综上直线过定点.‎ 解法二（设法）：设，则，设，直线与轴交点为，‎ 则，，‎ 设，（由图知），‎ 则有，即 又，在上，‎ 所以，‎ 得：，‎ ‎，注意到，‎ 上式化简为，即，‎ 由知，于是即，‎ 这样我们有，‎ 得，‎ 即，注意到，所以.‎ 即直线过定点.‎ 解法三（设法）：设 设直线与轴交点为，又，‎ 显然 所在直线有斜率，‎ 于是，即，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 显然，否则重合，于是，‎ 由三点共线得：‎ ‎，于是当时，‎ ‎ ，‎ 即直线过定点.‎ 当时，，直线即轴，也过定点.‎ 综上直线过定点.‎ 二、三种解法的比较：‎ 仔细分析题意，可以发现，题目的条件有三个点在曲线上（考虑到的对称，实际上可以看作只有两个点在曲线上），有两个三点共线，现在把三种解法中对于点在曲线上和三点共线的转化作一次比较，我们希望从这个比较中看到它们的优点与缺点，并进一步研究面对具体问题应该如何选择简单的方法，请看下表：‎ 三个点 在 的转化 三点共线 与三点共线的转化 方法比较 设法 点的横坐标转化为方程的根，利用根与系数关系可得与 的关系，化简目标十分明确，但是注意没有斜率和斜率为零的情况，这是解决直线与圆锥曲线的一般方法.‎ 设法 利用可以消去得 与的关系，化简的目标需要仔细分析，明确消去哪个未知数，但是由于化简使用了平方差公式，使得计算比较简单，而且避开了有关斜率的讨论，这是向量法的优越性.‎ 设法 的关系直接化为的关系，利用三角恒等变换寻求的更加简明的关系，直接求得的值，但容易忽视讨论，三角恒等变形也是一个难点.‎ 三、在一个具体的问题中，如何选用这三种方法呢？下面结合具体的例子谈谈一般规律：‎ ‎1、当题目条件与结论涉及交点个数，长度，倾斜角与斜率等问题时，一般选用设法这个一般方法：‎ 例题1：过抛物线的焦点作弦，且，直线与椭圆交与两个不同的点，求直线倾斜角的取值范围.‎ 解：由已知得，设直线的方程为.‎ 由得：.‎ 显然，，‎ 所以，解得.‎ 由得：，显然，‎ ‎，解得.‎ 所以，即，又，所以.‎ ‎2、当题目条件与结论涉诸点共线或者线段之比时，一般选用设法：‎ 例题2：已知椭圆，过右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，在之间，求的值. ‎ 解：设，则，，其中为坐标原点，设，由于，所以 ，，‎ 把代入椭圆得： ，去分母整理得：，同理可得，所以是方程的两个根，所以 结合图形可知，，所以 ‎3、遇到求曲线上的点与直线的距离的最值问题、范围问题时，选用设法比较简单：‎ 例题3：求椭圆上的点与直线距离的最大值.‎ 解：设椭圆上任意一点，‎ 到直线的距离是，‎ 当时，，‎ 所以椭圆上的点到椭圆距离的最大值为.‎ ‎ 对于同一个题目，不同的方法计算量可能相差很大，因此要注意选用合理的方法.‎