四川省泸县第五中学2020届高三下学期月考数学（理）试题 10页

‎2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．复数的虚部为 A． B． C．2 D．-2‎ ‎3．已知向量，且，那么的值为 A． B． C． D．‎ ‎4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A．6 B．10 C．91 D．92‎ ‎5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数，那么的值为 A． B． C． D．‎ ‎6．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎8．，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ ‎9．设函数，下述四个结论：‎ ‎①是偶函数；②的最小正周期为；③的最小值为0；④在 上有3个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④‎ ‎10．四面体的四个顶点都在球的表面上，，是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为 A． B． C．4 D．4‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.‎ ‎14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____．‎ ‎15．2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.‎ ‎16．已知数列满足)， ,则数列中最大项的值是__________．‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某市一中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：‎ ‎（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并据此判断甲乙两位同学的成绩谁更好？‎ ‎（Ⅱ）将同学乙的成绩的频率分布直方图补充完整；‎ ‎（III）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设选出的2个成绩中含甲的成绩的个数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎18．（12分）的内角，，的对边分别为，，，设.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围.‎ ‎19．（12分）如图，矩形中，，为的中点，现将与折起，使得平面及平面都与平面垂直.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.‎ ‎21．（12分）已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；‎ ‎（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若正数，，满足，求的最小值.‎ ‎2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试 理科数学参考答案 ‎1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B ‎13．6 14． 15．144 16．‎ ‎17．解：（1）甲的中位数是119，乙的中位数是128，乙的成绩更好 ‎（2）乙频率分布直方图如下图所示 ‎（3）甲乙不低于140分的成绩共5个，则的取值为0，1，2‎ ‎；；‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎18．（1）且，‎ 又，‎ ‎（2）由题意知：‎ ‎，‎ 或（舍）（当时取“”）‎ 综上，的面积的取值范围为 ‎19.（1）如图所示：‎ 分别取，的中点，，连结，，，‎ 则，，‎ 平面与平面都与平面垂直，平面，平面，‎ 由线面垂直的性质定理得，‎ ‎，四边形是平行四边形，，‎ 平面，平面．‎ ‎（2）如图，以为原点，，为，正半轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，，平面的法向量，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得．‎ 设二面角的平面角为，由图知为钝角，‎ ‎．∴二面角的余弦值为，则正弦值为．‎ ‎20．解：（Ⅰ）设，‎ 因为点的坐标为，所以直线的斜率为 同理，直线的斜率为由题设条件可得，.‎ 化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 因为为的重心，所以，所以，，‎ 由得，‎ ‎，，，，∴，又点在椭圆上，所以，∴，‎ 因为为的重心，所以是的倍，‎ ‎，原点到直线的距离为，‎ ‎.所以，所以，的面积为定值，该定值为.‎ ‎21解：（1）（），‎ 所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程 有唯一实数解，故．‎ ‎（2），，‎ 设，则，‎ 易知在上是减函数，从而．‎ ‎①当，即时，，在区间上是增函数，‎ ‎∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．‎ ‎∴在区间上是减函数，所以满足题意．　‎ ‎②当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，‎ 又∵，∴，又∵，‎ ‎∴在内有唯一一个零点，当时，，当时，.‎ 从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.‎ ‎∴不合题意．综上①②得，．‎ ‎22．解：（1）曲线的直角坐标方程为，将极坐标与直角坐标的互化公式：代入，‎ 可得曲线的极坐标方程为.联立与，得 ‎∴曲线与公共弦所在直线的极坐标方程,（或和）‎ ‎（2）把，代入，，得；‎ 又，则=2，可得所以 ‎，‎ ‎23．解：（1）化简得.‎ ‎①当时，，由，即，解得，又，所以；②当时，，由，即，‎ 解得，又，所以；③当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.‎ ‎（2）由于，故，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴由柯西不等式：‎ 上式 ‎.‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以的最小值为.‎