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  • 2021-06-16 发布

2018届二轮复习(理)专题三 三角函数、解三角形与平面向量第2讲 三角变换与解三角形课件(全国通用)

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第 2 讲 三角变换与解三角形 专题三   三角函数、解三角形与平面向量 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一 三角恒等变换 1. 三角求值 “ 三大类型 ” “ 给角求值 ”“ 给值求值 ”“ 给值求角 ”. 2. 三角函数恒等变换 “ 四大策略 ” (1) 常值代换:特别是 “ 1 ” 的代换, 1 = sin 2 θ + cos 2 θ = tan 45° 等 . (2) 项的分拆与角的配凑:如 sin 2 α + 2cos 2 α = (sin 2 α + cos 2 α ) + cos 2 α , α = ( α - β ) + β 等 . (3) 降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次 . (4) 弦、切互化:一般是切化弦 . 答案 解析 思维升华 思维升华  三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现 “ 张冠李戴 ” 的情况 . √ 化简得 4sin 2 α = 3cos 2 α , 答案 解析 √ 所以 sin β = sin [ α - ( α - β ) ] = sin α cos( α - β ) - cos α sin( α - β ) 思维升华 思维升华  求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解 . 答案 解析 √ 答案 解析 热点二 正弦定理、余弦定理 (1) 求 c ; 即 c 2 + 2 c - 24 = 0 ,解得 c =- 6( 舍去 ) 或 c = 4. 所以 c = 4. 解答 (2) 设 D 为 BC 边上一点,且 AD ⊥ AC ,求 △ ABD 的面积 . 思维升华 解答 思维升华  关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意 “ 三统一 ” ,即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” ,这是使问题获得解决的突破口 . 解  由 a cos C = (2 b - c )cos A , 得 sin A cos C = (2sin B - sin C )cos A , 即 sin A cos C + cos A sin C = 2sin B cos A , 即 sin( A + C ) = 2sin B cos A ,即 sin B = 2sin B cos A . 解答 跟踪演练 2   (2017· 广西陆川县中学知识竞赛 ) 在锐角 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 a cos C = (2 b - c )cos A . (1) 求角 A ; 于是 ( b + c ) 2 = 89 + 2 × 40 = 169 , ∴ b + c = 13( 舍负 ). 解答 热点三 解三角形与三角函数的综合问题 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点,主要考查三角形的基本量,三角形的面积或判断三角形的形状 . (1) 求 ω 的值及 f ( x ) 的对称轴方程; 解答 解答 思维升华 所以 sin B = sin( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C 思维升华  解三角形与三角函数的综合题,要优先考虑角的范围和角之间的关系;对最值或范围问题,可以转化为三角函数的值域来求 . (1) 求 m 的值; 解答 解得 m = 1. 解答 ∴ ac = 4. ∵ b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac cos B = ( a + c ) 2 - 3 ac = 4 , ∴ ( a + c ) 2 = 4 + 12 = 16 , ∴ a + c = 4 , ∴△ ABC 的周长为 a + b + c = 6. Ⅱ 真题押题精练 解析  ∵ 等式右边= sin A cos C + (sin A cos C + cos A sin C ) = sin A cos C + sin( A + C ) = sin A cos C + sin B , 等式左边= sin B + 2sin B cos C , ∴ sin B + 2sin B cos C = sin A cos C + sin B . 由 cos C > 0 ,得 sin A = 2sin B . 根据 正弦定理,得 a = 2 b . 真题体验 1.(2017· 山东改编 ) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c . 若 △ ABC 为锐角三角形,且满足 sin B (1 + 2cos C ) = 2sin A cos C + cos A sin C ,则下列等式成立的是 _____.( 填序号 ) ① a = 2 b; ② b = 2 a; ③ A = 2 B; ④ B = 2 A . ① 1 2 3 4 答案 解析 2.(2017· 北京 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的 终边关于 y 轴对称 . 若 sin α = , cos( α - β ) = _____. 答案 解析 解析  由题意知 α + β = π + 2 k π( k ∈ Z ) , ∴ cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β =- cos 2 α + sin 2 α = 2sin 2 α - 1 1 2 3 4 ∴ 6tan α - 6 = 1 + tan α (tan α ≠ - 1) , 1 2 3 4 答案 解析 4.(2017· 浙江 ) 已知 △ ABC , AB = AC = 4 , BC = 2. 点 D 为 AB 延长线上一点 , BD = 2 ,连接 CD ,则 △ BDC 的面积是 ______ , cos ∠ BDC = ______. 答案 解析 1 2 3 4 解析  依题意作出图形,如图所示, 则 sin ∠ DBC = sin ∠ ABC . 由题意知 AB = AC = 4 , BC = BD = 2 , 1 2 3 4 押题预测 答案 解析 押题依据  三角形的面积求法较多,而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解,此题很好地体现了综合性考查的目的,也是高考的重点 . 押题依据 1 2 1 2 解 答 押题依据  三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势,本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域,还用到数列、基本不等式等知识,对学生能力要求较高 . 押题依据 (1) 求 ω 的值; 1 2 1 2 (2) 在 △ ABC 中, sin B , sin A , sin C 成等比数列,求此时 f ( A ) 的值域 . 解 答 1 2 因为 sin B , sin A , sin C 成等比数列, 所以 sin 2 A = sin B sin C , 所以 a 2 = bc , 1 2 1 2 因为 0< A <π ,