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- 2021-06-16 发布
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第
2
讲 三角变换与解三角形
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
热点分类突破
真题押题精练
Ⅰ
热点分类突破
热点一 三角恒等变换
1.
三角求值
“
三大类型
”
“
给角求值
”“
给值求值
”“
给值求角
”.
2.
三角函数恒等变换
“
四大策略
”
(1)
常值代换:特别是
“
1
”
的代换,
1
=
sin
2
θ
+
cos
2
θ
=
tan 45°
等
.
(2)
项的分拆与角的配凑:如
sin
2
α
+
2cos
2
α
=
(sin
2
α
+
cos
2
α
)
+
cos
2
α
,
α
=
(
α
-
β
)
+
β
等
.
(3)
降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次
.
(4)
弦、切互化:一般是切化弦
.
答案
解析
思维升华
思维升华
三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现
“
张冠李戴
”
的情况
.
√
化简得
4sin 2
α
=
3cos 2
α
,
答案
解析
√
所以
sin
β
=
sin
[
α
-
(
α
-
β
)
]
=
sin
α
cos(
α
-
β
)
-
cos
α
sin(
α
-
β
)
思维升华
思维升华
求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解
.
答案
解析
√
答案
解析
热点二 正弦定理、余弦定理
(1)
求
c
;
即
c
2
+
2
c
-
24
=
0
,解得
c
=-
6(
舍去
)
或
c
=
4.
所以
c
=
4.
解答
(2)
设
D
为
BC
边上一点,且
AD
⊥
AC
,求
△
ABD
的面积
.
思维升华
解答
思维升华
关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意
“
三统一
”
,即
“
统一角、统一函数、统一结构
”
,这是使问题获得解决的突破口
.
解
由
a
cos
C
=
(2
b
-
c
)cos
A
,
得
sin
A
cos
C
=
(2sin
B
-
sin
C
)cos
A
,
即
sin
A
cos
C
+
cos
A
sin
C
=
2sin
B
cos
A
,
即
sin(
A
+
C
)
=
2sin
B
cos
A
,即
sin
B
=
2sin
B
cos
A
.
解答
跟踪演练
2
(2017·
广西陆川县中学知识竞赛
)
在锐角
△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,且满足
a
cos
C
=
(2
b
-
c
)cos
A
.
(1)
求角
A
;
于是
(
b
+
c
)
2
=
89
+
2
×
40
=
169
,
∴
b
+
c
=
13(
舍负
).
解答
热点三 解三角形与三角函数的综合问题
解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点,主要考查三角形的基本量,三角形的面积或判断三角形的形状
.
(1)
求
ω
的值及
f
(
x
)
的对称轴方程;
解答
解答
思维升华
所以
sin
B
=
sin(
A
+
C
)
=
sin
A
cos
C
+
cos
A
sin
C
思维升华
解三角形与三角函数的综合题,要优先考虑角的范围和角之间的关系;对最值或范围问题,可以转化为三角函数的值域来求
.
(1)
求
m
的值;
解答
解得
m
=
1.
解答
∴
ac
=
4.
∵
b
2
=
a
2
+
c
2
-
2
ac
cos
B
=
(
a
+
c
)
2
-
3
ac
=
4
,
∴
(
a
+
c
)
2
=
4
+
12
=
16
,
∴
a
+
c
=
4
,
∴△
ABC
的周长为
a
+
b
+
c
=
6.
Ⅱ
真题押题精练
解析
∵
等式右边=
sin
A
cos
C
+
(sin
A
cos
C
+
cos
A
sin
C
)
=
sin
A
cos
C
+
sin(
A
+
C
)
=
sin
A
cos
C
+
sin
B
,
等式左边=
sin
B
+
2sin
B
cos
C
,
∴
sin
B
+
2sin
B
cos
C
=
sin
A
cos
C
+
sin
B
.
由
cos
C
>
0
,得
sin
A
=
2sin
B
.
根据
正弦定理,得
a
=
2
b
.
真题体验
1.(2017·
山东改编
)
在
△
ABC
中,角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
.
若
△
ABC
为锐角三角形,且满足
sin
B
(1
+
2cos
C
)
=
2sin
A
cos
C
+
cos
A
sin
C
,则下列等式成立的是
_____.(
填序号
)
①
a
=
2
b;
②
b
=
2
a;
③
A
=
2
B;
④
B
=
2
A
.
①
1
2
3
4
答案
解析
2.(2017·
北京
)
在平面直角坐标系
xOy
中,角
α
与角
β
均以
Ox
为始边,它们的
终边关于
y
轴对称
.
若
sin
α
=
,
cos(
α
-
β
)
=
_____.
答案
解析
解析
由题意知
α
+
β
=
π
+
2
k
π(
k
∈
Z
)
,
∴
cos(
α
-
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
=-
cos
2
α
+
sin
2
α
=
2sin
2
α
-
1
1
2
3
4
∴
6tan
α
-
6
=
1
+
tan
α
(tan
α
≠
-
1)
,
1
2
3
4
答案
解析
4.(2017·
浙江
)
已知
△
ABC
,
AB
=
AC
=
4
,
BC
=
2.
点
D
为
AB
延长线上一点
,
BD
=
2
,连接
CD
,则
△
BDC
的面积是
______
,
cos
∠
BDC
=
______.
答案
解析
1
2
3
4
解析
依题意作出图形,如图所示,
则
sin
∠
DBC
=
sin
∠
ABC
.
由题意知
AB
=
AC
=
4
,
BC
=
BD
=
2
,
1
2
3
4
押题预测
答案
解析
押题依据
三角形的面积求法较多,而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解,此题很好地体现了综合性考查的目的,也是高考的重点
.
押题依据
1
2
1
2
解
答
押题依据
三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势,本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域,还用到数列、基本不等式等知识,对学生能力要求较高
.
押题依据
(1)
求
ω
的值;
1
2
1
2
(2)
在
△
ABC
中,
sin
B
,
sin
A
,
sin
C
成等比数列,求此时
f
(
A
)
的值域
.
解
答
1
2
因为
sin
B
,
sin
A
,
sin
C
成等比数列,
所以
sin
2
A
=
sin
B
sin
C
,
所以
a
2
=
bc
,
1
2
1
2
因为
0<
A
<π
,
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