【数学】2021届一轮复习人教A版三角函数、三角恒等变换及解三角形学案 87页

,　　第三章　三角函数、三角恒等变换及解三角形) 第 1 课时　任意角和弧度制及任意角的 三角函数(对应学生用书(文)、(理)49～50 页) ① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的 意义. ② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的 互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义；了解有向线段的概念，会利用单位 圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、 正切． ① 能进行角度与弧度的互化. ② 能判断角所在的象限，会判断半角和倍角 所在的象限. ③ 准确理解任意角的三角函数的定义，熟记 特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函 数值的符号． 1. (必修 4P10 习题 9 改编)小明从家步行到学校需要 15 min，则这段时间内钟表的分针走 过的角度是________．　 答案：－90° 解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为 360°，所以360° 60 × 15＝90°，即分针走过的角度是－90°. 2. (必修 4P10 习题 4 改编)若角 θ 的终边与角4π 5 的终边相同，则在[0，2π)内终边与角θ 2 的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：{2π 5 ， 7π 5 } 解析：由题意 θ＝4π 5 ＋2kπ(k∈Z)，∴ θ 2＝2π 5 ＋kπ(k∈Z)． 由 0≤θ 2<2π，即 0≤2π 5 ＋kπ<2π知－2 5≤k<8 5，k∈Z. ∴ k＝0 或 1.故在[0，2π)内终边与角θ 2的终边相同的角的集合为{2π 5 ， 7π 5 }. 3. (必修 4P9 例 3 改编)已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为 __________． 答案：6 解析：设扇形的半径为 R，则 1 2R2α＝2，∴ 1 2R2×4＝2.而 R2＝1，∴ R＝1，∴ 扇形 的周长为 2R＋α·R＝2＋4＝6. 4. 已知角 θ 的终边经过点 P(8，m＋1)，且 sin θ＝3 5，则 m＝________． 答案：5 解析：sin θ＝ m＋1 82＋（m＋1）2＝3 5，解得 m＝5. 5. 函数 y＝lg(2cos x－1)的定义域为____________． 答案：(2kπ－π 3 ，2kπ＋π 3 )(k∈Z) 解析：∵ 2cos x－1＞0，∴ cos x＞1 2.利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图 阴影部分所示)，∴ x∈(2kπ－π 3 ，2kπ＋π 3 )(k∈Z)． 1. 任意角 (1) 角的概念的推广 ① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z)． (3) 弧度制 ① 1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． ② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径． ③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ π 180 rad；1 rad＝180 π 度． ④ 弧长公式：l＝|α|r． 扇形面积公式：S 扇形＝1 2lr＝1 2|α|r2． 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数的定义 设 P(x，y)是角 α 终边上任意一点，且|PO|＝r(r＞0)，则有 sin α＝y r，cos α＝x r，tan α＝ y x，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数． (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值 角 α α 弧度数 sin α cos α tan α 0° 0 0 1 0 30° π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° π 3 3 2 1 2 3 90° π 2 1 0 / 120° 2π 3 3 2 －1 2 － 3 续表 角 α α 弧度数 sin α cos α tan α 135° 3π 4 2 2 － 2 2 －1 150° 5π 6 1 2 － 3 2 － 3 3 180° π 0 －1 0 270° 3π 2 －1 0 / 3. 三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过点 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M，则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影．由三角函数的定义知， 点 P 的坐标为(cos_α，sin_α)，其中 cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与 x 轴的正半 轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan α＝ AT．我们把有向线段 OM，MP，AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线． 三角函数线 [备课札记] ,　　　　　　　　　1　象限角及终 边相同的角) ,　　　　　1)　(1) 已知 α＝－2 017°，则与角 α 终边相同的最小正角为________， 最大负角为________． (2) (必修 4P10 习题 12 改编)已知角 α 是第三象限角，试判断： ① π－α 是第几象限角？② α 2是第几象限角？③ 2α 的终边在什么位置？ (1) 答案：143°　－217° 解析：α 可以写成－6×360°＋143°的形式，则与 α 终边相同的角可以写成 k·360°＋ 143°(k∈Z)的形式．当 k＝0 时，可得与角 α 终边相同的最小正角为 143°，当 k＝－1 时， 可得最大负角为－217°. (2) 解：①∵ α 是第三象限角， ∴ 2kπ＋π<α<2kπ＋3π 2 ，k∈Z. ∴ －2kπ－ π 2 <π－α<－2kπ，k∈Z. ∴ π－α 是第四象限角． ② ∵ kπ＋ π 2 <α 20)，扇形所在圆的半径为 R. (1) 若 α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2) 若扇形的周长是一定值 C cm(C>0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解：(1) 设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，又 α＝90°＝ π 2 ，R＝10，则 l＝ π 2 ×10＝5π (cm)， S 弓＝S 扇－S 三角形＝1 2×5π×10－1 2×102＝25π－50 (cm2)． (2) 扇形周长 C＝2R＋l＝(2R＋αR)cm，∴ R＝ C 2＋αcm， ∴ S 扇＝1 2α·R2＝1 2α·( C 2＋α )2 ＝C2α 2 · 1 4＋4α＋α2＝C2 2 · 1 4＋α＋4 α ≤C2 16. 当且仅当 α2＝4，即α＝2 时，扇形面积有最大值C2 16 cm2. 1. 给出下列命题： ① 第二象限角大于第一象限角； ② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④ 若 sin α＝sin β，则 α 与 β 的终边相同； ⑤ 若 cos θ<0，则 θ 是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③ 解析：由于第一象限角 370°大于第二象限角 100°，故①错；当三角形的内角为 90° 时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边 不一定相同，故④错；当 θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象 限角，故⑤错．综上可知，只有③正确． 2. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝________． 答案：－3 5 解析：取终边上一点(a，2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得 cos θ＝± 5 5 ， 故 cos 2θ＝2cos2θ－1＝－3 5. 3. (2018·扬州一中月考改编)已知角 α 的终边与单位圆 x 2＋y2＝1 交于点 P(1 2，y0)，则 cos α＝________． 答案：1 2 解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r＝1 2. 4. (2018·苏北四市期末)已知角 α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0， 则实数 a 的取值范围是________． 答案：(－2，3] 解析：∵ cos α≤0，sin α>0， ∴ 角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上． ∴ {3a－9 ≤ 0， a＋2 > 0， ∴ －20，即 sin x－cos x<0. 则 sin x－cos x＝－ sin2x－2sin xcos x＋cos2x＝－ 1＋24 25＝－7 5. (1) sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x) ＝1 5×(－7 5 )＝－ 7 25. (2) 由{sin x＋cos x＝1 5， sin x－cos x＝－7 5， 得{sin x＝－3 5， cos x＝4 5， 则 tan x＝－3 4. 即 tan x 2sin x＋cos x＝ －3 4 －6 5＋4 5 ＝15 8 . 变式训练 (2018·盐城模拟)已知 sin αcos α＝1 8，且5π 4 <α<3π 2 ，则 cos α－sin α的值为________． 答案： 3 2 解析：∵ 5π 4 <α<3π 2 ，∴ cos α<0，sin α<0，且 cos α>sin α，∴ cos α－sin α >0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×1 8＝3 4， ∴ cos α－sin α＝ 3 2 . ,　　　　　2)　(必修 4P23 习题 12(2)改编)化简： ( 1＋sin α 1－sin α－ 1－sin α 1＋sin α)·( 1＋cos α 1－cos α－ 1－cos α 1＋cos α)． 解 ： 原 式 ＝ [ （1＋sin α）2 cos2α － （1－sin α）2 cos2α ]·[ （1＋cos α）2 sin2α － （1－cos α）2 sin2α ] ＝ (1＋sin α |cos α| － 1－sin α |cos α| )·(1＋cos α |sin α| － 1－cos α |sin α| ) ＝ 2sin α |cos α|· 2cos α |sin α| ＝{4，α在第一、三象限时， －4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享） 若 α 为第二象限角，则 cos α 1＋tan2α＋sin α 1＋ 1 tan2α＝________． 答案：0 解析：原式＝cos α sin2α＋cos2α cos2α ＋sin α sin2α＋cos2α sin2α ＝cos α 1 |cos α|＋sin α 1 |sin α|.因为 α 是第二象限角，所以 sin α＞0，cos α＜0，所以 cos α 1 |cos α|＋sin α 1 |sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于 0. ,　　　　　　　　　2　诱导公式及 其运用) , 　 　 　 　 　 3) 　 已 知 sin(x＋π 6 )＝ 1 3， 则 sin(x－5π 6 )＋ sin2 (π 3 －x)的 值 为 __________． 答案：5 9 解析：由诱导公式得 sin (x－5π 6 )＝－sin(x＋π 6 )＝－1 3，sin2(π 3 －x)＝cos2(x＋π 6 )＝8 9， 则 sin(x－5π 6 )＋sin2(π 3 －x)＝8 9－1 3＝5 9. 变式训练 已知 cos(π 6 －θ)＝a(|a|≤1)，则 cos(5π 6 ＋θ)＋sin(2π 3 －θ)＝__________． 答案：0 解析：由题意知，cos(5π 6 ＋θ)＝cos[π－(π 6 －θ)]＝ －cos(π 6 －θ)＝－a. sin(2π 3 －θ)＝sin[π 2 ＋(π 6 －θ)]＝cos(π 6 －θ)＝a， ∴ cos(5π 6 ＋θ)＋sin(2π 3 －θ)＝0. ,　　　　　　　　　3　同角三角函 数的基本关系与诱导公式的综合应用) ,　　　　　4)　(1) 设 tan(5π＋α)＝m，求 sin（α－3π）＋cos（π－α） sin（－α）－cos（π＋α） 的值； (2) 在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：(1) 由 tan(5π＋α)＝m，得 tan α＝m， ∴ sin（α－3π）＋cos（π－α） sin（－α）－cos（π＋α） ＝ －sin α－cos α －sin α＋cos α＝ tan α＋1 tan α－1＝m＋1 m－1. (2) 由已知得{sin A＝ 2sin B，　① 3cos A＝ 2cos B，　② ①2＋②2 得 2cos2A＝1，即 cos A＝± 2 2 . (ⅰ) 当 cos A＝ 2 2 时，cos B＝ 3 2 . 又∵ A，B 是三角形的内角， ∴ A＝ π 4 ，B＝ π 6 ，∴ C＝π－(A＋B)＝7π 12 . (ⅱ) 当 cos A＝－ 2 2 时，cos B＝－ 3 2 . 又∵ A，B 是三角形的内角， ∴ A＝3π 4 ，B＝5π 6 ，不合题意． 综上知，A＝ π 4 ，B＝ π 6 ，C＝7π 12 . 变式训练 (1) (2018· 江 西 联 考 ) 已 知 tan(π － α) ＝ － 2 3， 且 α∈(－π，－π 2 )， 求 cos（－α）＋3sin（π＋α） cos（π－α）＋9sin α 的值； (2) 在△ABC 中，若 sin(3π－A)＝ 2sin(π－B)，cos(3π 2 －A)＝ 2cos(π－B)．试判断三 角形的形状． 解：(1) 由已知得 tan α＝2 3， cos（－α）＋3sin（π＋α） cos（π－α）＋9sin α ＝ cos α－3sin α －cos α＋9sin α＝ 1－3tan α －1＋9tan α＝ 1－3 × 2 3 －1＋9 × 2 3 ＝－1 5. (2) 由题设条件，得 sin A＝ 2sin B，－sin A＝－ 2cos B， ∴ sin B＝cos B，∴ tan B＝1. ∵ B∈(0，π)，∴ B＝ π 4 ， ∴ sin A＝ 2× 2 2 ＝1. 又 A∈(0，π)，∴ A＝ π 2 ，∴ C＝ π 4 . ∴ △ABC 是等腰直角三角形． 1. 已知 cos 31°＝a，则 sin 239°·tan 149°的值是________． 答案： 1－a2 解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos 31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝ 1－a2. 2. 已知 α 为锐角，且 tan(π－α)＋3＝0，则 sin α的值是________． 答案：3 10 10 解析：(解法 1)由 tan(π－α)＋3＝0，得 tan α＝3，即 sin α cos α＝3，sin α＝3cos α， 所以 sin2α＝9(1－sin2α)，10sin2α＝9，sin2α＝ 9 10.因为 α 为锐角，所以 sin α＝3 10 10 . (解法 2)因为 α 为锐角，且 tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0 即 tan α＝3.在如图 所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC＝3，则 AC＝1，所以 AB＝ 32＋12＝ 10，故 sin α＝ 3 10 ＝3 10 10 . 3. (2018· 南 通 调 研 ) 已 知 sin θ ＋ cos θ ＝ 4 3， θ ∈(0， π 4 )， 则 sin θ － cos θ ＝ ________． 答案：－ 2 3 解析：∵ sin θ＋cos θ＝4 3，∴ 2sin θcos θ＝7 9， ∴ (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝2 9，∴ sin θ－cos θ＝ 2 3 或－ 2 3 .∵ θ∈(0， π 4 )， ∴ sin θ 0，ω > 0，0 < φ < π 2 )的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 当 t ＝ 1 100 s 时 ， 电 流 强 度 是 __________A. 答案：－5 解析：由图象知 A＝10，T 2＝ 4 300－ 1 300＝ 1 100，∴ ω＝2π T ＝100π.∴ I＝10sin(100πt＋ φ).( 1 300，10)为五点中的第二个点，∴ 100π× 1 300＋φ＝ π 2 .∴ φ＝ π 6 .∴ I＝10sin(100πt＋ π 6 )，当 t＝ 1 100 s 时，I＝－5 A. 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得当 x 取定义域 内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么称 y＝f(x)为周期函数；函数 y＝Asin(ωx＋φ) 和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为 T＝2π |ω|； 函数 y＝Atan(ωx＋φ)的周期为 T＝ π |ω|.2. 三角函数的图象和性质 三角函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x ∈ R|x ≠ kπ＋π 2 ，k ∈ Z} 值域和最值 [－1，1] 最大值：1 最小值：－1 [－1，1] 最大值：1 最小值：－1 R 无最值 周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于原点对称 单调区间 在[2kπ－ π 2 ，2kπ＋ π 2 ](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ＋ π 2 ，2kπ＋ 3π 2 ](k∈Z)上单调递 减 在[2kπ－π，2k π](k∈Z)上单调递增； 在[2kπ，2kπ＋ π](k∈Z)上单调递减 在(kπ－ π 2 ，kπ＋ π 2 )(k∈Z)上单调递增 3. “五点法”作图 在确定正弦函数 y＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)， (π 2，1 )，(π，0)，(3π 2 ，－1)，(2π，0)． 余弦函数呢？ 4. 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的特征 若函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，x∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则 A 叫 做振幅，T＝2π ω 叫做周期，f＝1 T叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ叫做初相． [备课札记] ,　　　　　　　　　1　“五点法” 与“变换法”作图) ,　　　　　1)　(必修 4P40 练习 7 改编)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋ π 3 )(ω＞0)的周期 为π. (1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2) 说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解：∵ T＝π，∴ 2π ω ＝π，即 ω＝2. ∴ f(x)＝2sin(2x＋π 3 ). (1) 令 X＝2x＋ π 3 ，则 y＝2sin(2x＋π 3 )＝2sin X. 列表如下： x － π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6 X 0 π 2 π 3π 2 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin(2x＋π 3 ) 0 2 0 －2 0 图象如图： (2) (解法 1)把 y＝sin x 的图象上所有点向左平移 π 3 个单位，得到 y＝sin (x＋π 3 )的图象； 再把 y＝sin (x＋π 3 )的图象上所有点的横坐标变为原来的1 2(纵坐标不变)，得到 y＝sin (2x＋π 3 )的图象；最后把 y＝sin (2x＋π 3 )的图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不 变)，即可得到 y＝2sin (2x＋π 3 )的图象． (解法 2)将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 变为原来的1 2，纵坐标不变，得到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移 π 6 个单位，得到 y＝sin 2(x＋π 6 )＝sin (2x＋π 3 )的 图象；再将 y＝sin (2x＋π 3 )的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得 到 y＝2sin (2x＋π 3 )的图象． 备选变式（教师专享） 已知 f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω > 0，－π 2 < φ < 0)的最小正周期为 π，且 f(π 4 )＝ 3 2 . (1) 求 ω 和 φ 的值； (2) 在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0，π]上的图象； (3) 若 f(x)> 2 2 ，求 x 的取值范围． 解：(1) 周期 T＝2π ω ＝π，∴ ω＝2. ∵ f(π 4 )＝cos(2 × π 4＋φ)＝cos(π 2＋φ )＝－sin φ＝ 3 2 .又－π 2<φ<0，∴ φ＝－π 3. (2) 由(1)得 f(x)＝cos(2x－π 3)，列表如下： x 0 π 6 5 12π 2 3π 11 12π π 2x－π 3 －π 3 0 π 2 π 3 2π 5 3π f(x) 1 2 1 0 －1 0 1 2 图象如图： (3)∵ cos(2x－π 3)> 2 2 ，∴ 2kπ－π 4<2x－π 3<2kπ＋π 4，∴ 2kπ＋ π 12<2x<2kπ＋7π 12， ∴ kπ＋ π 240)的形式，再将 ωx＋φ 看成整体，利用正弦函数 y＝ sin x 的性质进行求解． ●题组练透 1. 将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点(π 6 ， 3 2 )，则 φ 的最小值为__________． 答案： π 6 解析：易知 y＝sin 2(x＋φ)，即 y＝sin(2x＋2φ)．∵ 图象过点(π 6 ， 3 2 )，∴ sin(π 3 ＋2φ) ＝ 3 2 ，∴ π 3 ＋2φ＝ π 3 ＋2kπ或 π 3 ＋2φ＝2π 3 ＋2kπ，k∈Z，即 φ＝kπ或 φ＝ π 6 ＋kπ，k∈ Z.∵ φ>0，∴ φ的最小值为 π 6 .Ｋ 2. 设函数 y＝sin(ωx＋π 3 )(0＜x＜π)，当且仅当 x＝ π 12时，y 取得最大值，则正数 ω 的 值为__________． 答案：2 解析：当 x＝ π 12时，令 ωx＋ π 3 ＝ π 2 ，则正数 ω＝2. 3. 函数 f(x)＝sin (2x－π 4 )在区间[0， π 2 ]上的最小值为________． 答案：－ 2 2 解析：由已知 x∈[0， π 2 ]，得 2x－ π 4 ∈[－π 4 ， 3π 4 ]，所以 sin(2x－π 4 )∈[－ 2 2 ，1]，故 函数 f(x)＝sin (2x－π 4 )在区间[0， π 2 ]上的最小值为－ 2 2 . 4. 设函数 f(x)＝2sin (ωx＋φ＋π 3 )(ω＞0，|φ|＜π 2 )的最小正周期为π，且满足 f(－x)＝ －f(x)． (1) 求函数 f(x)的单调递增区间； (2) 当 x∈[0， π 2 ]时，试求 y＝f (x－π 6 )的最值，并写出取得最值时自变量 x 的值． 解：(1) 因为 f(x)的最小正周期为π，所以 T＝2π ω ＝π，解得 ω＝2.又 f(－x)＝－f(x)， 所以 f(0)＝0，所以 sin(φ＋π 3 )＝0.又|φ|＜ π 2 ，所以φ＝－ π 3 ，所以 ω＝2，φ＝－ π 3 ，所以 f(x) ＝ 2sin 2x. 则 2x ∈ [2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 ](k∈Z) ， 解 得 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 [kπ－π 4 ，kπ＋π 4 ](k∈Z)． (2) 当 x∈[0， π 2 ]时 ， 2x － π 3 ∈ [－π 3 ， 2π 3 ]， y ＝ f(x－π 6 )＝ 2sin 2(x－π 6 )＝ 2sin(2x－π 3 ). 当 2x－ π 3 ＝ π 2 ，即 x＝5π 12 时，f(x)取得最大值 2；当 2x－ π 3 ＝－ π 3 ，即 x＝0 时，f(x)取 得最小值－ 3. ,　　　　　　　　　3　根据图象 和性质确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式) ,　　　　　3)　设函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－ π 2 ＜φ＜ π 2 ，x∈R)的 部分图象如图所示． (1) 求函数 y＝f(x)的解析式； (2) 当 x∈[－π 2 ， π 2 ]时，求 f(x)的取值范围． 解：(1) 由图象知，A＝2. 又T 4＝5π 6 － π 3 ＝ π 2 ，ω＞0，所以 T＝2π＝2π ω ，得 ω＝1.所以 f(x)＝2sin(x＋φ)，将点 (π 3 ，2)代入，得 π 3 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝ π 6 ＋2kπ(k∈Z)． 又－ π 2 ＜φ＜ π 2 ，所以 φ＝ π 6 .所以 f(x)＝2sin(x＋π 6 ). (2) 当 x∈[－π 2 ， π 2 ]时，x＋ π 6 ∈[－π 3 ， 2π 3 ]， 所以 sin(x＋π 6 )∈[－ 3 2 ，1]， 即 f(x)∈[－ 3，2]． 变式训练 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ－π 6 )(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数 y＝f(x)图象的两 相邻对称轴间的距离为 π 2 . (1) 求 f (π 8 )的值； (2) 将函数 y＝f(x)的图象向右平移 π 6 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原 来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的解析式，并写出 g(x)的单调递 减区间． 解：(1) ∵ f(x)为偶函数， ∴ φ－ π 6 ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z，解得 φ＝2π 3 ＋kπ，k∈Z. ∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π 3 . 由题意得2π ω ＝2× π 2 ，解得ω＝2. 故 f(x)＝2cos 2x，f(π 8 )＝2cos π 4 ＝ 2. (2) 将 f(x)的图象向右平移 π 6 个单位后，得到 f (x－π 6 )的图象，再将所得图象上各点的 横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到 f (x 4－π 6 )的图象，所以 g(x)＝f(x 4－ π 6 )＝2cos [2(x 4－π 6 )]＝2cos(x 2－π 3 ). 当 2kπ≤x 2－ π 3 ≤2kπ＋π(k∈Z)，即 4kπ＋2π 3 ≤x≤4kπ＋8π 3 (k∈Z)时，g(x)单调递 减． 因此 g(x)的单调递减区间为[4kπ＋2π 3 ，4kπ＋8π 3 ](k∈Z)． ,　　　　　　　　　4　三角函数的 应用) ,　　　　　4)　(必修 4P42 例 2 改编)如图，一个水轮的半径为 4 m，水轮圆心 O 距离水面 2 m，已知水轮每分钟转动 5 圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始 计算时间． (1) 将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数； (2) 点 P 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解：(1) 建立如图所示的直角坐标系， 设角 φ (－π 2 < φ < 0)是以 Ox 为始边，OP0 为终边的角． OP 每秒钟内所转过的角为5 × 2π 60 ＝ π 6 . 则 OP 在 t(s)内所转过的角为 π 6 t. 由题意可知水轮逆时针转动，得 z＝4sin(π 6 t＋φ)＋2. 当 t＝0 时，z＝0，得 sin φ＝－1 2，即 φ＝－ π 6 . 故所求函数解析式为 z＝4sin(π 6 t－π 6 )＋2. (2) 令 z＝4sin(π 6 t－π 6 )＋2＝6，得 sin(π 6 t－π 6 )＝1. 令 π 6 t－ π 6 ＝ π 2 ，得 t＝4， 故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s. 备选变式（教师专享） 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8 m，圆上最低点与地面距离为 0.8 m，且 60 s 转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 θ 角到 OB，设 B 点与地面间 的距离为 h. (1) 求 h 与 θ 之间的函数解析式； (2) 设从 OA 开始转动，经过 t s 后到达 OB，求 h 与 t 之间的函数解析式，并求缆车到 达最高点时用的最少时间是多少． 解：(1) 以圆心 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 则以 Ox 为始边，OB 为终边的角为 θ－ π 2 ， 故点 B 的坐标为(4.8cos(θ－π 2 )，4.8sin(θ－π 2 ))， ∴ h＝5.6＋4.8sin(θ－π 2 ). (2) 点 A 在圆上转动的角速度是 π 30 rad/s， 故 t s 转过的弧度数为 π 30t， ∴ h＝5.6＋4.8sin(π 30t－π 2 )，t∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h＝10.4 m. 由 sin(π 30t－π 2 )＝1，得 π 30t－ π 2 ＝ π 2 ，∴ t＝30 s， ∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为 30 s. 1. 已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π 2 )的最小正周期为π，且它的图象过点 (－π 12，－ 2)，则 φ 的值为__________． 答案：－ π 12 解析：f(x)＝2sin(ωx＋φ) 的最小正周期为π，则 ω＝2，所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，它的 图象过点(－π 12，－ 2)，则 sin(φ－π 6 )＝－ 2 2 (|φ|＜π 2 )，故 φ＝－ π 12. 2. 函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．若 A，B 两点之间的距离 AB＝5，则 ω 的值为________． 答案： π 3 解析：AB＝5，|yA－yB|＝4，则|xA－xB|＝3＝T 2，则 T＝6，则2π ω ＝6，ω＝ π 3 . 3. 将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移 π 12个单位得到的图象关于点 (π 3 ，0)对称，则 φ＝________． 答案： π 6 解析：由题意得平移以后的函数为 y＝sin(2x＋π 6 ＋φ)，因为图象关于点(π 3 ，0)对称， 所以 2× π 3 ＋ π 6 ＋φ＝kπ(k∈Z)，解得 φ＝kπ－5π 6 (k∈Z)．因为 0<φ<π，所以 φ＝ π 6 . 4. 函数 f(x)＝cos(πx＋φ)(0 < φ < π 2 )的部分图象如图所示． (1) 求 φ 及图中 x0 的值； (2) 求 f(x)在区间[－1 2， 1 3]上的最大值和最小值． 解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x0)＝ 3 2 ， 即 cos φ＝ 3 2 ，cos(πx0＋φ)＝ 3 2 . 又 φ∈(0， π 2 )，x0>0，所以 φ＝ π 6 ，x0＝5 3. (2) 由(1)可知 f(x)＝cos(πx＋π 6 ). 因为 x∈[－1 2， 1 3]，所以－ π 3 ≤πx＋ π 6 ≤ π 2 . 所以当πx＋ π 6 ＝0，即 x＝－1 6时，f(x)取得最大值 1； 当πx＋ π 6 ＝ π 2 ，即 x＝1 3时，f(x)取得最小值 0. 1. (2018·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ< π)的图象沿 x 轴向左平移 π 8 个单位后，得到函数 y＝f(x)的图象，若函数 f(x)的图象过原点， 则 φ＝________． 答案：3π 4 解析：将函数 y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿 x 轴向左平移 π 8 个单位后，得到函数 f(x) ＝sin[2(x＋π 8 )＋φ]＝sin (2x＋π 4 ＋φ)的图象，若函数 f(x)的图象过原点，则 f(0)＝sin(π 4 ＋φ) ＝0， π 4 ＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－ π 4 ，k∈Z.又 0<φ<π，则 φ＝3π 4 . 2. 若函数 y＝sin(ωx－φ)(ω > 0，|φ| < π 2 )在区间[－π 2 ，π]上的图象如图所示，则 ω， φ的值分别是______． 答案：2， π 3 解析：由题图可知，T＝2[π 6 －(－π 3 )]＝π，所以 ω＝2π T ＝2.又 sin(2 × π 6 －φ)＝0， 所以 π 3 －φ＝kπ(k∈Z)，即 φ＝ π 3 －kπ(k∈Z)．而|φ|< π 2 ，所以 φ＝ π 3 . 3. (2018·第三次全国大联考江苏卷)将函数 f(x)＝sin(2x＋θ) (－π 2 < θ < π 2 )的图象向 右平移 φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数 g(x)的图象，若 f(x)，g(x)的图象都经过点 P(0， 3 2 )，则 φ 的值为________． 答案：5π 6 解 析 ： 由 题 意 ， 可 得 sin θ ＝ 3 2 . 因 为 － π 2 ＜ θ ＜ π 2 ， 所 以 θ ＝ π 3 . 因 为 g(x) ＝ sin (2x－2φ＋π 3 )，所以 sin(－2φ＋π 3 )＝ 3 2 .又因为 0＜φ＜π，所以－2φ＋ π 3 ∈(－5π 3 ， π 3 )，－ 2φ＋ π 3 ＝－4π 3 ，φ＝5π 6 . 4. 已知函数 f(x)＝ 3sin 2x＋2cos2x＋m 在区间[0， π 2 ]上的最大值为 3，则 (1) m＝________； (2) 当 f(x)在[a，b]上至少含 20 个零点时，b－a 的最小值为________． 答案：(1) 0　(2) 28π 3 解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋m＝ 3sin 2x＋1＋cos 2x＋m＝2sin (2x＋π 6 )＋m＋ 1. 因为 0≤x≤ π 2 ，所以 π 6 ≤2x＋ π 6 ≤7π 6 . 所以－1 2≤sin(2x＋π 6 )≤1， f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，∴ m＝0. (2) 由(1)得 f(x)＝2sin(2x＋π 6 )＋1，周期 T＝2π 2 ＝π，在长为π的闭区间内有 2 个或 3 个零点． 由 2sin(2x＋π 6 )＋1＝0，得 sin(2x＋π 6 )＝－1 2， 2x＋ π 6 ＝2kπ＋7π 6 ，k∈Z 或 2x＋ π 6 ＝2kπ＋11π 6 ，k∈Z， 所以 x＝kπ＋ π 2 或 x＝kπ＋5π 6 ，k∈Z. 不妨设 a＝ π 2 ，则当 b＝9π＋ π 2 时，f(x)在区间[a，b]上恰有 19 个零点，当 b＝9π＋5π 6 时恰有 20 个零点，此时 b－a 的最小值为 9π＋ π 3 ＝28π 3 . 1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角 函数图象来求解． 2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如 y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求值域(最 值)； ② 形如 y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于 t 的二次函数求值 域(最值)； ③ 形如 y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设 t＝sin x±cos x，化为 关于 t 的二次函数求值域(最值)．　 3. 对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)， 可以通过换元的方法令 t＝ωx＋φ，将其转化为研究 y＝sin t 的性质． 4. 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由 最高(低)点的纵坐标确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定 φ，但由条件 求得 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定 φ 的取值范围，才能得 出惟一解． 5. 由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再 周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的 量是|φ| ω (ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值， 而不是依赖于 ωx 加减多少值． [备课札记] 第 4 课时　两角和与差的正弦、余弦和 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58 页) 掌握两角和与差的三角函数公式，能运用两 角和与差的正弦、余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． ① 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦 公式的过程.② 能从两角差的余弦公式推导 出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角 和与差的正切公式，体会化归思想的应用． 1. 设 α∈(0， π 2 )，若 sin α＝3 5，则 cos(α＋π 4 )＝________． 答案： 2 10 解析：∵ α∈(0， π 2 )，且 sin α＝3 5，∴ cos α＝4 5. ∴ cos(α＋π 4 )＝cos αcos π 4 －sin αsin π 4 ＝4 5× 2 2 －3 5× 2 2 ＝ 2 10. 2. (必修 4P106 练习 4 改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________． 答案：1 2 解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10 °＝sin 30°＝1 2. 3. (必修 4P109 练习 8 改编)函数 y＝ 2sin x＋ 6cos x 的值域是__________． 答案：[－2 2，2 2] 解析：y＝ 2sin x＋ 6cos x＝2 2sin(x＋π 3 )∈[－2 2，2 2]． 4. (必修 4P118 习题 9 改编)若 α＋β＝ π 4 ，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是________． 答案：2 解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β＋tan(α ＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π 4 ·(1－tan αtan β)＋1＝2. 5. ( 必 修 4P110 例 6 改 编 ) 已 知 sin(α ＋ β) ＝ 1 2， sin(α － β) ＝ 1 10， 则 tan α tan β的 值 为 ________． 答案：3 2 解析：(解法 1) {sin αcos β＋cos αsin β＝1 2， sin αcos β－cos αsin β＝ 1 10 ⇒{sin αcos β＝ 3 10， cos αsin β＝1 5， 从而 tan α tan β＝ sin αcos β cos αsin β＝ 3 10×5＝3 2. (解法 2)设 x＝ tan α tan β，∵ sin（α＋β） sin（α－β）＝5， ∴ sin（α＋β） cos αcos β sin（α－β） cos αcos β ＝ tan α＋tan β tan α－tan β＝ tan α tan β＋1 tan α tan β－1 ＝x＋1 x－1＝5. ∴ x＝3 2，即 tan α tan β ＝3 2. 1. 两角差的余弦公式推导过程 设单位圆上两点 P1(cos α，sin α)，P2(cos β，sin β)，则∠P1OP2＝α－β(α>β)． 向量 a＝OP1→ ＝(cos α，sin α)，b＝OP2→ ＝(cos β，sin β)， 则 a·b＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)， 由向量数量积的坐标表示，可知 a·b＝cos αcos β＋sin αsin β， 因而 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程 3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； tan(α－β)＝ tan α－tan β 1＋tan αtan β； tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β． 4. asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 cos φ＝ a a2＋b2，sin φ＝ b a2＋b2，tan φ＝ b a.φ的终边所在象限由 a，b 的符号来决定． 5. 常用公式变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)； sin α＋cos α＝ 2sin(α＋π 4 )； sin α－cos α＝ 2sin(α－π 4 ). [备课札记] ,　　　　　　　　　1　利用角的 和、差公式进行化简、求值或证明) ,　　　　　1)　(1) 求值： cos 350°－2sin 160° sin（－190°） ＝__________； (2) (原创)化简：tan(18°－θ)· sin（12°＋θ） sin（78°－θ）＋ 3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝__________． 答案：(1) 3　(2) 1 解析：(1) 原式＝ cos（360°－10°）－2sin（180°－20°） －sin（180°＋10°） ＝ cos 10°－2sin（30°－10°） －（－sin 10°） ＝ cos 10°－2(1 2cos 10°－ 3 2 sin 10°) sin 10° ＝ 3. (2) 原式＝tan(18°－θ)· sin（12°＋θ） cos（12°＋θ）＋ 3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]＝tan(18°－ θ)·tan(12°＋θ)＋ 3tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)] ＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1. 变式训练 (1) (改编题)求 4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值； (2) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)． 解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40° ＝4sin 40°－ sin 40° cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40° cos 40° ＝2sin 80°－sin 40° cos 40° ＝2sin（120°－40°）－sin 40° cos 40° ＝ 3cos 40°＋sin 40°－sin 40° cos 40° ＝ 3cos 40° cos 40° ＝ 3. (2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－ 3·cos[(θ＋45°)－30°]＝ 3 2 sin(θ＋45 ° ) ＋ 1 2cos(θ ＋ 45 ° ) ＋ cos(θ ＋ 45 ° ) － 3 2cos(θ ＋ 45 ° ) － 3 2 sin(θ ＋ 45 ° ) ＝ 0. ,　　　　　　　　　2　给值求值、求角问 题) ●典型示例 ,　　　　　2)　已知 0＜α＜ π 2 ＜β＜π，tan(α＋π 4 )＝－7，cos(β－α)＝ 2 10. (1) 求 sin α的值； (2) 求 β 的值． 【思维导图】 【规范解答】解：(1) (解法 1)因为 tan(α＋π 4 )＝－7， 所以 tan α＝tan(α＋π 4 －π 4 )＝ tan(α＋π 4 )－tan π 4 1＋tan(α＋π 4 )tan π 4 ＝ －7－1 －7＋1＝4 3，即 sin α cos α＝4 3，所 以 cos α＝3 4sin α. 将上式代入 sin2α＋cos2α＝1，得 9 16sin2α＋sin2α＝1，即 sin2α＝16 25. 又 0＜α＜ π 2 ，所以 sin α＞0，所以 sin α＝4 5. (解法 2)因为 tan(α＋π 4 )＝－7， 所以 tan α＋tan π 4 1－tan αtan π 4 ＝ tan α＋1 1－tan α＝－7，所以 tan α＝4 3，即 sin α cos α＝4 3，所以 cos α＝3 4sin α. 将上式代入 sin2α＋cos2α＝1，得 9 16sin2α＋sin2α＝1，即 sin2α＝16 25.又 0＜α＜ π 2 ，所 以 sin α＞0，所以 sin α＝4 5. (2) 因为 0＜α＜ π 2 ，由(1)得 sin α＝4 5，所以 cos α＝3 5.又 0＜α＜ π 2 ＜β＜π，所以 0＜ β－α＜π. 由 cos(β－α)＝ 2 10，得 0＜β－α＜ π 2 ，所以 sin(β－α)＝7 2 10 ， 所以 sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝7 2 10 ×3 5＋ 2 10×4 5＝25 2 50 ＝ 2 2 . 由 π 2 ＜β＜π，得 β＝3π 4 (或求cos β＝－ 2 2 ，得β＝3π 4 ). 【精要点评】(1) 解三角函数给值求值问题，关键在于弄清已知条件与所要求的函数值 之间的内在联系，恰当“变角”或“变名”等，使其角或名相同，或具有某种关系，以便利 用已知条件． (2) 解给值求角问题的方法是先取恰当的三角函数求其值，再结合该函数的单调区间求 得角．在选取函数时，应遵循以下原则： ① 已知正切函数值，则选正切函数； ② 已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是(0， π 2 )，则选正弦、 余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为(－π 2 ， π 2 )，则选正弦较 好． ●总结归纳 1. 在解决求值、化简问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形 式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 2. 解决求角问题的关键在于选择恰当准确的三角函数，选择的标准是在角的范围内函 数值与角要一一对应，有时需恰当缩小角的取值范围． ●题组练透 1. 已知 cos(π 4 ＋α)＝3 5，17π 12 ＜α＜7π 4 ，则 cos α的值为________． 答案：－ 2 10 解析：由17π 12 <α<7π 4 得5π 3 <α＋ π 4 <2π，又 cos(α＋π 4 )＝3 5，所以 sin(π 4 ＋α)＝－4 5， 所以 cos α＝cos[(π 4 ＋α)－π 4 ]＝－ 2 10. 2. 已知 α∈(0， π 2 )，β∈(－π 2 ，0)，且 cos(π 4 ＋α)＝1 3，cos(π 4 －β 2)＝ 3 3 ，则 cos(α＋β 2 ) ＝__________． 答案：5 3 9 解 析 ： ∵ α∈(0， π 2 )， ∴ π 4 ＋ α∈(π 4 ， 3π 4 ). 又 cos(π 4 ＋α)＝ 1 3， ∴ sin(π 4 ＋α)＝ 1－cos2(π 4 ＋α)＝2 2 3 . ∵ β∈(－π 2 ，0)，∴ β 2∈(－π 4 ，0)，∴ π 4 －β 2∈(π 4 ， π 2 ). 又 cos(π 4 －β 2)＝ 3 3 ，∴ sin(π 4 －β 2)＝ 1－cos2(π 4 －β 2)＝ 6 3 .∴ cos(α＋β 2 )＝cos[(π 4 ＋α)－ (π 4 －β 2)]＝cos( π 4 ＋α)cos(π 4 －β 2)＋sin(π 4 ＋α)sin(π 4 －β 2)＝1 3× 3 3 ＋2 2 3 × 6 3 ＝5 3 9 . 3. 若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且 α∈[π 4 ，π]，β∈[π， 3π 2 ]，则 α＋β 的值是 ________． 答案：7π 4 解析：因为 α∈[π 4 ，π]，所以 2α∈[π 2 ，2π].又 sin 2α＝ 5 5 ，所以 2α∈[π 2 ，π]，α∈ [π 4 ， π 2 ]，故 cos 2α＝－2 5 5 .又 β∈[π， 3π 2 ]，所以 β－α∈[π 2 ， 5π 4 ]，故 cos(β－α)＝－ 3 10 10 .所以 cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－ 2 5 5 × (－3 10 10 )－ 5 5 × 10 10 ＝ 2 2 .又 α＋β∈[5π 4 ，2π]，故 α＋β＝7π 4 . 4. (2018·南京期初)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 α 和 钝角 β 的终边分别与单位圆交于点 A，B.若点 A 的横坐标是3 10 10 ，点 B 的纵坐标是2 5 5 . (1) 求 cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的值． 解： 因为锐角 α 的终边与单位圆交于点 A，且点 A 的横坐标是3 10 10 ，所以由任意角的 三角函数的定义可知，cos α＝3 10 10 ，从而 sin α＝ 1－cos2α＝ 10 10 . 因为钝角 β 的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5 5 ，所以 sin β＝2 5 5 ， 从而 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 5 5 . (1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3 10 10 ×(－ 5 5 )＋ 10 10 ×2 5 5 ＝－ 2 10. (2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ 10 10 ×(－ 5 5 )＋3 10 10 ×2 5 5 ＝ 2 2 . 因为 α 为锐角，β为钝角，所以 α＋β∈(π 2 ， 3π 2 )， 故 α＋β＝3π 4 . ,　　　　　　　　　3　有限制条件 的求值、证明及综合应用问题) ,　　　　　3)　已知 sin β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)＝ 1＋m 1－mtan α. 证明：由 β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，得 sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]， 即 sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m[sin(α＋β)·cos α＋cos(α＋β)sin α]， 即(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)cos(α＋β)sin α. 两边同除以(1－m)cos(α＋β)cos α， 得 tan(α＋β)＝1＋m 1－mtan α(m≠1)，即等式成立． 备选变式（教师专享） 若 tan α＝2tan π 5 ，则 cos(α－3π 10 ) sin(α－π 5 ) ＝________． 答案：3 解析： cos(α－3π 10 ) sin(α－π 5 ) ＝ sin(α－3π 10 ＋π 2 ) sin(α－π 5 ) ＝ sin(α＋π 5 ) sin(α－π 5 ) ＝ sin αcos π 5 ＋cos αsin π 5 sin αcos π 5 －cos αsin π 5 ＝ sin α cos αcos π 5 ＋sin π 5 sin α cos αcos π 5 －sin π 5 ＝ 2· sin π 5 cos π 5 cos π 5 ＋sin π 5 2· sin π 5 cos π 5 cos π 5 －sin π 5 ＝ 3sin π 5 sin π 5 ＝3. 1. 已知 tan α＝－2，tan(α＋β)＝1 7，则 tan β＝________． 答案：3 解析：tan(α＋β)＝ －2＋tan β 1＋2tan β ＝1 7，则 tan β＝3. 2. (2018·江阴期初)设 α 为锐角，若 cos(α＋π 6 )＝3 5，则 sin(α－π 12)＝__________． 答案： 2 10 解析：sin(α－π 12)＝sin[(α＋π 6 )－π 4 ] ＝sin(α＋π 6 )cos π 4 －cos(α＋π 6 )sin π 4 ＝4 5× 2 2 －3 5× 2 2 ＝ 2 10. 3. 在函数 y＝sin(3x＋π 3 )cos(x－ π 6 )－cos(3x＋π 3 )·cos (x＋π 3 )的图象的对称轴方程中， 在 y 轴左侧，且最靠近 y 轴的对称轴方程是__________． 答案：x＝－ π 6 解析：对函数进行化简可得 y＝sin(3x＋π 3 )cos(x－π 6 )－cos(3x＋ π 3 )cos(x＋π 2 －π 6 )＝sin (3x＋π 3 )cos(x－ π 6 )＋cos(3x＋π 3 )sin(x－π 6 )＝sin(3x＋ π 3 ＋x－ π 6 )＝sin(4x＋π 6 )，则由 4x＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 ，k∈Z，得 x＝kπ 4 ＋ π 12，k∈Z.当 k＝－1 时，直线 x＝－ π 6 在 y 轴左侧，且最靠 近 y 轴． 4. 在△ABC 中，已知 sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则 tan A＋tan B＋tan C 的值为________． 答案：196 解析：由题意 cos A，cos B，cos C 均不为 0，由 sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C， 两式相除得 tan A＝tan Btan C. 又由 cos A＝13cos Bcos C，且 cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C， 所以 sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以 tan Btan C＝14. 又 tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C) ＝－tan A(1－tan Btan C)， 所以 tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196. 1. 已知 tan α，tan β是 lg(6x2－5x＋2)＝0 的两个实根，则 tan(α＋β)＝________． 答案：1 解析：由 lg(6x2－5x＋2)＝0，得 6x2－5x＋1＝0， ∴ 由题意知 tan α＋tan β＝5 6，tan αtan β＝1 6， ∴ tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ 5 6 1－1 6 ＝1. 2. 函数 f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________． 答案：1 解析：∵ f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ) ＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ) ＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x， ∴ f(x)的最大值为 1. 3. 已知 α∈(π 2 ，π)，sin α＝ 5 5 . (1) 求 sin (π 4 ＋α)的值； (2) 求 cos (5π 6 －2α)的值． 解：(1) 因为 α∈(π 2 ，π)，sin α＝ 5 5 ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 . 故 sin(π 4 ＋α)＝sin π 4 cos α＋cos π 4 sin α＝ 2 2 ×(－2 5 5 )＋ 2 2 × 5 5 ＝－ 10 10 . (2) 由(1)知 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 5 ×(－2 5 5 )＝－4 5， cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×( 5 5 )2 ＝3 5， 所 以 cos(5π 6 －2α)＝ cos 5π 6 cos 2 α ＋ sin 5π 6 sin 2 α ＝(－ 3 2 )×3 5＋1 2×(－4 5 )＝ － 4＋3 3 10 . 4. 已知函数 f(x)＝sin(x＋7π 4 )＋cos(x－3π 4 )，x∈R. (1) 求 f(x)的最小正周期和最小值； (2) 已知 cos(β－α)＝4 5，cos(β＋α)＝－4 5，0＜α＜β≤ π 2 ，求证：f2(β)－2＝0. (1) 解：f(x)＝sin xcos 7π 4 ＋cos xsin 7π 4 ＋cos xcos 3π 4 ＋sin xsin 3π 4 ＝ 2sin x－ 2cos x＝2sin(x－π 4 )，所以 T＝2π，f(x)min＝－2. (2) 证明：cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝4 5　①， cos(β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－4 5　②. ①＋②，得 cos αcos β＝0， 于是由 0＜α＜β≤ π 2 ⇒cos β＝0⇒β＝ π 2 . 故 f(β)＝ 2⇒f2(β)－2＝0. 1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特 征． (2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ① 化为特殊角的三角函数值； ② 化为正、负相消的项，消去求值； ③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值． 2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差； (2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系． 3. 解决求角问题既要注意选择恰当准确的三角函数，又要注意角的范围．遵循选择的 原则使在角的规定范围内函数值与角的对应，必要时谨慎考虑恰当缩小角的取值范围． 第 5 课时　二倍角的正弦、余弦和正切公式(对应学生用书(文)、(理)59～60 页) 掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用 它们进行简单的三角函数式的化简、求值及 恒等式证明． 　　能从两角和公式推导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，体会化归思想的应用． 1. (必修 4P105 例 3 改编)已知 cos α＝ 5 13，α∈(0， π 2 )，那么 sin 2α＝__________． 答案：120 169 解析：由题意得 sin α＝12 13，所以 sin 2α＝2sin αcos α＝2× 5 13×12 13＝120 169. 2. (改编题)若 sin α＋cos α sin α－cos α＝2，则 tan 2α＝__________． 答案：－3 4 解析：由 sin α＋cos α sin α－cos α＝2，等式左边分子、分母同除以 cos α，得 tan α＋1 tan α－1＝ 2，解得 tan α＝3，则 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝－3 4. 3. (必修 4P131 复习题 9 改编)函数 y＝sin2x 的最小正周期为________． 答案：π 解析：函数 y＝sin2x 就是 y＝1 2(1－cos 2x)，故它的最小正周期为π. 4. (改编题)函数 y＝cos 2x＋2sin x 的最大值为________． 答案：3 2 解析：利用换元法求解．函数 y＝－2sin2x＋2sin x＋1，令 sin x＝t∈[－1，1]，所以 y ＝－2t2＋2t＋1，当 t＝1 2时，y 取得最大值3 2. 5. 已知 α 为锐角，且 cos α＝4 5，则 sin2(α－π 4 )＝________． 答案： 1 50 解析：(解法 1)∵ α 为锐角，且 cos α＝4 5，∴ sin α＝ 1－cos2α＝3 5，∴ sin2(α－π 4 ) ＝ 1－cos(2α－π 2 ) 2 ＝1－sin 2α 2 ＝1－2sin αcos α 2 ＝ 1 50. (解法 2)∵ α 为锐角，且 cos α＝ 4 5，∴ sin α＝ 1－ cos2α＝3 5，∴ sin2(α－π 4 )＝ [ 2 2 （sin α－cos α）]2 ＝ 1 50. 1. 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α． 2. 降幂公式 sin2α＝1－cos 2α 2 ； cos2α＝1＋cos 2α 2 ； sin αcos α＝sin 2α 2 ． 3. 常用公式变形 1＋sin 2α＝(sin_α＋cos_α)2； 1－sin 2α＝(sin_α－cos_α)2．[备课札记] ,　　　　　　　　　1　利用二倍角 公式化简、求值或证明) ,　　　　　1)　已知 α 为锐角，cos(α＋π 4 )＝ 5 5 . (1) 求 tan (α＋π 4 )的值； (2) 求 sin (2α＋π 3 )的值． 解：(1) 因为 α∈(0， π 2 )， 所以 α＋ π 4 ∈(π 4 ， 3π 4 )， 所以 sin(α＋π 4 )＝ 1－cos2(α＋π 4 )＝2 5 5 ， 所以 tan(α＋π 4 )＝ sin(α＋π 4 ) cos(α＋π 4 ) ＝2. (2) 因为 sin(2α＋π 2 )＝sin[2(α＋π 4 )] ＝2sin(α＋π 4 )cos(α＋π 4 )＝4 5， cos(2α＋π 2 )＝cos[2(α＋π 4 )]＝2cos2(α＋π 4 )－1＝－3 5， 所以 sin(2α＋π 3 )＝sin[(2α＋π 2 )－π 6 ] ＝sin(2α＋π 2 )cos π 6 －cos(2α＋π 2 )sin π 6 ＝4 3＋3 10 . 变式训练 已知 cos(π 4 －α)＝12 13，α∈(0， π 4 )，则 cos 2α sin(π 4 ＋α) ＝________． 答案：10 13 解析：(解法 1)sin(π 4 ＋α)＝sin[π 2 －(π 4 －α)] ＝cos(π 4 －α)＝12 13. ∵ α∈(0， π 4 )，∴ 0< π 4 －α< π 4 ， ∴ sin(π 4 －α)＝ 1－cos2(π 4 －α)＝ 5 13， ∴ cos 2α＝sin(π 2 －2α)＝2sin(π 4 －α)cos(π 4 －α)＝120 169， ∴ cos 2α sin(π 4 ＋α) ＝10 13. (解法 2)由 cos(π 4 －α)＝12 13，得 sin α＋cos α＝12 2 13 ，两边平方，得 1＋2sin αcos α＝ 288 169，∴ 2sin αcos α＝119 169. ∵ α∈(0， π 4 )，∴ cos α>sin α，∴ cos α－sin α>0， ∴ cos α－sin α＝ （cos α－sin α）2＝ 1－2sin αcos α＝5 2 13 ， ∴ cos 2α sin(π 4 ＋α) ＝ cos2α－sin2α 2 2 sin α＋ 2 2 cos α ＝ 2(cos α－sin α)＝10 13. ,　　　　　　　　　2　二倍角公式 的逆用与变用) ,　　　　　2)　已知 cos(π 6 ＋α)cos(π 3 －α)＝－1 4，α∈( π 3 ， π 2 )． (1) 求 sin 2α的值； (2) 求 tan α－ 1 tan α的值． 解：(1) 原式＝cos(π 6 ＋α)sin(π 6 ＋α)＝1 2sin(2α＋π 3 )＝－1 4， 即 sin(2α＋π 3 )＝－1 2. 因为 α∈(π 3 ， π 2 )，所以 2α＋ π 3 ∈(π， 4π 3 )， 所以 cos(2α＋π 3 )＝－ 3 2 . 所以 sin 2α＝sin(2α＋π 3 －π 3 )＝sin(2α＋π 3 )cos π 3 － cos(2α＋π 3 )sin π 3 ＝1 2. (2) 由(1)知 tan α－ 1 tan α＝ sin α cos α－ cos α sin α＝ sin2α－cos2α sin αcos α＝ －2cos 2α sin 2α ＝ －2 × (－ 3 2 ) 1 2 ＝2 3. 变式训练 已知 sin α＋cos α＝1 3，则 sin2(π 4 －α)＝________． 答案：17 18 解析： 由 sin α＋cos α＝1 3两边平方得 1＋sin 2α＝1 9，解得 sin 2α＝－8 9，所以 sin2 (π 4 －α)＝ 1－cos(π 2 －2α) 2 ＝1－sin 2α 2 ＝ 1＋8 9 2 ＝17 18. ,　　　　　　　　　3　二倍角公式 在研究三角函数中的应用) ,　　　　　3)　已知函数 f(x)＝2cos ωx 2 ( 3cos ωx 2 －sin ωx 2 )(ω＞0)的最小正周期为 2π. (1) 求函数 f(x)的表达式； (2) 设 θ∈(0， π 2 )，且 f(θ)＝ 3＋6 5，求 cos θ的值． 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2 ( 3cos ωx 2 －sin ωx 2 ) ＝2 3cos2ωx 2 －2cos ωx 2 sin ωx 2 ＝ 3(1＋cos ωx)－sin ωx＝ 3－2sin(ωx－π 3 ). ∵ 函数 f(x)的最小正周期为 2π，∴ 2π ω ＝2π，ω＝1. ∴ f(x)＝ 3－2sin(x－π 3 ). (2) 由 f(θ)＝ 3＋6 5，得 sin(θ－π 3 )＝－3 5. ∵ θ∈(0， π 2 )，∴ θ－ π 3 ∈(－π 3 ， π 6 )， ∴ cos (θ－π 3 )＝4 5. ∴ cos θ＝cos(θ－π 3 ＋π 3 )＝cos (θ－π 3 )cos π 3 －sin(θ－ π 3 )sin π 3 ＝4 5×1 2－(－3 5 )× 3 2 ＝ 4＋3 3 10 . 变式训练 已知函数 f(x)＝2sin xsin(x＋π 6 ). (1) 求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2) 当 x∈[0， π 2 ]时，求函数 f(x)的值域． 解：(1) f(x)＝2sin x( 3 2 sin x＋1 2cos x)＝ 3×1－cos 2x 2 ＋1 2sin 2x＝sin(2x－π 3 )＋ 3 2 . 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由－ π 2 ＋2kπ≤2x－ π 3 ≤ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 解得－ π 12＋kπ≤x≤5π 12 ＋kπ，k∈Z，所以函数 f(x)的单调增区间是[－ π 12＋kπ，5π 12 ＋ kπ]，k∈Z. (2) 当 x∈[0， π 2 ]时，2x－ π 3 ∈[－π 3 ， 2π 3 ]， 所以 sin(2x－π 3 )∈[－ 3 2 ，1]， 所以 f(x)∈[0，1＋ 3 2 ]. 故 f(x)的值域为[0，1＋ 3 2 ]. 1. (2018·第二次全国大联考江苏卷)已知 sin(x＋π 3 )＝1 3，则 sin(5π 3 －x)－cos (2x－π 3 )的 值为________． 答案：4 9 解析：sin(5π 3 －x)－cos(2x－π 3 )＝sin[2π－(x＋π 3 )]－cos 2[(x＋π 3 )－π 2 ]＝－sin(x＋π 3 ) ＋cos 2(x＋π 3 )＝－sin(x＋π 3 )＋1－2sin2(x＋π 3 )＝－1 3＋1－2 9＝4 9. 2. 已知 α∈R，sin α＋2cos α＝ 10 2 ，则 tan 2α＝________． 答案：－3 4 解析：依题意得(sin α＋2cos α)2＝5 2，即1－cos 2α 2 ＋2sin 2α＋2(1＋cos 2α)＝5 2， sin 2α＝－3 4cos 2α，tan 2α＝－3 4. 3. 函数 f(x)＝cos 2x＋6cos( π 2 －x)的最大值为__________． 答案：5 解析：由 f(x)＝cos 2x＋6cos(π 2 －x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－2(sin x－3 2)2 ＋11 2 ，所以当 sin x＝1 时函数取最大值为 5. 4. (2018·泰州中学期初)已知 0＜α＜ π 2 ＜β＜π，且 sin(α＋β)＝ 5 13，tan α 2＝1 2. (1) 求 cos α的值； (2) 求证：sin β＞ 5 13. (1) 解：将 tan α 2＝1 2代入 tan α＝ 2tan α 2 1－tan2 α 2 ，得 tan α＝4 3，∴ {sin α cos α＝4 3， sin2α＋cos2α＝1. 又 α∈(0， π 2 )，解得 cos α＝3 5. (2) 证明：易得 π 2 <α＋β<3π 2 ，又 sin(α＋β)＝ 5 13， ∴ cos(α＋β)＝－12 13. 由(1)可得 sin α＝4 5，∴ sin β＝sin[(α＋β)－α]＝ 5 13×3 5－(－12 13 )×4 5＝63 65> 5 13. ,　　6. 忽视角的范围致误) 典例　已知 α，β∈(0，π)，tan α 2＝1 2，sin(α＋β)＝ 5 13，求 cos β. 易错分析：本题条件 α，β∈(0，π)的范围较大，需结合 tan α 2＝1 2，sin(α＋β)＝ 5 13缩小 角的范围，否则极易误由 sin α求 cos α，或由 sin(α＋β)求 cos(α＋β)得两解． 解：∵ tan α 2＝1 2， ∴ sin α＝2sin α 2cos α 2＝ 2sin α 2 cos α 2 sin2 α 2 ＋cos2 α 2 ＝ 2tan α 2 1＋tan2 α 2 ＝ 2 × 1 2 1＋(1 2 )2 ＝4 5， cos α＝cos2α 2－sin2α 2＝ cos2 α 2 －sin2 α 2 sin2 α 2 ＋cos2 α 2 ＝ 1－tan2 α 2 1＋tan2 α 2 ＝ 1－(1 2 )2 1＋(1 2 )2 ＝3 5. ∵ α，β∈(0，π)，sin α＝4 5＞ 5 13＝sin(α＋β)， ∴ π 2 ＜α＋β＜π， ∴ cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β）＝－ 1－ 25 169＝－12 13， ∴ cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝(－12 13 )×3 5＋ 5 13×4 5＝－ 16 65. 特别提醒：在解决三角函数式的求值或根据三角函数值求角问题时，要注意题目中角的 范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．有时已知条件给出 的角的范围较大，解题时应注意挖掘隐含条件，缩小角的范围．另外，解题时要加强对审题 深度的要求与训练，以防出错． 1. 已知 sin x＝ 5－1 2 ，则 sin 2(x－π 4 )＝________． 答案：2－ 5 解析：sin 2(x－π 4 )＝sin(2x－π 2 )＝－cos 2x＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1＝2－ 5. 2. 若 0<α< π 2 ，且 cos α＝1 7，则 tan 2α＝________． 答案：－8 3 47 解析：∵ cos α＝1 7，0<α< π 2 ，∴ sin α＝4 3 7 ，tan α＝4 3，∴ tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α ＝2 × 4 3 1－48 ＝－8 3 47 . 3. cos π 9 ·cos 2π 9 ·cos(－23π 9 )＝________．　 答案：－1 8 解析：cos π 9 ·cos 2π 9 ·cos(－23π 9 )＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－ sin 20°cos 20°cos 40°cos 80° sin 20° ＝－ 1 2sin 40°·cos 40°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 4sin 80°·cos 80° sin 20° ＝－ 1 8sin 160° sin 20° ＝－ 1 8sin 20° sin 20° ＝－1 8. 4. 已知 θ∈(3π 4 ， 5π 4 )，sin(θ－ π 4 )＝ 5 5 . (1) 求 sin θ的值； (2) 求 cos (2θ＋2π 3 )的值． 解：(1) 设 α＝θ－ π 4 ，因为 θ∈(3π 4 ， 5π 4 )，所以 α∈(π 2 ，π)，且 θ＝α＋ π 4 . 因为 sin α＝sin(θ－π 4 )＝ 5 5 ， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 . 于是 sin θ＝sin (α＋π 4 )＝sin αcos π 4 ＋cos αsin π 4 ＝ 5 5 × 2 2 ＋(－2 5 5 )× 2 2 ＝－ 10 10 . (2) 因为 cos θ＝cos(α＋π 4 )＝cos αcos π 4 －sin αsin π 4 ＝(－2 5 5 )× 2 2 － 5 5 × 2 2 ＝－ 3 10 10 ， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×(－ 10 10 )×(－3 10 10 )＝3 5， cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×(－ 10 10 )2 ＝4 5. 所以 cos(2θ＋2π 3 )＝cos 2θcos2π 3 －sin 2θsin 2π 3 ＝4 5×(－1 2 )－3 5× 3 2 ＝－4＋3 3 10 . 1. 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1) 先化简所求式子； (2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3) 将已知条件代入所求式子，化简求值． 2. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用． 3. 降幂公式是解决含有 cos2x，sin2x 式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍 角公式的解题技巧． [备课札记] 第 6 课时　简单的三角恒等变换(对应学生用书(文)、(理)61～63 页) 灵活掌握公式间的关系，能运用它们进行三 角函数式的化简、求值及恒等式证明． 　　能运用三角函数各种公式进行恒等变换 以及解决综合性问题． 1. 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3， 4)，则 cos 2α＝__________． 答案：－ 7 25 解析：根据三角函数的定义知，sin α＝y r＝ 4 32＋42＝4 5，所以 cos 2α＝1－2sin2α＝1－ 2×(4 5 )2 ＝1－32 25＝－ 7 25. 2. (必修 4P123 习题 3.2 题 5 改编)已知 sin α＝ 5 5 ，则 sin4α－cos4α的值为________． 答案：－3 5 解析：原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－3 5. 3. (必修 4P118 习题 3.1(3)题 7 改编)已知 tan α，tan β是方程 3x2－7x＋2＝0 的两根， 则 sin（α＋β） cos（α－β）的值为________． 答案：7 5 解 析 ： 由 已 知 得 tan α ＋ tan β ＝ 7 3， tan α tan β ＝ 2 3， 所 以 sin（α＋β） cos（α－β）＝ sin αcos β＋cos αsin β cos αcos β＋sin αsin β＝ tan α＋tan β 1＋tan αtan β＝7 5. 4. 计算： sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155°的值为________． 答案：1 2 解析： sin 110°sin 20° cos2155°－sin2155°＝sin 70°sin 20° cos 310° ＝cos 20°sin 20° cos 50° ＝ 1 2sin 40° sin 40° ＝1 2. 5. (必修 4P112 习题 3.1(2)题 12 改编)在△ABC 中，已知 cos(π 4 ＋A)＝3 5，则 cos 2A 的值 为________． 答案：24 25 解析：cos(π 4 ＋A)＝cos π 4 cos A－sin π 4 sin A＝ 2 2 (cos A－sin A)＝3 5， ∴ cos A－sin A＝3 2 5 ＞0　①. ∴ 0＜A＜ π 4 ，∴ 0＜2A＜ π 2 . 由①得(cos A－sin A)2＝18 25，即 1－sin 2A＝18 25， ∴ sin 2A＝ 7 25. ∴ cos 2A＝ 1－sin22A＝24 25. 三角函数的最值问题 (1) 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y＝asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 cos φ＝ a a2＋b2，sin φ＝ b a2＋b2 . ② y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x 可先降次，整理转化为上一种形式． ③ y＝asin x＋b csin x＋d(或y＝acos x＋b ccos x＋d)可转化为只有分母含 sin x 或 cos x 的函数式或 sin x＝f(y)(或 cos x＝f(y))的形式，利用正、余弦函数的有界性求解． (2) 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ① y＝asin2x＋bcos x＋c 可转化为 cos x 的二次函数式． ② y＝asin x＋ c bsin x(a，b，c>0)，令 sin x＝t，则转化为求 y＝at＋ c bt(－1≤t≤1)的最 值，一般可用基本不等式或单调性求解．[备课札记] ,　　　　　　　　　1　三角形中的 恒等变换) ,　　　　　1)　(2018·启东中学模拟)在△ABC 中，三个内角分别为 A，B，C，已 知 sin(A＋π 6 )＝2cos A. (1) 求角 A 的值； (2) 若 B∈(0， π 3 )，且 cos(A－B)＝4 5，求 sin B. 解：(1) 由 sin(A＋π 6 )＝2cos A，得 3 2 sin A＋1 2cos A＝2cos A，即 sin A＝ 3cos A．因 为 A∈(0，π)，且 cos A≠0，所以 tan A＝ 3，所以 A＝ π 3 . (2) 因为 B∈(0， π 3 )，所以 A－B＝ π 3 －B∈(0， π 3 ). 因为 sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，cos(A－B)＝4 5， 所以 sin(A－B)＝3 5， 所以 sin B＝sin[A－(A－B)]＝sin Acos(A－B)－cos A·sin(A－B)＝4 3－3 10 . 变式训练 在三角形 ABC 中，sin A＝－ 2cos Bcos C，且 tan Btan C＝1－ 2，则角 A 的值为 __________． 答案： π 4 解析：由题意知，sin A＝－ 2cos Bcos C＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，等式两 边同除以 cos Bcos C，得 tan B＋tan C＝－ 2.又 tan(B＋C)＝ tan B＋tan C 1－tan Btan C＝－1＝－tan A，即 tan A＝1，所以 A＝ π 4 . ,　　　　　　　　　2　角的构造技 巧与公式的灵活运用) ,　　　　　2)　化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1 2cos 2αcos 2β. 解：(解法 1)(从“角”入手，复角化单角) 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1 2(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－1 2(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2αsin2β－ cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－1 2 ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－1 2 ＝sin2β＋cos2β－1 2＝1－1 2＝1 2. (解法 2)(从“名”入手，异名化同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－1 2cos 2αcos 2β ＝cos2β－cos 2β(sin2α＋1 2cos 2α) ＝1＋cos 2β 2 －1 2cos 2β＝1 2. (解法 3)(从“幂”入手，利用降幂公式先降幂) 原式＝1－cos 2α 2 ·1－cos 2β 2 ＋1＋cos 2α 2 ·1＋cos 2β 2 －1 2cos 2αcos 2β ＝1 4(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ 1 4(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β) －1 2cos 2αcos 2β＝1 2. (解法 4)(从“形”入手，利用配方法，先对二次项进行配方) 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β·cos αcos β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos2(α＋β)＋1 2sin 2αsin 2β－1 2cos 2αcos 2β ＝cos2(α＋β)－1 2cos(2α＋2β) ＝cos2(α＋β)－1 2[2cos2(α＋β)－1]＝1 2. 备选变式（教师专享） 求 sin210°＋cos240°－sin 10°cos 140°的值． 解：(解法 1)原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40° ＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin 10°cos(30°＋10°) ＝sin 210°＋ ( 3 2 cos 10°－1 2sin 10°)2 ＋sin 10°( 3 2 cos 10°－ 1 2sin 10°) ＝ 3 4(sin210°＋ cos210°)＝3 4. (解法 2)设 x＝原式＝sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°，y＝cos 210°＋sin240°＋cos 10°sin 40°， 则 x＋y＝1＋1＋sin 10°cos 40°＋cos 10°sin 40°＝2＋sin 50°， x－y＝cos 80°－cos 20°－1 2＝cos(50°＋30°)－cos(50°－30°)－1 2＝－sin 50°－1 2， 上述两式相加得 2x＝3 2，即 x＝3 4， 故原式＝3 4. ,　　　　　　　　　3　三角恒等变 换与三角函数性质的综合问题) ●典型示例 ,　　　　　3)　如图，在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点是原点，始边与 x 轴正 半轴重合，终边交单位圆于点 A，且 α∈(π 3 ， π 2 ).将角 α 的终边按逆时针方向旋转 π 6 ，交单 位圆于点 B.记 A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1) 若 x1＝1 4，求 x2； (2) 分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D.记△AOC 的面积为 S1，△BOD 的 面积为 S2.若 S1＝S2，求角 α 的值． 【思维导图】 【规范解答】解：(1) 由三角函数定义，得 x1＝cos α，x2＝cos(α＋π 6 )， 因为 α∈(π 3 ， π 2 )，cos α＝1 4，所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－(1 4 )2 ＝ 15 4 . 所以 x2＝cos(α＋π 6 )＝ 3 2 cos α－1 2sin α＝ 3－ 15 8 . (2) 依题意得 y1＝sin α，y2＝sin(α＋π 6 ). 所以 S1＝1 2x1y1＝1 2cos αsin α＝1 4sin 2α， S2＝1 2|x2|y2＝1 2sin(α＋π 6 )|cos(α＋π 6 )|＝－1 4sin(2α＋π 3 ). 依题意得 sin 2α＝－sin(2α＋π 3 )＝－sin 2αcos π 3 －cos 2αsin π 3 ，整理得 tan 2α＝－ 3 3 . 因为 π 3 ＜α＜ π 2 ，所以2π 3 ＜2α＜π，所以 2α＝5π 6 ，故 α＝5π 12 . ●总结归纳 这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义 {x＝rcos α， y＝rsin α 将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变换解决问题． ●题组练透 1. 如图，角 α 终边上一点 P 的坐标是(3，4)，将 OP 绕原点旋转 45°到 OP′的位置，则 点 P′的坐标为__________． 答案：(－ 2 2 ， 7 2 2 ) 解析：设 P′(x，y)，sin α＝4 5，cos α＝3 5，∴ sin(α＋45°)＝7 2 10 ，cos(α＋45°)＝－ 2 10. ∴ x＝5cos(α＋45°)＝－ 2 2 ，y＝5sin(α＋45°)＝7 2 2 .∴ P′(－ 2 2 ， 7 2 2 ). 2. (原创)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵 坐标为4 5，则 tan 2α＝__________． 答案：24 7 解析：因为点 A 的纵坐标为 yA＝4 5，且点 A 在第二象限，又圆 O 为单位圆，所以点 A 的横坐标 xA＝－3 5.由三角函数的定义可得 cos α＝－3 5.因为 α 的终边在第二象限，所以 sin α＝ 1－cos2α＝4 5.所以 tan α＝ sin α cos α＝－4 3，故 tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α＝24 7 . 3. 如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限， 点 B 的坐标为(12 13，－ 5 13)，∠AOC＝α.若 BC＝1，则 3cos2 α 2－sin α 2cos α 2－ 3 2 的值为 ________． 答案： 5 13 解析：由题意得 OB＝BC＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴ sin ∠AOB＝sin(π 3 －α)＝ 5 13， 3cos2α 2－sin α 2cos α 2－ 3 2 ＝ 3·1＋cos α 2 － sin α 2 － 3 2 ＝－1 2sin α＋ 3 2 cos α＝sin (α＋2π 3 )＝sin[π－(α＋2π 3 )]＝sin(π 3 －α)＝ 5 13. 4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B，C 均在单位圆上．已知点 A 在第一象 限且横坐标是3 5，点 B 在第二象限，点 C(1，0). 设∠COA＝θ， (1) 求 sin 2θ的值； (2) 若△AOB 为正三角形，求点 B 的坐标． 解：(1) 由题设得 cos θ＝3 5，因为点 A 在单位圆上且在第一象限，所以 sin θ＝4 5， 从而 sin 2θ＝2sin θcos θ＝24 25. (2) 因为△AOB 为正三角形，所以∠BOC＝∠AOC＋60°＝θ＋60°， 所以 cos ∠BOC＝cos(θ＋60°)＝cos θcos 60°－sin θsin 60°＝3－4 3 10 ，sin ∠BOC ＝ sin(θ ＋ 60 ° ) ＝ sin θ cos 60 ° ＋ cos θ sin 60 ° ＝ 4＋3 3 10 ， 因 此 点 B 的 坐 标 为 (3－4 3 10 ， 4＋3 3 10 ). 1. 若 x 为锐角，且 cos(π 3 －2x)＝－7 8，则 sin (x＋π 3 )的值为________． 答案：1 4 解 析 ： 因 为 cos[π－(π 3 －2x)]＝ cos(2x＋2π 3 )＝ 7 8， 所 以 有 sin2(x＋π 3 )＝ 1 2 [1－cos(2x＋2π 3 )]＝1 2(1－7 8 )＝ 1 16.因为 x 为锐角，所以 sin(x＋π 3 )＝1 4. 2. 已知 A(xA，yA)是单位圆(圆心为坐标原点 O，半径为 1)上任一点，将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 π 3 到 OB 交单位圆于点 B(xB，yB)．已知 m>0，若 myA－2yB 的最大值为 3，则 m ＝________． 答案： 6＋1 解析：设 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 θ，myA－2yB＝msin θ－2sin(θ＋60°)＝(m－1)sin θ－ 3cos θ，则(m－1)2＋3＝9，而 m>0，故 m＝ 6＋1. 3. 设 a＝1 2cos 2°－ 3 2 sin 2°，b＝ 2tan 14° 1－tan214°，c＝ 1－cos 50° 2 ，则 a，b，c 的大小 关系为____________． 答案：cB⇒a>b⇒sin A>sin B. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式 ① S＝1 2a·h(h 表示 a 边上的高)； ② S＝1 2absin C＝1 2acsin B＝1 2bcsin A＝abc 4R； ③ S＝1 2r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S＝ P（P－a）（P－b）（P－c），其中 P＝1 2(a＋b＋c). ,　　　　　　　　　1　正弦定理、余 弦定理的简单应用) ,　　　　　1)　(1) 在△ABC 中，已知 AB＝3，A＝120°，且△ABC 的面积为15 3 4 ， 则 BC 边长为__________； (2) 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c.若 asin Bcos C＋csin Bcos A ＝1 2b，且 a＞b，则 B＝__________． 答案：(1) 7　(2) π 6 解析：(1) 因为△ABC 的面积为 1 2AB·ACsin 120°＝3 2× 3 2 ×AC＝15 3 4 ，解得 AC＝5. 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝9＋25＋15＝49，所以 BC＝7. (2) 根据正弦定理，设 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝k，则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，代入 asin Bcos C＋csin B·cos A＝1 2b，整理得 sin Acos C＋cos Asin C＝1 2，即 sin(A＋C)＝ 1 2.又 sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，所以 sin B＝ 1 2.因为 a>b，所以 B 必为锐角，所以 B＝ π 6 . 变式训练 (1) (2018·扬州中学模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 a＝ 13，b＝3，A＝60°，则 c 的值为________． (2) 在△ABC 中，AC＝ 7，BC＝2，B＝60°，则 BC 边上的高等于__________． 答案：(1) 4　(2) 3 3 2 解析：(1) a2＝c2＋b2－2cbcos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，即 c2－3c－4＝0，解得 c＝4 或 c＝－1(舍去)． (2) 由余弦定理得 AC2＝BC2＋AB2－2AB·BCcos B，即( 7)2＝22＋AB2－4AB·cos 60°， 即 AB2－2AB－3＝0，得 AB＝3，故 BC 边上的高是 ABsin 60°＝3 3 2 . ,　　　　　　　　　2　利用正、余弦 定理判定三角形的形状) ,　　　　　2)　在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对边的长，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1) 求 A 的大小； (2) 若 sin B＋sin C＝1，试判断△ABC 的形状． 解：(1) 由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 故 cos A＝－1 2.又 00，则 cos A＝b2＋c2－a2 2bc >0. ∵ 0 π 3 . 因此角 A 的取值范围是(π 3 ， π 2 ). 3. (2018·苏州调研)已知△ABC 中内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(2sin B，－ 3)，n＝(cos 2B，2cos2B 2－1)，且 m∥n. (1) 求锐角 B 的大小； (2) 如果 b＝2，求 S△ABC 的最大值． 解：(1) ∵ m∥n， ∴ 2sin B(2cos2 B 2－1)＝－ 3cos 2B， ∴ sin 2B＝－ 3cos 2B，即 tan 2B＝－ 3. ∵ B 为锐角，∴ 2B∈(0，π)，∴ 2B＝2π 3 ，∴ B＝ π 3 . (2) ∵ B＝ π 3 ，b＝2， ∴ 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B，得 a2＋c2－ac－4＝0. 又 a2＋c2≥2ac，代入上式，得 ac≤4，当且仅当 a＝c＝2 时等号成立． 故 S△ABC＝1 2acsin B＝ 3 4 ac≤ 3，当且仅当 a＝c＝2 时等号成立，即 S△ABC 的最大值为 3. 4. 已知函数 f(x)＝2sin2(x＋ π 4 )－ 3cos 2x，x∈[π 4 ， π 2 ]，设 x＝α 时 f(x)取到最大值． (1) 求 f(x)的最大值及 α 的值； (2) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，A＝α－ π 12，且 sin Bsin C＝ sin2A，判断△ABC 的形状． 解：(1) 由题意可得 f(x)＝[1－cos(2x＋π 2 )]－ 3cos 2x ＝1＋sin 2x－ 3cos 2x＝1＋2sin(2x－π 3 ). 又 x∈[π 4 ， π 2 ]，∴ π 6 ≤2x－ π 3 ≤2π 3 ， 故当 2x－ π 3 ＝ π 2 ，即 x＝α＝5π 12 时，f(x)max＝3. (2) 由(1)知 A＝α－ π 12＝ π 3 ， 又 sin Bsin C＝sin2A，∴ bc＝a2. ∵ a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc, ∴ b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，故 b＝c. ∴ △ABC 是等边三角形． 5. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 cos A a ＋ cos B b ＝ sin C c . (1) 求证：sin Asin B＝sin C； (2) 若 b2＋c2－a2＝6 5bc，求 tan B. (1) 证明：根据正弦定理，可设 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝k(k＞0)， 则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. 代入 cos A a ＋ cos B b ＝ sin C c ，得 cos A ksin A＋ cos B ksin B＝ sin C ksin C，可变形得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)． 在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π， 得 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以 sin Asin B＝sin C. (2) 解：由已知，b2＋c2－a2＝6 5bc， 根据余弦定理，有 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝3 5. 所以 sin A＝ 1－cos2A＝4 5. 由(1)得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以 4 5sin B＝4 5cos B＋3 5sin B， 故 tan B＝ sin B cos B＝4. 1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同． 2. 对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质． 3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通 过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性． 4. 解三角函数的综合题时应注意： (1) 与已知基本函数对应求解，即将 ωx＋φ 视为一个整体 X. (2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝asin 2x ＋bsin x＋c. (3) 换元方法在解题中的运用．