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  • 2021-06-16 发布

福建省师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

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福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试 高三数学(理科)试卷 试卷说明:‎ ‎(1)本卷共三大题,22小题,解答写在答卷的指定位置上,考试结束后,只交答卷。‎ ‎(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。‎ 第Ⅰ卷(选择题,共60分)‎ 一、选择题:每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,集合,则 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎2.若非零向量,满足,向量与垂直,则与的夹角为 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎3.已知,则的大小关系为 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎4. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为 A.1.5尺 B.2.5尺 ‎ C.3.5尺 D.4.5尺 ‎5. 设是首项为正数的等比数列,公比为,则“”是“对任意的正整数,”的 A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 若,则 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 7. 己知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.根据这些信息,可得 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 若x,y满足约束条件,目标函数仅在点(2,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎ ‎ ‎10. 已知平面向量满足,若,则的最大值为 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎11.已知函数.若函数在区间内没有零点,则的取值范围是 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ ‎12.设函数()有且仅有两个极值点(),则实数的取值范围是 A.‎ B.‎ ‎ C.‎ D.‎ Ⅱ卷(非选择题,共90分)‎ 二、填空题:每小题5分,共20分.‎ ‎13.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为   .‎ ‎14. 16至17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即.现在已知, ,则   .‎ ‎15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口 径,两点间的距离,在珊瑚群岛上取两点,,‎ 测得,,,‎ ‎,则,两点的距离为________.‎ 16. 已知数列的前项和为(),且满足,若对恒成立,则首项的取值范围是_________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18.(12分)‎ ‎ 已知数列的前项和为,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前项和为,证明: .‎ ‎19.(12分)‎ 如图,在 中,角 的对边分别为 , . ‎ ‎(1)求角 的大小;‎ ‎(2)若为外一点, ,求四边形面积的最大值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知数列满足:,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列满足:,,求数列的通项公式.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,记的最小值为,证明:.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23‎ 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,已知直线与曲线C交于不同的两点A, B.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设P(1,2),求的取值范围.‎ ‎23.[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)设函数的最小值为,实数满足,,,求证:.‎ ‎ ‎ 评分标准 一、选择题: ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C B C C A C A D D B 二、填空题: ‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题: ‎ ‎17. 解:(1)∵sinBsinC.‎ 由正弦定理得,bc,…………2分 ‎∵a﹣cb,∴a=‎2c,,…………4分,‎ 由余弦定理知,cosA.…………6分 ‎(2)∵由(1)知,cosA.A为三角形内角,∴sinA,……7分 ‎∴sin‎2A=……………………………………8分 cos‎2A= - …………………………9分 ‎∴=sin2Acos cos‎2A sin.…………12分 ‎18. 解:因为①‎ 所以当时,,得.…………………………1分 当时,②‎ ‎①-②得,…………………………3分 即,‎ ‎∴,…………………………5分 符合上式.故..........6分 (2) ‎ ...............................9分 ‎∴...............12分 ‎19.解:(1)在 中,∵. ‎ ‎∴ ,…………………………1分 ‎∴‎ ‎ ,‎ ‎∴ ,即 ,…………………………4分 ‎∵‎ ‎∴ .…………………………6分 ‎(2)在 中,‎ 又 ,‎ 则为等腰直角三角形,,……………8分 又 ,………………………………………9分 ‎,……………11分 当 时,四边形 的面积最大值,最大值为 .……………12分 ‎20. 解:(1)时, …………………………1分 ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①2×② …………………………4分 满足上式,故.…………………………5分 ‎(2),有累加整理 ‎① …………………………7分 ‎②‎ ‎②① 得 满足上式,故.…………………………12分 ‎21. (1)因为的定义域为, ‎ 又, …………………………1分 所以当时,, 在单调递增. ‎ 当时,若时,,在单调递减;‎ 若时,,在单调递增.‎ 综上,当时,在单调递增;‎ 当时,在上单调递减,在单调递增.…………………………4分 ‎(2)当时,由(1)知,‎ ‎, …………………………5分 令,,则, ‎ 令,,则,‎ 所以在单调递减,‎ 又,,所以存在,‎ 使得,且, ‎ 所以当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ 所以当时,取得最大值, ‎ 因为 ‎ ‎, ‎ 令,,‎ 则在单调递减, ‎ 所以,所以, ‎ 因此当时,,即.…………………12分 ‎22. 解:(1)因为,所以,两式相减可得 直线的普通方程为. …………………………2分 因为,,,‎ 所以曲线的直角坐标方程. …………………………4分 ‎ ‎(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程, ‎ 整理得关于的方程: . ‎ 因为直线与曲线有两个不同的交点,所以上述方程有两个不同的解,设为,‎ 则 ,. …………………………5分 并且,‎ 注意到 ,解得. ………6分 因为直线的参数方程为标准形式,所以根据参数的几何意义,‎ 有 ‎,…………………………8分 因为,所以,.‎ 因此的取值范围是.…………………………10分 ‎23. 解:①当时,不等式可化为,.‎ 又∵,∴∅;‎ ‎②当时,不等式可化为,.‎ 又∵,∴.‎ ‎③当时,不等式可化为,.‎ 又∵,∴.‎ 综上所得,. ‎ ‎∴原不等式的解集为. …………………………4分 ‎(2)证明:由绝对值不等式性质得,,‎ ‎∴,即.‎ 令,,则,,,,‎ ‎ ,‎ 原不等式得证. …………………………10分