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- 2021-06-16 发布
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福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试
高三数学(理科)试卷
试卷说明:
(1)本卷共三大题,22小题,解答写在答卷的指定位置上,考试结束后,只交答卷。
(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合,集合,则
A.
B.
C.
D.
2.若非零向量,满足,向量与垂直,则与的夹角为
A.
B.
C.
D.
3.已知,则的大小关系为
A.
B.
C.
D.
4. 《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为
A.1.5尺
B.2.5尺
C.3.5尺
D.4.5尺
5. 设是首项为正数的等比数列,公比为,则“”是“对任意的正整数,”的
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6. 若,则
A.
B.
C.
D.
7. 己知某函数图象如图所示,则此函数的解析式可能是
A.
B.
C.
D.
8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.根据这些信息,可得
A.
B.
C.
D.
9. 若x,y满足约束条件,目标函数仅在点(2,0)处取得最小值,则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
10. 已知平面向量满足,若,则的最大值为
A.
B.
C.
D.
11.已知函数.若函数在区间内没有零点,则的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12.设函数()有且仅有两个极值点(),则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:每小题5分,共20分.
13.边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为 .
14. 16至17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即.现在已知, ,则 .
15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口
径,两点间的距离,在珊瑚群岛上取两点,,
测得,,,
,则,两点的距离为________.
16. 已知数列的前项和为(),且满足,若对恒成立,则首项的取值范围是_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.(12分)
已知数列的前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明: .
19.(12分)
如图,在 中,角 的对边分别为 , .
(1)求角 的大小;
(2)若为外一点, ,求四边形面积的最大值.
20.(12分)
已知数列满足:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,,求数列的通项公式.
21.(12分)
已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,记的最小值为,证明:.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23
题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,已知直线与曲线C交于不同的两点A, B.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(1,2),求的取值范围.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)解不等式;
(2)设函数的最小值为,实数满足,,,求证:.
评分标准
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
B
C
C
A
C
A
D
D
B
二、填空题:
13. 14. 15. 16.
三、解答题:
17. 解:(1)∵sinBsinC.
由正弦定理得,bc,…………2分
∵a﹣cb,∴a=2c,,…………4分,
由余弦定理知,cosA.…………6分
(2)∵由(1)知,cosA.A为三角形内角,∴sinA,……7分
∴sin2A=……………………………………8分
cos2A= - …………………………9分
∴=sin2Acos cos2A sin.…………12分
18. 解:因为①
所以当时,,得.…………………………1分
当时,②
①-②得,…………………………3分
即,
∴,…………………………5分
符合上式.故..........6分
(2) ...............................9分
∴...............12分
19.解:(1)在 中,∵.
∴ ,…………………………1分
∴
,
∴ ,即 ,…………………………4分
∵
∴ .…………………………6分
(2)在 中,
又 ,
则为等腰直角三角形,,……………8分
又 ,………………………………………9分
,……………11分
当 时,四边形 的面积最大值,最大值为 .……………12分
20. 解:(1)时, …………………………1分
①
②
①2×② …………………………4分
满足上式,故.…………………………5分
(2),有累加整理
① …………………………7分
②
②① 得
满足上式,故.…………………………12分
21. (1)因为的定义域为,
又, …………………………1分
所以当时,, 在单调递增.
当时,若时,,在单调递减;
若时,,在单调递增.
综上,当时,在单调递增;
当时,在上单调递减,在单调递增.…………………………4分
(2)当时,由(1)知,
, …………………………5分
令,,则,
令,,则,
所以在单调递减,
又,,所以存在,
使得,且,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
所以当时,取得最大值,
因为
,
令,,
则在单调递减,
所以,所以,
因此当时,,即.…………………12分
22. 解:(1)因为,所以,两式相减可得
直线的普通方程为. …………………………2分
因为,,,
所以曲线的直角坐标方程. …………………………4分
(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,
整理得关于的方程: .
因为直线与曲线有两个不同的交点,所以上述方程有两个不同的解,设为,
则 ,. …………………………5分
并且,
注意到 ,解得. ………6分
因为直线的参数方程为标准形式,所以根据参数的几何意义,
有
,…………………………8分
因为,所以,.
因此的取值范围是.…………………………10分
23. 解:①当时,不等式可化为,.
又∵,∴∅;
②当时,不等式可化为,.
又∵,∴.
③当时,不等式可化为,.
又∵,∴.
综上所得,.
∴原不等式的解集为. …………………………4分
(2)证明:由绝对值不等式性质得,,
∴,即.
令,,则,,,,
,
原不等式得证. …………………………10分