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- 2021-06-16 发布
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山东省泰安市新泰市第二中学 2019-2020 学年高二期中考试数学试卷
一、选择题
1、已知离散型随机变量 的概率分布如下:
1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其数学期望 E 等于( ).
A.1 B.0.6 C. D.2.4
2.设 ,函数 的导函数为 ,且 是奇函数,则 为( )
A.0 B.1 C.2 D.-1
3、若(x+1) 5=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1) 2+…+a 5(x-1) 5,则 a 0=( )
A.32 B.1 C.-1 D.-32
4.已知 是复平面内的三个不同点,点 对应的复数分别是 若
,则点 表示的复数是( )
A. B. C. D.
5、直线 y=kx+b 与曲线 y=x 3+ax+1 相切于点(2 , 3),则 b 的值为( )
A.-3 B.9
C.-15 D.-7
6、已知离散型随机变量 的概率分布如下:
0 1 2
P 0.3 3k 4k
随机变量 ,则 的数学期望为( )
A.1.1 B.3.2 C.11k D.22k+1
7.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设函数 , 在 上均可导,且 ,则当 时,有( )
A. B.
C.
D.
二、多项选择题
9.若随机变量 ξ 的分布列为
ξ 0 1
P m n
其中 ,则下列结果中错误的是( )
A. B.
C. D.
a R∈ ( ) x xf x e ae−= − '( )f x '( )f x a
, ,A B C ,A B 2 3 , ,i i− + −
AC CB= C
2 2i− + 2 4i− + 1 i− + 1 2i− +
X 2( , )N µ σ ( 4) ( 0)P x P x> = < µ =
( )f x ( )g x [ ],a b '( ) '( )f x g x< a x b< <
( ) ( )f x g x> ( ) ( )f x g x<
( ) ( ) ( ) ( )f x g a g x f a+ < +
( ) ( ) ( ) ( )f x g b g x f b+ < +
)1(0m∈ ,
( ) ( ) 3E m D nξ ξ= =, ( ) ( ) 2E m D nξ ξ= =,
( ) ( ) 21E m D m mξ ξ= − = −, ( ) ( ) 21E m D mξ ξ= − =,
10.已知函数 ,若 ,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.当 时,
11.已知 的展开式中第 5 项与第七项的二项数系数相等,且展开式
的各项系数之和为 1024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为 256
B. 展开式中第 6 项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含 项的系数为 45
12.下列函数中,存在极值点的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
13.若复数 ,则复数 的 =__________.
14.已知 的展开式中含有 的系数是 ,则 __________.
15.若已知随机变量 ,则 ____________.
16.若函数 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是______。
四、解答题
17、(本题满分 14 分)
已知复数 当实数 取什么值时,复数 是:
(1)零;(2)纯虚数; (3)
18.已知函数
(1)求 的解析式;
(2)求 在 处的切线方程.
19、由数字 1,2,3,4
(1)可组成多少个三位数
( ) lnf x x x= 1 20 x x< <
( ) ( )2 1 1 2x f x x f x< ( ) ( )1 1 2 2x f x x f x+ < +
( ) ( )1 2
1 2
0f x f x
x x
− <− ln 1x > − ( ) ( ) ( )21 121 22x xx f x f x xf+ >
2 1( ) ( 0)nax a
x
+ >
15x
1y x x
= − 2 xy = 32y x x= − − lny x x=
z
( )1 3 nx+ 2x 54 n=
1~ (4, )3X B ( 3)P X = =
3 2( ) 2f x x x ax= − + +
2 4( ) , (1) 2, '(1) 1;3f x ax ax b f f= − + = =
( )f x
( )f x (1,2)
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数
(3)可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位数字大于十位数字,十位数字
大于个位数字.
20、(1)若 的展开式中, 的系数是 的系数的 7 倍,求 n;
(2)已知 的展开式中, 的系数是 的系数与 的系数的等差中
项,求 ;
(3)已知 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120,求 x。
21、某校举行了“环保知识竞赛”,为了解本次竞赛
成绩的频率分布表情况,从中随机抽取部分学
生的成绩(得分均为整数,满分 100 分),进行
统计,请根据频率分布表中所提供
的数据,解答下列问题:
(Ⅰ)求 的值及随机抽取一考生其成绩不
低于 70 分的概率;
(Ⅱ)按成绩分层抽样抽取 20 人参加社区志愿
者活 动,并从中指派 2 名学生担任负责人,
记这 2 名学生中“成绩低于 70 分”的人数为
,求 的分布列及期望。
22.已知函数 .
(1)若函数 与 的图象在点 处有相同的切线,求 的值;
(2)当 时, 恒成立,求整数 a 的最大值;
(3)证明: .
数学期中考试试题
分组 频数 频率
[50,60) 5 0.05
[60,70) 0.20
[70,80) 35
[80,90) 30 0.30
[90,100) 10 0.10
合计 1.00
1 )nx+( 3x x
7( 1) ( 0)ax a+ ≠ 3x 2x 4x
a
lg 8(2 )xx x+
, ,a b c
ξ ξ
( ) e , ( ) ln( )xf x g x x a b= = + +
( )f x ( )g x (0,1) ,a b
0b = ( ) ( ) 0f x g x− >
2 3 eln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) [ln( 1) ln ] e 1
nn n+ − + − + + + − < −
参考答案
答案: 1、
解析: 由分布列性质得 m=1-0.5-0.2=0.3,所以 E
=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4。
2.答案:D
解析:
答案: 3、
解析: 因为(x+1) 5=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1) 2+…+a 5(x-1) 5,
所以令 x=1 得
a 0=2 5=32
故选 A
4.答案:C
解析:
答案: 5、
解析: 解:∵y=x 3+ax+1 过点(2,3)
∴a=-3,∴y'=3x 2-3,∴k=y'| x=2=3×4-3=9,∴b=y-kx=3-9×2=-15,
故答案为:-15.
答案: 6、
解析: 略
7.答案:B
解析:
8.答案:C
解析:令 ,由 ,得 在 上为减函数,
由 ,得 ,
即 ,
故选 C.
9.答案:ABD
解析:
10.答案:AD
解析:
11.答案:BCD
解析:因为 的展开式中第 5 项与第 7 项的第二项式系数相等,所以
( ) ( ) ( )F x f x g x= − '( ) '( ) '( ) 0F x f x g x= − < ( )F x [ ],a b
a x b< < ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f a g a− < −
( ) ( ) ( ) ( )f x g a g x f a+ < +
2 1( )nax
x
+
4 6
n nC C=
得 ,因为展开式中各项系数之和为 1024,所以令 ,得 得
故给定的二项式为 展开式的系数与对应的二项式系数相等,故 B 正确,
展开式的通项通项公式为 ,令 ,记得
即常数项为第 9 项,故 C 正确,令 ,得 ,故展开式中含 项的系数为
故 D 正确
12.答案:BD
解析:
13.答案:
解析:
14.答案:4
解析: ∴ ,∴ .
15.答案:
解析:
16.答案:
解析:
答案: 17、
解析: 解:(1)由 可得 m=1;……4 分
(2)由 可得 m=0;……8 分
(3)由 可得 m=2; ……12 分
综上:当 m=1 时,复数 是 0;当 m=1 时,复数 是纯虚数;
当 m=2,复数 是 .……14 分
思路分析:本试题主要考查了复数的概念和复数的基本运算。
10n = 1x = 10( 1) 1024a + = 1a =
2 101( )x
x
+
5202 10 2
10 10
1( ) ( ) ( 0,1,2, 10)
k
k k kC x C x k
x
−− ⋅ = =
520 152
k− = 8k =
520 152
k− = 2k = 15x
2
10 45C =
1
5
( )22 3 54nC x x= ( )1 62
n n − = 4n =
8
81
4, 3
−∞ −
第一问中利用(1)由 可得 m=1;
(2)中由 可得 m=0;
(3)中由 可得 m=2
18.答案:
解析:
答案: 19、
答案: 20、
答案: 21、
解析: (Ⅰ)
由频率分布表可得成绩不低予 分的概率为:
……………………………………………………………4
分
(Ⅱ)由频率分布表可知,“成绩低予 分”的概率为
按成绩分层抽样抽取 人时.“成绩低于 分”的应抽取
人………………6 分
的取值为
的分布列为
………………………………………………………9 分
…………
22.答案:(1).因为函数 和 的图象在点 处有相同的切线,
所以 且 ,
解得
( )f x ( )g x (0,1)
(0) (0)f g= '(0) '(0)f g=
1, 1a b= =
(2).现证明 ,设 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,即 恒成立,
即
同理可得 ,
即 ,
当 时, ,
所以当 时, 恒成立.
当 时, ,即 不恒成立.
故整数 a 的最大值为 2.
(3).由(2)知 ,令 ,
则 ,
即 ,
综上:
又 ,
所以 .
解析:
e 1x x≥ + ( ) e 1xF x x= − − '( ) 1xF x e= −
(0, )x∈ +∞ '( ) 0F x > ( ,0)x∈ −∞ '( ) 0F x <
( )F x (0, )+∞ ( ,0)−∞
min( ) (0) 0F x F= = ( ) 0F x ≥
e 1x x≥ +
ln( 2) 1x x+ ≤ +
e ln( 2)x x> +
2a ≤ ln( ) ln( 2) exx a x+ ≤ + <
2a ≤ ( ) ( ) 0f x g x− >
3a ≥ 0e ln a< e ln( ) 0x x a− + >
e ln( 2)x x> + 1nx n
− +=
1 1e ln( 2)
n
n n
n
− + − +> +
1 1e [ln( 2)] [ln( 1) ln ]n n nn n nn
− + − +> + = + −
0 1 2 1e e e ... e n− − − ++ + + + 2 3ln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... [ln( 1) ln ]nn n> + − + − + + + −
0 1 2 1e e e ... e n− − − ++ + + +
11 1 ee
1 1 e 11 1e e
n
−
= < = −− −
2 3 eln 2 (ln3 ln 2) (ln 4 ln3) ... [ln( 1) ln ] e 1
nn n+ − + − + + + − < −