河南省周口市中英文学校2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题 8页

周口中英文学校2019-2020学年下期高二第一次考试 数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．以上都不对 ‎2．要证明＋<2可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．类比法 D．归纳法 ‎3. 函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)等于(　)‎ A．13 B． ‎2 ‎ C． D． ‎4．曲线在点处的切线方程是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5． 演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误 ‎6. 已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a 的取值范围为(　　)‎ A．a> B．a≥ C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0‎ ‎ ‎ ‎7．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出一般式子为(　　)‎ A．1＋＋＋…＋< (n≥2)‎ B．1＋＋＋…＋< (n≥2)‎ C．1＋＋＋…＋< (n≥2)‎ D．1＋＋＋…＋< (n≥2)‎ ‎8．观察，由归纳推理可得.若定义在上的函数满足，记为的导函数，则等于（　　）‎ ‎ A . B . C . D . ‎ ‎9．函数的导数为（　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是(　　)‎ A． (2,3) B． (3，＋∞)‎ C． (2，＋∞) D． (－∞，3)‎ ‎11. 在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限 ‎ ‎ ‎12.函数在区间上的值域是（　　）‎ ‎ A . B. C . D. ‎ ‎ ‎ 二．填空题:　本大题共4小题，每小题５分，满分2０分．‎ ‎13.观察数列、3、、、3，…，写出该数列的一个通项公式an＝______________.‎ ‎ ‎ ‎14． 函数y＝xex＋1的单调减区间为________．‎ ‎15. 如果f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1)＝2，则＋＋＋…＋＋＋ ‎＝_______.‎ ‎16. 如图1是的导函数的图像，现有四种说法.‎ ‎（1）在上是增函数(2) 是的极小值点 ‎(3) 在上是增函数（4）x=2是的极小值点 以上说法正确的序号是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2 4‎ ‎ 0 1 3 ‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ 三．解答题:（本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）．已知∈R，复数，当为何值时，‎ ‎(1)∈R; (2)是虚数；‎ ‎18．（本小题满分12分）设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．‎ ‎19. （本小题满分12分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.‎ 求：(1)z1＋2；(2)z1·z2；(3).‎ ‎20. (本小题满分12分)在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．‎ ‎21. (本小题满分12分) 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎22. (本小题满分12分) 已知函数f(x)＝x2＋ln x.‎ ‎(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．‎ 理科数学试题参考答案 一．选择题：‎ 题目 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10 ‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C A A C C D A B ‎ D A 二．填空题：‎ ‎13. 14 . (－∞，－1) 15. 2010 16. (2),(3) ‎ 三．解答题：‎ ‎17．解(1)须满足解之得：=－3.‎ ‎(2)须满足2+2－3≠0且－1≠0，解之得：≠1且≠－3.‎ ‎18．解　　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋‎6a.‎ ‎∵f(x)在x＝3处取得极值，‎ ‎∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋‎6a＝0，‎ 解得a＝3.‎ ‎∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.‎ ‎(2)A点在f(x)上，‎ 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，‎ f′(1)＝6－24＋18＝0，‎ ‎∴切线方程为y＝16.‎ ‎19. 解　z2＝＝＝ ‎＝＝1－3i.‎ ‎(1)z1＋2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.‎ ‎(2)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i＝－7－9i.‎ ‎(3)＝＝ ‎＝＝＋i.‎ ‎20证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C. ①‎ 因为A、B、C为△ABC的内角，‎ 所以A＋B＋C＝π. ②‎ 由①②得，B＝. ③‎ 由a、b、c成等比数列，有b2＝ac. ④‎ 由余弦定理及③可得，‎ b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.‎ 再由④得，a2＋c2－ac＝ac.‎ 即(a－c)2＝0，因此a＝c.‎ 从而有A＝C. ⑤‎ 由②③⑤得，A＝B＝C＝. ‎ 所以△ABC为等边三角形　‎ ‎21.f′(x)＝3ax2－b.‎ ‎(1)由题意得，‎ 解得，‎ 故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   ‎－  因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，‎ 当x＝2时，f(x)有极小值－，‎ 所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如右图所示．‎ 若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－1时，f′(x)>0，‎ ‎∴f(x)在[1，e]上是增函数，‎ ‎∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.‎ ‎(2)证明　令F(x)＝f(x)－g(x)‎ ‎＝x2－x3＋ln x，‎ ‎∴F′(x)＝x－2x2＋＝ ‎＝＝.‎ ‎∵x>1，∴F′(x)<0，‎ ‎∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴F(x)