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- 2021-06-16 发布
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综合检测二(标准卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设全集为R，集合A＝，B＝{x|x≥1}，则A∩B等于( )
A．{x|00，b>0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.－1 D.
答案 D
解析 ∵直线l与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴，
∴根据双曲线的对称性，
设点M(－c，－y)，N(c，y)(y>0)，
则－＝1，即|y|＝，且|MF1|＝|NF2|＝|y|，
又∵直线l的倾斜角为45°，
∴直线l过坐标原点，|y|＝c，
∴ ＝c，整理得c2－ac－a2＝0，
即e2－e－1＝0，解方程得e＝.
12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
答案 B
解析 ∵2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴a≤x＋2ln x＋对x∈(0，＋∞)恒成立，
令f(x)＝x＋2ln x＋，则f′(x)＝1＋－＝.
由f′(x)>0得x>1，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数；由f′(x)<0得01＋，
∴两圆外离，
∴|PD|的最小值为3－1－＝2－1，
∴|＋|的最小值为4－2.
15.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝________.
答案 1
解析 由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝2，＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，
又f＝2sin＝2,
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin，f(0)＝2sin＝1.
16．已知抛物线C：y2＝8x，点P(0,4)，点A在抛物线上，当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时，F是抛物线的焦点，延长AF交抛物线于点B，则△AOB的面积为________．
答案 4
解析 根据抛物线性质知抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，故当P，A，F三点共线时达到最小值，由P(0,4)，F(2,0)，可得lAB：2x＋y－4＝0，联立抛物线方程可得x2－6x＋4＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10，原点到直线lAB：2x＋y－4＝0的距离d＝＝，所以△AOB的面积为×10×＝4.
三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nan，求数列{bn}前2 019项的和．
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
⇒⇒
∴{an}的通项公式为an＝27－2n.
(2){bn}的前2 019项的和S2 019为
S2 019＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2 018＋b2 019＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2 018－a2 017)－a2 019
＝(－2)×－(27－2×2 019)
＝1 993.
18．(12分)如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．
(1)当AB＝时，证明：平面SAB⊥平面SCD；
(2)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．
(1)证明 作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，
又AB⊥AD，SO∩AD＝O，SO，AD⊂平面SAD，
∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD.
利用勾股定理得SA＝＝＝，同理可得SD＝.
在△SAD中，AD＝2，SA＝SD＝，SA2＋SD2＝AD2，
∴SA⊥SD，
又SA∩AB＝A，∴SD⊥平面SAB，
又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD.
(2)解 连接BO，CO，
∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，
∴BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，
∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD.
取BC中点为E，得OE∥AB，连接SE，∴SE＝，
其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝，
由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以直线OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，－)，＝(－2,0,0)，
设m＝(x1，y1，z1)是平面SCD的法向量，
则有
即
令z1＝1得m＝(－，0,1)，
设n＝(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量，
则有即
令z1＝1得n＝(0，，1)．
则|cos〈m，n〉|＝＝＝，
所以平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值为.
19．(12分)某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．
(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率；
(2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂．设每片芯片不合格的概率为p(00，f(p)为单调增函数；
当p∈时，f′(p)<0，f(p)为单调减函数，
∴p0＝为f(p)的极大值点，也是最大值点．
故f(p)的最大值点p0＝.
②由题设知，p＝p0＝，
设这箱芯片不合格品个数为n，
则n～B，
故E(n)＝12×＝3，
则E(X)＝120－12－30－3×2＝72.
∴这箱芯片最终利润X的均值是72元．
20．(12分)设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0)，直线l：x＝t，曲线Γ：y2＝8x(0≤x≤t，y≥0)．l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P，Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．
(1)用t表示点B到点F距离；
(2)设t＝3，|FQ|＝2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；
(3)设t＝8，是否存在以FP，FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)方法一 由题意可得B(t,2)，
则|BF|＝＝t＋2，
∴|BF|＝t＋2.
方法二 由题意可得B(t,2)，
由抛物线的性质可知，|BF|＝t＋＝t＋2，∴|BF|＝t＋2.
(2)F(2,0)，|FQ|＝2，t＝3，则|FA|＝1，
∴|AQ|＝，
∴Q(3，)，设OQ的中点D，D，
kDF＝＝－，
则直线PF的方程为y＝－(x－2)，
联立整理得3x2－20x＋12＝0，
解得x＝，x＝6(舍去)，
∴△AQP的面积S＝××＝.
(3)存在．假设存在，则设P，
易知，当PF斜率不存在时，不存在符合题意的矩形，
则kPF＝＝，kFQ＝，
直线QF的方程为y＝(x－2)，
∴yQ＝(8－2)＝，Q，
根据＋＝，则E，
∴2＝8，解得y2＝，
∴存在以FP，FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P.
21．(12分)已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a为常数)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)，x∈的图象与x轴无交点，求实数a的最小值．
解 (1)a＝1时，f(x)＝x－2ln x－1，f′(x)＝1－，
由f′(x)>0得x>2；f′(x)<0得00成立，
即x∈时，a>2－.
令l＝2－，x∈，
则l′(x)＝，
再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，
m′(x)＝<0，于是m在上为减函数，
故m(x)>m＝2－2ln 2>0，∴l′(x)>0在上恒成立，
∴l(x)在上为增函数，∴l(x)2－恒成立，只要a∈[2－4ln 2，＋∞)，
∴实数a的最小值为2－4ln 2.
请在第22～23题中任选一题作答．
22．(10分)直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cos θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
解 (1)由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(sin α－cos α)t－7＝0.
由Δ＝4(sin α－cos α)2＋4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以t1＋t2＝2(cos α－sin α)，t1t2＝－7，
又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝≥2，当sin 2α＝1时取等号．
所以|PA|＋|PB|的最小值为2.
23．(10分)设函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(2)若关于x的不等式f(x)<＋a在x∈[1,2]上有解，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，
f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝＋＋|x＋1|≥0＋＝，
当且仅当x＝时，取等号．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)<＋a⇒|2x－a|＋x＋a<＋a⇒|a－2x|<－x⇔3x－0，所以0
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