2019届二轮复习离散型随机变量的方差课件（43张） 43页

　离散型随机变量的方差 学习目标 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 . 2 . 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题 . 3 . 掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差 . 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为 X 和 Y ， X 和 Y 的分布列如下： 知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质 思考 1 　 试求 E ( X ) ， E ( Y ). 思考 2 　能否由 E ( X ) 与 E ( Y ) 的值比较两名工人技术水平的高低？ 思考 3 　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ 答案　 不能，因为 E ( X ) ＝ E ( Y ). 答案　 方差 . 梳理　 (1) 方差及标准差的定义 设离散型随机变量 X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n ① 方差： D ( X ) ＝ ； ② 标准差 ： . (2) 方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度 . 方差或 标准差 ， 则随机变量偏离于均值的平均 程度 . (3) 方差的性质： D ( aX ＋ b ) ＝ . 越小 越小 a 2 D ( X ) 知识点二　两点分布与二项分布的方差 X X 服从两点分布 X ～ B ( n ， p ) D ( X ) ( 其中 p 为成功概率 ) ____ ____ __ p (1 － p ) np (1 － p ) 1. 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 .( 　　 ) 2. 若 a 是常数，则 D ( a ) ＝ 0.( 　　 ) 3. 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度 . ( 　　 ) × √ [ 思考辨析 判断正误 ] √ 题型探究 (1) 求 X 2 的分布列； 例 1 　 已知 X 的分布列如下： 类型一　求随机变量的方差与标准差 解答 从而 X 2 的分布列为 (2) 计算 X 的方差； 解答 (3) 若 Y ＝ 4 X ＋ 3 ，求 Y 的均值和方差 . 解　 因为 Y ＝ 4 X ＋ 3 ， 所以 E ( Y ) ＝ 4 E ( X ) ＋ 3 ＝ 2 ， D ( Y ) ＝ 4 2 D ( X ) ＝ 11. 解答 反思与感悟　 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量 X 2 的均值比较好计算的情况下，运用关系式 D ( X ) ＝ E ( X 2 ) － [ E ( X )] 2 不失为一种比较实用的方法 . 另外注意方差性质的应用，如 D ( aX ＋ b ) ＝ a 2 D ( X ). (1) 求方差及标准差； 跟踪训练 1 　 已知 η 的分布列为 解答 (2) 设 Y ＝ 2 η － E ( η ) ，求 D ( Y ). 解　 ∵ Y ＝ 2 η － E ( η ) ， ∴ D ( Y ) ＝ D (2 η － E ( η )) ＝ 2 2 D ( η ) ＝ 4 × 384 ＝ 1 536. 解答 例 2 　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物 . 某人一次种植了 n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p ，设 ξ 为成活沙柳的株数，均值 E ( ξ ) 为 3 ，标准差 为 解答 类型二　两点分布与二项分布的方差 (1) 求 n 和 p 的值，并写出 ξ 的分布列； ξ 的分布列为 (2) 若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率 . 解答 解　 记 “ 需要补种沙柳 ” 为事件 A ，则 P ( A ) ＝ P ( ξ ≤ 3) ， 反思与感悟　 解决此类问题第一步是判断随机变量 ξ 服从什么分布，第二步代入相应的公式求解 . 若 ξ 服从两点分布，则 D ( ξ ) ＝ p (1 － p ) ；若 ξ 服从二项分布，即 ξ ～ B ( n ， p ) ，则 D ( ξ ) ＝ np (1 － p ). 跟踪训练 2 　某厂一批产品的合格率是 98%. (1) 计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差； 解答 解 　 用 ξ 表示抽得的正品数，则 ξ ＝ 0,1. ξ 服从两点分布，且 P ( ξ ＝ 0) ＝ 0.02 ， P ( ξ ＝ 1) ＝ 0.98 ， 所以 D ( ξ ) ＝ p (1 － p ) ＝ 0.98 × (1 － 0.98) ＝ 0.019 6. (2) 从中有放回地随机抽取 10 件产品，计算抽出的 10 件产品中正品数的方差及标准差 . 解答 解　 用 X 表示抽得的正品数，则 X ～ B (10,0.98) ， 所以 D ( X ) ＝ 10 × 0.98 × 0.02 ＝ 0.196 ， 例 3 　 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试 . 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量 ξ ， η ，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于 6 环，且甲射中 10,9,8,7 环的概率分别为 0.5,3 a ， a, 0.1 ，乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3 ， 0.3 ， 0.2. (1) 求 ξ ， η 的分布列； 类型三　方差的实际应用 解 答 解　 依据题意知， 0.5 ＋ 3 a ＋ a ＋ 0.1 ＝ 1 ， 解得 a ＝ 0.1. ∵ 乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2 ， ∴ 乙射中 7 环的概率为 1 － (0.3 ＋ 0.3 ＋ 0.2) ＝ 0.2. ∴ ξ ， η 的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2) 求 ξ ， η 的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人 . 解 答 解　 结合 (1) 中 ξ ， η 的分布列，可得 E ( ξ ) ＝ 10 × 0.5 ＋ 9 × 0.3 ＋ 8 × 0.1 ＋ 7 × 0.1 ＝ 9.2 ， E ( η ) ＝ 10 × 0.3 ＋ 9 × 0.3 ＋ 8 × 0.2 ＋ 7 × 0.2 ＝ 8.7 ， D ( ξ ) ＝ (10 － 9.2) 2 × 0.5 ＋ (9 － 9.2) 2 × 0.3 ＋ (8 － 9.2) 2 × 0.1 ＋ (7 － 9.2) 2 × 0.1 ＝ 0.96 ， D ( η ) ＝ (10 － 8.7) 2 × 0.3 ＋ (9 － 8.7) 2 × 0.3 ＋ (8 － 8.7) 2 × 0.2 ＋ (7 － 8.7) 2 × 0.2 ＝ 1.21. ∵ E ( ξ )> E ( η ) ，说明甲平均射中的环数比乙高 . 又 ∵ D ( ξ )< D ( η ) ，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定 . ∴ 甲的射击技术好 . 反思与感悟　 (1) 解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论 . (2) 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断 . 跟踪训练 3 　 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为 解答 ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平 . 解　 甲保护区的违规次数 ξ 的均值和方差分别为 E ( ξ ) ＝ 0 × 0.3 ＋ 1 × 0.3 ＋ 2 × 0.2 ＋ 3 × 0.2 ＝ 1.3 ； D ( ξ ) ＝ (0 － 1.3) 2 × 0.3 ＋ (1 － 1.3) 2 × 0.3 ＋ (2 － 1.3) 2 × 0.2 ＋ (3 － 1.3) 2 × 0.2 ＝ 1.21. 乙保护区的违规次数 η 的均值和方差分别为 E ( η ) ＝ 0 × 0.1 ＋ 1 × 0.5 ＋ 2 × 0.4 ＝ 1.3 ； D ( η ) ＝ (0 － 1.3) 2 × 0.1 ＋ (1 － 1.3) 2 × 0.5 ＋ (2 － 1.3) 2 × 0.4 ＝ 0.41. 因为 E ( ξ ) ＝ E ( η ) ， D ( ξ )> D ( η ) ，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定 . 达标检测 1. 已知随机变量 X 的分布列为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 2. 有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各 10 株的分蘖数据，计算出样本均值 E ( X 甲 ) ＝ E ( X 乙 ) ，方差分别为 D ( X 甲 ) ＝ 11 ， D ( X 乙 ) ＝ 3.4. 由此可以估计 A. 甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B. 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D. 甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 √ 1 2 3 4 5 答案 解析 3. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币 10 次，设两枚硬币同时出现反面的次数为 ξ ，则 D ( ξ ) 等于 √ 1 2 3 4 5 4. 已知离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，若 E ( X ) ＝ 0 ， D ( X ) ＝ 1 ，则 a ＝ ________ ， b ＝ ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 5. 编号为 1,2,3 的三位学生随意入座编号为 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是 ξ ，求 E ( ξ ) 和 D ( ξ ). 1 2 3 4 5 解　 ξ 的所有可能取值为 0,1,3 ， ξ ＝ 0 表示三位同学全坐错了，有 2 种情况，即编号为 1,2,3 的座位上分别坐了编号为 2,3,1 或 3,1,2 的学生， 1 2 3 4 5 ξ ＝ 1 表示三位同学只有 1 位同学坐对了， ξ ＝ 3 表示三位同学全坐对了，即对号入座， 所以 ξ 的分布列为 1 2 3 4 5 1. 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度 . 方差 D ( X ) 或 标准差 越 小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差 D ( X ) 或 标准差 越 大，表明偏离的平均程度越大，说明 X 的取值越分散 . 2. 求离散型随机变量 X 的均值、方差的步骤 (1) 理解 X 的意义，写出 X 的所有可能的取值 . (2) 求 X 取每一个值的概率 . 规律与方法 ( 3) 写出随机变量 X 的分布列 . (4) 由均值、方差的定义求 E ( X ) ， D ( X ). 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算 E ( X ) 和 D ( X ).