【数学】2019届一轮复习人教A版理第4章第1节　平面向量的概念及线性运算教案 8页

第章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节　平面向量的概念及线性运算 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎(对应学生用书第69页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．‎ ‎(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．‎ ‎2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 ‎ ‎ 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μ a)＝(λμ) a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．‎ ‎2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(　　)‎ ‎(2)＝－.(　　)‎ ‎(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)‎ ‎(4)已知a，b是两个非零向量，当a，b共线时，一定有b＝λa(λ为常数)，反之也成立．(　　)‎ ‎[答案](1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．在四边形ABCD中，＝，且||＝||，那么四边形ABCD为(　　)‎ A．平行四边形　 B．菱形 C．长方形 D．正方形 B　[＝，则四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，则四边形ABCD为菱形，故选B．]‎ ‎3．D是△ABC的边AB的中点，则向量等于(　　)‎ A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ A　[如图，‎ ＝＋＝＋ ‎＝－＋.]‎ ‎4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．‎ b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，‎ ＝－＝－－＝－a－b.]‎ ‎5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.‎ ‎－　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，‎ ‎∴ 得]‎ ‎(对应学生用书第70页)‎ 平面向量的概念 ‎　给出下列四个命题： ‎ ‎【导学号：97190145】‎ ‎①若|a|＝|b|，则a＝b；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.‎ 其中正确命题的序号是(　　)‎ A．②③　　 B．①② C．③④ D．②④‎ A　[①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．‎ ‎②正确．∵＝，∴||＝||且∥，‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形；‎ 反之，若四边形ABCD为平行四边形，‎ 则∥且||＝||，∴＝.‎ ‎③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，‎ 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，‎ ‎∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.‎ ‎④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．‎ 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A．]‎ ‎[易错警示]　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．‎ ‎(2)共线向量即为平行向量，不要与线段的共线、平行混为一谈．‎ ‎(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．‎ ‎(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．‎ ‎[跟踪训练]　设a0为单位向量，下述命题中：‎ ‎①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；‎ ‎②若a与a0平行，则a＝|a|a0；‎ ‎③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.‎ 假命题的个数是(　　)‎ A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3‎ D　[向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.]‎ 平面向量的线性运算 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)‎ A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ ‎(2)已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．‎ ‎(1)A　(2)－2　[(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A．‎ ‎(2)因为D为边BC的中点，所以＋＝2，‎ 又＋＋＝0，‎ 所以＝＋＝2，‎ 所以＝－2，‎ 与＝λ比较，得λ＝－2.]‎ ‎[规律方法]　(1)平面向量的线性运算方法 ‎①不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.‎ ‎②含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.‎ (2)利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 ‎①没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.‎ ‎②利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.‎ ‎③比较、观察可知所求.‎ (3)选取基向量，向量之间的相互表示，重视平行四边形法则.‎ (4)|a＋b|与|a－b|的几何意义：以向量a，b为边所作平行四边形的两条对角线的长度.‎ ‎[跟踪训练]　(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则＋＋＋等于(　　)‎ A． B．2 C．3 D．4 ‎(2)(2017·河南三市联考)在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y，则＝________. ‎ ‎【导学号：97190146】‎ ‎(1)D　(2)3[因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.‎ ‎(2)由题设可得＋＝3(－)，‎ 即4＝3＋，‎ 亦即＝＋，‎ 则x＝，y＝.‎ 故＝3.]‎ 共线向量定理的应用 ‎　设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b和a＋kb共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是两个不共线的非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，‎ ‎∴k－1＝0，∴k＝±1.‎ ‎[规律方法]　共线向量定理的三个应用 (1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线.‎ (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线.‎ (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.‎ 易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.‎ ‎[跟踪训练]　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)‎ A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 ‎(2)(2017·广东七校联考)已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是(　　)‎ A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1‎ C．mn＝1 D．mn＝－1‎ ‎(1)B　(2)C　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，‎ ‎∴，共线，又有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．故选B．‎ ‎(2)因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，‎ 所以 则mn＝1，故选C．]‎