【数学】2018届一轮复习北师大版　离散型随机变量的分布列、均值与方差学案 20页

第 6 讲　离散型随机变量的分布列、均值与方差 [学生用书 P203]) 1．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个 值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时为了表达简单，也用 等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 表示 X 的分布列． (2)性质 ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ② ∑ n i＝1pi＝1． 2．离散型随机变量 X 的均值与方差 均值(数学期望) 方差 计算公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋ xnpn D(X)＝ ∑ n i＝1_(xi－E(X))2pi 作用 反映了离散型随机变量取值的平均 水平 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度 标准差 方差的算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差 3.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b 为常数)． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为常数)． 1．辨明三个易误点 (1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋pn＝1 及 pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用 于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确． (3)均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X) 是不变的，它描述 X 值的取值平均状态． 2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y＝aX＋b 的均值、方差和标准差， 可直接用 X 的均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们 的均值、方差公式求解． 1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红 球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是(　　) A．X＝4　　　　　　　　　　 B．X＝5 C．X＝6 D．X≤5 　C　[解析] 事件“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球，故 X＝ 6. 2.教材习题改编 设随机变量 X 的分布列如下表所示，则 p4 的值是(　　) X 1 2 3 4 P 1 2 1 4 1 8 p4 A.1　　 B． 1 2 C. 1 4 D． 1 8 　D　[解析] 由分布列的性质，得 1 2＋ 1 4＋ 1 8＋p4＝1，所以 p4＝ 1 8. 3．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ 1 5(k＝2，4，6，8，10)，则 D(X)等于(　　) A．5　　 B．8 C．10 D．16 　B　[解析] 因为 E(X)＝ 1 5(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以 D(X)＝ 1 5[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 4．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ k 15，k＝1，2，3，4，5，则 P (1 2 < X < 5 2)＝ ________． [解析] P(1 2 < X < 5 2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝ 1 15＋ 2 15＝ 1 5. [答案] 1 5 5．一个人将编号为 1，2，3，4 的四个小球随机放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子， 每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对 个数记为 ξ，则 ξ 的期望的值为________． [解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有 A44种不同放法， 放对的个数 ξ 可取的值有 0，1，2，4，其中 P(ξ＝0)＝ 9 A＝ 3 8， P(ξ＝1)＝ C × 2 A ＝ 1 3，P(ξ＝2)＝ C A＝ 1 4，P(ξ＝4)＝ 1 A＝ 1 24，E(ξ)＝0× 3 8＋1× 1 3＋2× 1 4＋4× 1 24＝1. [答案] 1 　离散型随机变量的分布列的性质[学生用书 P204] [典例引领] 　设离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求 2X＋1 的分布列． 【解】　由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得 m＝0.3. 首先列表为： X 0 1 2 3 4 2X＋1 1 3 5 7 9 从而 2X＋1 的分布列为 2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 在本例的条件下，求 P(110 000)＝0.5＋0.2＝0.7， 由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p＝1－(1－p 1)3＝1－ 0.33＝0.973. 　(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需 根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求 Z 的值．考查了对数学的应 用意识、数据处理能力及数形结合思想． (2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题 目设计新颖，是近几年高考考查的热点． 　小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则 为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为 终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X＝0 就参加学校合唱团，否则就参加学 校排球队． (1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求 X 的分布列． [解] (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C28＝28(种)，当 X＝0 时，两向 量夹角为直角，共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X＝0)＝ 8 28＝ 2 7. (2)两向量数量积 X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2 时，有 2 种情形；X＝1 时，有 8 种情形；X＝－1 时，有 10 种情形．所以 X 的分布列为 X －2 －1 0 1 P 1 14 5 14 2 7 2 7 [学生用书 P311(独立成册)] 1．若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P a 2 a2 2 则 X 的数学期望 E(X)＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．2 或 1 2 C. 1 2 D．1 　C　[解析] 因为分布列中概率和为 1，所以 a 2＋ a2 2 ＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝－2(舍 去)或 a＝1，所以 E(X)＝ 1 2. 2．设随机变量 X 的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a 1 3 1 6 若 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　) A. 1 3　　 B． 1 6 C. 1 2 D． 5 6 　D　[解析] 由分布列的性质，得 a＋ 1 3＋ 1 6＝1，所以 a＝1 2.而 x∈[1，2)，所以 F(x)＝P(X ≤x)＝ 1 2＋ 1 3＝ 5 6. 3．随机变量 ξ 的取值为 0，1，2，若 P(ξ＝0)＝ 1 5，E(ξ)＝1, 则 D(ξ)＝________. [解析] 设 ξ＝1 时的概率为 p，则 E(ξ)＝0× 1 5＋1×p＋2×(1－p－1 5)＝1，解得 p＝ 3 5，故 D(ξ)＝(0－1)2× 1 5＋(1－1)2× 3 5＋(2－1)2× 1 5＝ 2 5. [答案]　 2 5 4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再 取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数 X 的分布列为________． [解析] X 的所有可能值为 0，1，2. P(X＝0)＝ CC CC＝ 1 4， P(X＝1)＝ CC × 2 CC ＝ 1 2， P(X＝2)＝ CC CC＝ 1 4. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 [答案] X 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 5.若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则 称 n 为“三位递增数”(如 137，359，567 等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所 有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位 递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除， 得－1 分；若能被 10 整除，得 1 分． (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X)．　 [解] (1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125，135，145，235，245，345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C39＝84， 随机变量 X 的取值为：0，－1，1，因此 P(X＝0)＝ C C＝ 2 3， P(X＝－1)＝ C C＝ 1 14， P(X＝1)＝1－ 1 14－ 2 3＝ 11 42. 所以 X 的分布列为 X 0 －1 1 P 2 3 1 14 11 42 则 E(X)＝0× 2 3＋(－1)× 1 14＋1× 11 42＝ 4 21. 6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有 7 个除颜色外完全相同的球，其中红球 4 个，编 号分别为 1，2，3，4；蓝球 3 个，编号分别为 2，4，6，现从袋中任取 3 个球(假设取到任 一球的可能性相同)． (1)求取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率； (2)记 ξ 为取到的球中红球的个数，求 ξ 的分布列和数学期望． [解] (1)设 A＝“取出的 3 个球中含有编号为 2 的球”， 则 P(A)＝ CC＋CC C ＝ 20＋5 35 ＝ 25 35＝ 5 7. (2)由题意得，ξ可能取的值为 0，1，2，3，则 P(ξ＝0)＝ C C＝ 1 35， P(ξ＝1)＝ C·C C ＝ 12 35， P(ξ＝2)＝ C·C C ＝ 18 35， P(ξ＝3)＝ C C＝ 4 35. 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 所以 E(ξ)＝0× 1 35＋1× 12 35＋2× 18 35＋3× 4 35＝ 12 7 . 7．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2， 3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若 Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求 a，b 的值． [解] (1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 所以 E(X)＝0×1 2＋1× 1 20＋2× 1 10＋3× 3 20＋4× 1 5＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2× 1 2＋(1－1.5)2× 1 20＋(2－1.5)2× 1 10＋(3－1.5)2× 3 20＋(4－1.5)2× 1 5＝2.75. (2)由 D(Y)＝a2D(X)得 2.75a2＝11，得 a＝±2， 又 E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4， 所以{a＝2， b＝－2或{a＝－2， b＝4. 8．某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出 售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位： 枝，n∈N)的函数解析式； (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求 量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学 期望及方差； ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理 由． [解] (1)当日需求量 n≥16 时，利润 y＝80. 当日需求量 n<16 时，利润 y＝10n－80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y＝{10n－80，n < 16 80，n ≥ 16 ，(n∈N)． (2)①X 可能的取值为 60，70，80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝ 0.7. X 的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差 D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花．理由如下： 若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 Y 的数学期望 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4. Y 的方差为 D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2 ×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)