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- 2021-06-16 发布
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文科数学试题
一.选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1、下列集合中,是集合的真子集的是 ( D )
A. B. C. D.
2、已知条件p:,条件q:表示焦点在x轴上的椭圆,则p是q的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
3、命题“”的否定为 ( B )
A、 B、
C、 D、
4、已知椭圆方程为中,F1, F2分别为它的两个焦点,则下列说法正确的有
①焦点在x轴上,其坐标为(±4, 0);② 若椭圆上有一点P到F1的距离为6,则P到F2的距离为4;
③长轴长为5,短轴长为3; ④ a = 5, b=3, c = 4, ( C )
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、已知椭圆的中心在原点,离心率,且它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则此椭圆方程为 ( A )
A. B. C. D.
6、设双曲线的渐近线方程为,则的值为( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
7、设抛物线上一点P到y轴的距离是4,则点P到抛物线焦点距离是( D )
A.4 B.12 C.8 D. 6
8、已知变量x、y满足,则的最大值为 ( C )
A. B. C. D.
9、,若,则的值等于 ( D )
A B C D
10、已知函数的最小正周期为,则该函数的图象( A )
A.关于点对称 B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称
11、已知双曲线的左右焦点分别是,过的直线与双曲线相交于、两点,则满足的直线有 ( C )
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
12、已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( D )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13、在点处的切线的倾斜角为____________________.
14、若,则= 。
15、与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程是___________.
16、已知 F是双曲线C:的右焦点,过点F向C的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B,F在线段AB上,为坐标原点,若,则双曲线C的离心率是_________________.
三、解答题(共6小题,总计70分)
17、(本题满分10分)已知命题,命题。
(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;
(2)若m=5,“ ”为真命题,“ ”为假命题,求实数x的取值范围。
【答案】(1);--------------------------------5分
(2).---------------------------------10分
18、(本小题满分12分)已知抛物线的焦点F与双曲线的一个顶点的重合,过点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点,
(1)求抛物线方程; (2)求的面积.
解:(1)-----------------------------------6分
(2)设, AB的方程为:
得:
得
-------------12分
19、(本题满分12分)已知等差数列中,公差,且满足:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前n项和为,令(),求的最大值.
.解:(1)由题设知:
…………………………2分
,。
…………………………5分
(2)
…………………8分
(当n=2时取=)……12分
20、(本小题满分12分)已知函数
(1)求的值;
(2)在中,角的对边分别为,若,的面积是,求的周长.
解(Ⅰ)∵
∴
解得: -----------------------------------6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,
∴
∵ , ,∴ ,则
又∵ ∴
∵
∴ ,∴
∴的周长为----------------------------12分
21、(本小题满分12分)如图,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,分别是的中点。(1)证明:平面平面;
(2)若直线与平面所成的角为,求:到面的距离。
解答:(1)略--------------5分
(2)---------------------12分
22、(本小题满分12分)如图,椭圆()与一等轴双曲线相交,M是其中一个交点,并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线的斜率分别为,且直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D。
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;
(Ⅱ)(ⅰ)证明:;
(ⅱ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。