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- 2021-06-16 发布
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海南中学2019—2020学年第一学期期中考试
高一数学试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填涂在答题卡相应位置.)
1.下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断出各选项中元素与集合关系的正误.
【详解】由题意可知,,,,,因此,C选项正确.
故选:C.
【点睛】本题考查元素与集合关系正误的判断,考查推理能力,属于基础题.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意,分子根号下的式子大于或等于零,分母不为零,据此列出的不等式组,求解即可.
【详解】解:要使原式有意义只需:
,解得且,
故函数定义域为.
故选:B.
【点睛】求函数定义域分两类,一是实际问题中函数的定义域,有变量的实际意义确定;二是一般函数的定义域,由使式子有意的的范围确定,一般是列出不等式组求解.注意结果要写成集合或区间的形式.
3.函数与的图象( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 关于原点对称 D. 关于直线轴对称
【答案】A
【解析】
【分析】
设,得,根据函数与函数之间的对称性可得出正确选项.
【详解】设,得,由于函数与函数的图象关于轴对称,因此,函数与的图象关于轴对称.
故选:A.
【点睛】本题考查函数图象之间对称性的判断,熟悉两函数关于坐标轴、原点对称的两个函数解析式之间的关系是关键,考查推理能力,属于基础题.
4.已知命题:、,,则该命题的否定是( )
A. 、,
B. 、,
C. 、,
D. 、,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定可得出正确选项.
【详解】由全称命题的否定可知,命题:、,的否定为:、,.
故选:D.
【点睛】本题考查全称命题的否定,解题时要熟悉量词与结论的变化,考查推理能力,属于基础题.
5.下列各对函数中,图象完全相同的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断两个函数的定义域是否是同一个集合,再判断两个函数的解析式是否可以化为一致.
【详解】解:对于A、∵的定义域为,的定义域为.两个函数的对应法则不相同,∴不是同一个函数.
对于B、∵的定义域,的定义域均为.∴两个函数不是同一个函数.
对于C、∵的定义域为且,的定义域为且.对应法则相同,∴两个函数是同一个函数.
对于D、的定义域是,的定义域是,定义域不相同,∴不是同一个函数.
故选:C.
【点睛】本题考查两个函数解析式是否表示同一个函数,需要两个条件:①两个函数的定义域是同一个集合;②两个函数的解析式可以化为一致.这两个条件缺一不可,必须同时满足.
6.设函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分段函数的解析式即可计算出的值.
【详解】,,,
因此,.
故选:A.
【点睛】本题考查分段函数值的计算,计算时要结合自变量的取值选择合适的解析式进行计算,考查计算能力,属于基础题.
7.下列命题中,不正确的是( )
A. 若,,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误.
【详解】对于A选项,,,又,由不等式的性质得,A选项中的不等式正确;
对于B选项,若,则,,B选项中的不等式正确;
对于C选项,取,则,C选项中的不等式不成立;
对于D选项,,,则,则,
,D选项中的不等式正确.
故选:C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断,常见的方法有:不等式的基本性质、特殊值法、比较法,在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法,考查推理能力,属于中等题.
8.下列函数中,在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析各函数在区间上的单调性,可得出合乎题意的选项.
【详解】对于A选项,函数是偶函数,该函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
对于B选项,当时,,则该函数在区间上单调递减;
对于C选项,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,
所以,该函数在区间上单调递减,在区间上单调递增;
对于D选项,当时,,
所以,该函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.
故选:B.
【点睛】本题考查利用解析式直接判断函数的单调性,熟悉基本初等函数的单调性是判断的关键,考查推理能力,属于基础题.
9.若,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将、、均化为的指数幂,然后利用指数函数的单调性得出三个实数的大小关系.
【详解】,,,
由于指数函数是上的增函数,且,因此,.
故选:A.
【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较大小,解题的关键就是将三个实数化为同一底数的指数幂,考查推理能力,属于中等题.
10.已知,若定义在上的函数满足对、,都有,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知,函数是上的减函数,则函数的两支函数均为减函数,且有,由此可得出关于实数的不等式组,解出即可.
【详解】定义在上的函数满足对、,都有,
所以,函数是上的减函数,
则函数和均为减函数,且有,
即,解得,因此,实数的取值范围是.
故选:D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围,求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外,还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
11.若直角三角形的周长为定值,则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设直角三角形的两条直角边分别为、,由题意得出,利用基本不等式求出的最大值,即可得出面积的最大值.
【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为、,由题意得,
由基本不等式得,
,即,
当且仅当时等号成立,则,
因此,面积的最大值为.
故选:D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形面积的最值,解题时要结合已知条件构造出定值条件,考查运算求解能力,属于中等题.
12.正实数、满足,若不等式对任意正实数、以及任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由参变量分离法得出,将代数式和相乘,利用基本不等式求出的最小值,并利用配方法求出
的最小值,由此可求出实数的取值范围.
【详解】由参变量分离法可得,
由基本不等式得,
当且仅当时等号成立,
又,所以,,则.
因此,实数的取值范围是.
故选:C.
【点睛】本题考查利用基本不等式、二次函数的最值求解不等式恒成立问题,解题时可充分利用参变量分离法转化为最值来求解,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若幂函数的图象过点,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
设,将点代入函数的解析式,求出实数的值,即可求出的值.
【详解】设,则,得,,因此,.
故答案为:.
【点睛】本题考查幂函数值的计算,解题的关键就是求出幂函数的解析式,考查运算求解能力,属于基础题.
14.计算:______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用根式的性质、指数幂的运算律可计算出所求代数式的结果.
【详解】原式.
故答案为:.
【点睛】本题考查指数幂的计算,考查计算能力,属于基础题.
15.某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆,计划是:第一天记忆个单词;第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量,则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为______;并写出该函数的一个性质(比如:单调性,奇偶性、最值等):______.
【答案】 (1). ,且 (2). 最大值为
【解析】
【分析】
根据题意,分析可得,变形后可得出答案,分析函数的值域,即可得出函数的最大值.
【详解】根据题意,该同学计划第一天记忆个单词,第一天后的每一天,在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量,
则,且.
所以,该函数的值域为,该函数的最大值为.
故答案为:,且;最大值为.
【点睛】本题考查函数解析式的求法,在求解时注意求出函数的定义域,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
16.已知为定义在上的偶函数,,且当时,单调递增,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,分析可得f(x+1)﹣f(x+2)>2x+3⇒f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2⇒g(x+1)>g(x+2),由函数奇偶性的定义分析可得g(x)为偶函数,结合函数的单调性分析可得g(x+1)>g(x+2)⇒|x+1|>|x+2|,解可得x的取值范围,即可得答案.
【详解】根据题意,g(x)=f(x)+x2,
则f(x+1)﹣f(x+2)>2x+3⇒f(x+1)+(x+1)2>f(x+2)+(x+2)2⇒g(x+1)>g(x+2),
若f(x)为偶函数,则g(﹣x)=f(﹣x)+(﹣x)2=f(x)+x2=g(x),即可得函数g(x)为偶函数,
又由当x∈(﹣∞,0]时,g(x)单调递增,则g(x)在[0,+∞)上递减,
则g(x+1)>g(x+2)⇒|x+1|<|x+2|⇒(x+1)2<(x+2)2,解可得x,
即不等式的解集为(,+∞);
故答案为:(,+∞).
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,注意分析g(x)的奇偶性与单调性,属于中档题.
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解签应写出文字说明,证明过程或演算步驟.)
17.设全集,集合,.
(1)求;
(2),求.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)求出集合,然后利用补集和并集的定义可求出集合;
(2)求出集合,然后利用交集的定义可求出集合.
【详解】(1),,
又,因此,;
(2),,因此,.
【点睛】本题考查交集、补集与并集的混合运算,考查计算能力,属于基础题.
18.已知函数是定义在上的偶函数,且时,.
(1)求时的解析式;
(2)在如图坐标系中作出函数的大致图象;写出函数的单调区间并指出函数在这些区间上的单调性(不需要证明).
【答案】(1)(x<0);(2)图象见解析,减区间和,增区间为和.
【解析】
【分析】
(1)设,得,求出的表达式,再利用偶函数的定义可求出函数在上的解析式;
(2)作出函数的图象,结合图象写出函数的单调递减区间和递增区间.
【详解】(1)设,则,则.
由于函数为偶函数,此时;
(2),函数的图象如下图所示:
由上图可知,函数的单调递减区间为和,单调递增区间为和.
【点睛】本题考查偶函数解析式的求解,函数图象的作法以及利用图象得出函数的单调区间,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.
19.已知集合,.
(1)若集合,求此时实数的值;
(2)已知命题,命题,若是的充分条件,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意知,方程的两根分别为和
,然后利用韦达定理可求出实数的值;
(2)求出集合,分、、三种情况讨论,结合题中条件得出,可列出关于实数的不等式组,解出即可.
【详解】(1),
所以,方程的两根分别为和,
由韦达定理得,解得;
(2),由于是的充分条件,则.
当时,,此时不成立;
当时,,
,则有,解得;
当时,,
,则有,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
【点睛】本题考查一元二次不等式解集与方程之间的关系,同时也考查了利用充分条件关系求参数的取值范围,一般转化为集合的包含关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.
20.定义在非零实数集上的函数满足,且是区间上的递增函数.
(1)求,的值;
(2)证明:函数是偶函数;
(3)解不等式
【答案】解:(1) f(1)=0, f(-1)=0 (2)见解析(3) 或
【解析】
【详解】试题解析:解:(1)令,则
令,则
(2)令,则
,
∴为定义域上的偶函数.
(3)据题意可知,函数图象大致如下:
,
或,
或
考点:1函数奇偶性;2函数的单调性.
21.如图所示,是一个矩形花坛,其中米,米.现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求:在上,在上,对角线过点,且矩形的面积小于150平方米.
(1)设长为米,矩形的面积为平方米,试用解析式将表示成的函数,并确定函数的定义域;
(2)当长度是多少时,矩形的面积最小?并求最小面积.
【答案】(1),;(2),.
【解析】
试题分析:(1)根据三角形的相似性,列出函数关系式,通分化成标准形式,求分式不等式的解集;(2)通过换元,令,则得到关于的函数,根据均值不等式,有的最小值.
试题解析:(1)由可得,
,∴.
由,且,解得,∴函数的定义域为.
(2)令,则,,
当且仅当时,取最小值,故当的长度为米时,矩形花坛的面积最小,最小面积为96平方米.
考点:1.分式不等式;2.均值不等式.
22.已知函数是定义在上的奇函数,且.
(1)判断函数在上的单调性,并用定义证明;
(2)设,若对于任意的,总存在,使得成立,求正实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)由奇函数的定义得出可得出,再由可求出实数的值,从而得出函数的解析式,然后任取、且,作差,通分、因式分解后判断出的符号,即可证明出函数在区间上的单调性;
(2)根据题意得出,分析两个函数的单调性,求出两个函数的最大值和,解出该不等式即可.
【详解】(1)函数是定义在上的奇函数,则,
即,即,得,则,
又,解得,.
任取、且,即,
则.
,,,则,,
因此,函数在区间上为增函数;
(2)由题意可知.
由(1)知,函数在区间上单调递增,.
,函数在区间上为增函数,.
,解得,所以,.
因此,正实数的取值范围为.
【点睛】本题考查利用奇偶性求参数、利用定义证明函数的单调性,同时也考查了任意性、存在性问题的处理,一般转化为与函数的最值相关的问题,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.