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- 2021-06-16 发布
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第53课 平面向量的有关概念及其线性运算
1. 了解向量的实际背景;理解平面向量的基本概念和几何表示;理解向量相等的含义.
2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算;理解其几何意义;理解向量共线定理.
3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义.
1. 阅读:必修4第59~73 页.
2. 解悟:①向量的相关概念;②向量的线性运算;③第71 页例4中两个不共线的向量,可以表示平面内任意一向量吗?④第71页例4你能得到什么结论吗?
3. 践习:在教材空白处,完成第72~73页习题第11、13、14、15、16题.
基础诊断
1. 给出下列命题:①若∥,则与共线;②若=,则∥;③若=,则=;④若∥,则A,B,C三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号)
解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若∥,则与共线正确;②根据相等向量的定义可知,若=,则与的方向相同,故∥正确;③若=,则-=-,即=,故③正确;④若均不为零向量,若∥,则A,B,C三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④.
2. 化简:-+-= .
解析:原式=+++=+=.
3. 若O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是 直角三角形 .
解析:因为|-|=|+-2|,所以||=|+|.以线段AB和AC为邻边画出平行四边形ABDC,则+=.因为||=|-|=|+|,所以平行四边形的两条对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC=90°,所以△ABC是直角三角形.
4. 如图所示,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC
于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为 2 .
解析:因为O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以m+n=2.
范例导航
考向❶ 平面向量的加减法
例1 如图所示,=a,=b,=c,=d,=e,=f.试用a,b,c,d,e,f表示:
(1) -;
(2) ++;
(3) --.
解析:(1) 因为=b,=d,
所以-==-=d-b.
(2) 因为=a,=b,=c,=e,=f,
所以++=(-)+(-)+(-)=(b-a)+(f-c)+(e-b)=e+f-a-c.
(3) 因为=e,=f,
所以--=-(+)=-==-=f-e.
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++= .
解析:--++=(-)-+(+)=-+=.
考向❷ 平面向量的线性运算
例2 如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,其中=,=,试用a,b表示,,.
解析:因为=-=a-b,==a-b,
所以=+=a+b.
又因为=a+b,
所以=+=+=+==a+b,
所以=-=a+b-a-b=a-b.
综上可知,=a+b,=a+b,
=a-b.
如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为 W.
解析:因为=,所以=4,所以=m+.因为B,P,N三点共线,所以m+=1,即m=.
考向❸ 三点共线向量式
例3 在△OAB中,已知P为线段AB上的点,=x+y.
(1) 若=3,求x+y的值;
(2) x+y是否为定值?请证明你的结论.
解析:(1) 因为=3,
所以+=3+3,即4=+3,
所以=+,
所以x=,y=,所以x+y=1.
(2) x+y为定值1,证明如下:
因为P为线段AB上的一点,所以与共线,
即存在实数λ使得=λ(λ≥0),
所以+=λ+λ,
即=+.
又,不共线,所以x=,y=,
从而x+y=1.
已知M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+,N为AB的中点,AM与CN交于点O,设=x+y,则x= ,y= .
解析:由=+可知M,B,C三点共线,令=λ.
因为=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,
所以λ=,所以=.
因为=x+y,
所以
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线,得解得
自测反馈
1. 在正六边形ABCDEF中,++= .
解析:根据正六边形的性质得++=++=+=.
2. 若a与b反向,且|a|=|b|=1,则|a-b|= 2 .
解析:由题意可得,a=-b,所以|a-b|=|-2b|=2|b|=2.
3. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若-4+3=0,则= 3 .
解析:因为-4+3=0,所以--3(-)=0,所以=3,即=3,所以=3.
4. 已知在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则xy= - .
解析:由题意得,=,=.因为=+=+=+(-)=-,所以x=,y=-,所以xy=-.
1. 向量是自由向量,可以任意平移,方向和大小是决定向量的两个要素.
2. 注意向量运算中的三角形法则,加法需首尾相连,减法需共起点.
3. 你还有哪些体悟,写下来: