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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版第53课平面向量的有关概念及其线性运算学案(江苏专用)

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第53课 平面向量的有关概念及其线性运算 ‎1. 了解向量的实际背景;理解平面向量的基本概念和几何表示;理解向量相等的含义.‎ ‎2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算;理解其几何意义;理解向量共线定理.‎ ‎3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义.‎ ‎1. 阅读:必修4第59~73 页.‎ ‎2. 解悟:①向量的相关概念;②向量的线性运算;③第71 页例4中两个不共线的向量,可以表示平面内任意一向量吗?④第71页例4你能得到什么结论吗?‎ ‎3. 践习:在教材空白处,完成第72~73页习题第11、13、14、15、16题.‎ ‎ 基础诊断 ‎ ‎1. 给出下列命题:①若∥,则与共线;②若=,则∥;③若=,则=;④若∥,则A,B,C三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号)‎ 解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若∥,则与共线正确;②根据相等向量的定义可知,若=,则与的方向相同,故∥正确;③若=,则-=-,即=,故③正确;④若均不为零向量,若∥,则A,B,C三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④.‎ ‎2. 化简:-+-=   .‎ 解析:原式=+++=+=.‎ ‎3. 若O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是 直角三角形 .‎ 解析:因为|-|=|+-2|,所以||=|+|.以线段AB和AC为邻边画出平行四边形ABDC,则+=.因为||=|-|=|+|,所以平行四边形的两条对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC=90°,所以△ABC是直角三角形.‎ ‎4. 如图所示,在△ABC中,O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为 2 .‎ 解析:因为O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,所以m+n=2.‎ ‎ 范例导航 ‎ 考向❶ 平面向量的加减法 例1 如图所示,=a,=b,=c,=d,=e,=f.试用a,b,c,d,e,f表示:‎ ‎(1) -;‎ ‎(2) ++;‎ ‎(3) --.‎ 解析:(1) 因为=b,=d,‎ 所以-==-=d-b.‎ ‎(2) 因为=a,=b,=c,=e,=f,‎ 所以++=(-)+(-)+(-)=(b-a)+(f-c)+(e-b)=e+f-a-c.‎ ‎(3) 因为=e,=f,‎ 所以--=-(+)=-==-=f-e.‎ 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于点O,则--++=  .‎ 解析:--++=(-)-+(+)=-+=.‎ 考向❷ 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量=a,=b为邻边作平行四边形OADB,其中=,=,试用a,b表示,,. ‎ 解析:因为=-=a-b,==a-b,‎ 所以=+=a+b.‎ 又因为=a+b,‎ 所以=+=+=+==a+b,‎ 所以=-=a+b-a-b=a-b. ‎ 综上可知,=a+b,=a+b,‎ =a-b.‎ 如图所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为  W. ‎ 解析:因为=,所以=4,所以=m+.因为B,P,N三点共线,所以m+=1,即m=.‎ 考向❸ 三点共线向量式 例3 在△OAB中,已知P为线段AB上的点,=x+y.‎ ‎(1) 若=3,求x+y的值;‎ ‎(2) x+y是否为定值?请证明你的结论.‎ 解析:(1) 因为=3,‎ 所以+=3+3,即4=+3,‎ 所以=+,‎ 所以x=,y=,所以x+y=1.‎ ‎(2) x+y为定值1,证明如下:‎ 因为P为线段AB上的一点,所以与共线,‎ 即存在实数λ使得=λ(λ≥0),‎ 所以+=λ+λ,‎ 即=+.‎ 又,不共线,所以x=,y=,‎ 从而x+y=1.‎ 已知M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+,N为AB的中点,AM与CN交于点O,设=x+y,则x=  ,y=  .‎ 解析:由=+可知M,B,C三点共线,令=λ.‎ 因为=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,‎ 所以λ=,所以=.‎ 因为=x+y,‎ 所以 由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线,得解得 ‎ 自测反馈 ‎ ‎1. 在正六边形ABCDEF中,++=  .‎ 解析:根据正六边形的性质得++=++=+=.‎ ‎2. 若a与b反向,且|a|=|b|=1,则|a-b|= 2 .‎ 解析:由题意可得,a=-b,所以|a-b|=|-2b|=2|b|=2.‎ ‎3. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若-4+3=0,则= 3 .‎ 解析:因为-4+3=0,所以--3(-)=0,所以=3,即=3,所以=3.‎ ‎4. 已知在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则xy= - .‎ 解析:由题意得,=,=.因为=+=+=+(-)=-,所以x=,y=-,所以xy=-.‎ ‎1. 向量是自由向量,可以任意平移,方向和大小是决定向量的两个要素.‎ ‎2. 注意向量运算中的三角形法则,加法需首尾相连,减法需共起点.‎ ‎3. 你还有哪些体悟,写下来:‎ ‎                                    ‎ ‎                                    ‎

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