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- 2021-06-16 发布
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密云区2019-2020学年度第一学期期末
高一数学试卷
2020.1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,,则集合中元素的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据交集的定义计算即可;
【详解】解:,
故选:B
【点睛】本题考查集合的运算,集合中元素个数的求法,属于基础题.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果.
【详解】最小正周期
故选:
【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解,属于基础题.
3.下列函数中,既是偶函数又在单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案.
【详解】解:根据题意,依次分析选项:
对于,,为指数函数,其定义域为,不是偶函数,不符合题意;
对于,,为幂函数,是奇函数,不符合题意;
对于,,为偶函数,在不是增函数,不符合题意;
对于,,为偶函数,且当时,,为增函数,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题.
4.命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据全称命题的否定为特称命题解答即可;
【详解】解:因为全称命题的否定为特称命题,则命题的否定为,
故选:C.
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题.
5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
1
2
3
4
6.1
2.9
3.5
1
那么函数一定存在零点的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断,关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号,如果端点函数值异号,则函数在该区间有零点.
【详解】解:因为函数是定义在上的连续函数,且,,
根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点.
故选:A.
【点睛】本题考查函数零点的判断方法,关键要弄准函数零点的存在定理,把握好函数在哪个区间的端点函数值异号,属于基础题.
6.函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,可以把函数的图象( )
A. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)
B. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C. 每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位
D. 每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再利用的图象变换规律,得出结论.
【详解】解:根据函数的图象,设,
可得,,.
再根据五点法作图可得,,,
故可以把函数的图象先向左平移个单位,得到的图象,
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即可得到函数的图象,
故选:A.
【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值.的图象变换规律,属于基础题.
7.定义域均为的两个函数,,“为偶函数”是“,均为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数,定义在上,令,则的定义域也为,关于原点对称,只要看与的关系即可得出为偶函数,反之,通过举反例可得出非充分条件.
【详解】解:令,
由,均为偶函数,则,,故是偶函数,即必要性成立;
反之,设,,是偶函数,而,均不是偶函数,故充分性不成立;
则“为偶函数”是“,均为偶函数”的必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性,充要条件的判定,其中根据“谁推出谁”的原则,求解充要条件,是解答本题的关键,属于基础题.
8.已知函数关于x的方程,有四个不同的实数解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意作函数与的图象,从而可得,,,从而得解
【详解】解:因为,可作函数图象如下所示:
依题意关于x的方程,有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点,由图可知令,
则,,即,所以,则,
所以,
因,在上单调递增,所以,即
故选:B
【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用.属于中档题
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.________________.
【答案】
【解析】
分析】
根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得;
【详解】解:
故答案为:6
【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算,属于基础题.
10.函数的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】解:,
函数
当且仅当,即时,上式取等号.
故答案为: .
【点睛】本题主要考查基本不等式,利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”,属于基础题.
11.函数的定义域是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 解不等式可得函数的定义域.
【详解】解:由,,可解得,,
函数的定义域为,
故答案为:
【点睛】本题考查正切函数的定义域,属于基础题.
12.给出下列三个论断:①;②;③且.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题:__________.
【答案】①③推出②,②③推出①
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可得.
【详解】解:由①;②;③且.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题:
(1)若,且,则;或(2)若,且,则;
对于(1)若且,则,由不等式的性质可得即;
对于(2)若且,则,由不等式的性质可得即;
故答案为:①③推出②,②③推出①
【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
13.若函数为奇函数,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数为在定义域上为奇函数,则必有,然后利用待定系数法求解.
【详解】解:函数为奇函数
当时,,定义域为,且为奇函数,满足条件;
当时,,定义域为,且为奇函数,满足条件;
故答案为:.
【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用,要注意判断和应用的区别,判断时一定要从两个方面,一是定义域是否关于原点对称,二是模型是否满足.应用时,已经知道奇偶性了,则对于定义域中任一变量都满足模型,做大题时用待定系数法求参数,做客观题时可用特殊值求解,属于基础题.
14.里氏震级M的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅A0为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍.
【答案】6,10000
【解析】
【详解】试题分析:根据题意中的假设,可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6;设9级地震的最大的振幅是x,5级地震最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍.
解:根据题意,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,
则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣(﹣3)=6.
设9级地震的最大的振幅是x,5级地震最大振幅是y,
9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102,
∴.
故答案耿:6,10000.
点评:本题考查对数的运算法则,解题时要注意公式的灵活运用.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.已知集合,.
(1)当时,求,;
(2)当时,求,;
(3)当时,求的范围.
【答案】(1),; (2),; (3)
【解析】
【分析】
(1)首先求出集合,再根据交集、并集的定义计算即可;
(2)首先求出集合,再根据交集、并集的定义计算即可;
(3)由,即与无公共部分,从而求出参数的取值范围;
【详解】解:(1)当时,,
所以, .
(2)当时,,
所以, .
(3)因为, 所以的范围是.
【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题.
16.已知角的顶点与原点O重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边与单位圆交点为.
(1)求 和的值;
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由任意角的三角函数的定义,可得,,,再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得;
(2)利用同角三角函数的基本关系将弦化切,再代入计算即可;
【详解】解:(1)根据题意,,,
所以,
.
(2) 因为,
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式,属于基础题.
17.已知函数是定义在上的偶函数,当时,.现已画出函数在轴右侧的图象,如图所示.
(1)画出函数在轴左侧的图象,根据图象写出函数在上的单调区间;
(2)求函数在上的解析式;
(3)解不等式.
【答案】(1)图见解析;函数的单调增区间是,单调减区间是 (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)根据偶函数的对称性作出函数图象,由函数图象读出函数的单调区间;
(2)当时,,再根据当时,,可得.再根据函数为偶函数,可得,由此能求出函数的解析式.
(3)因为,当时,,当时,;由函数图象读出解集即可;
【详解】解:(1)如图作函数图象.
函数的单调增区间是:,单调减区间是:.
(2)因为时,,
若,则,,
又因为是定义在上的偶函数,
所以,当时,.
综上:.
(3)因
当时,,即;当时,,即;
所以解集为:.
【点睛】本题考查函数的图象的作法,函数的奇偶性的性质的应用,函数解析式的求法,考查运算求解能力,数形结合思想,属于基础题.
18.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调区间;
(2)求函数的零点.
【答案】(1);单调递增区间为,;单调递减区间为 ,; (2)或,.
【解析】
【分析】
(1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为,
再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期,最后根据正弦函数的单调性求出的单调区间;
(2)令,即,即或, ,解得即可;
【详解】(1)
,
即,
所以的最小正周期.
因为的单调增区间为,,
令,
解得,.
因为的单调减区间为,,
令,
解得,.
所以的单调递增区间为,.
单调递减区间为 ,.
(2)函数的零点,
令,即.
或,
解得或,
所以的零点为或,
【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题.
19.已知函数.
(1)当时,求的最大值;
(2)若函数为偶函数,求的值;
(3)设函数,若对任意,存在,使得,求的取值范围.
【答案】(1)1 (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)代入的值,求出函数的最大值即可;
(2)根据偶函数图象关于轴对称,二次函数的一次项系数为0,可得的值;
(3)求解的值域和的值域,可得,即可求解实数的取值范围.
【详解】(1)当时,
故当时,的最大值是1
(2)因为函数为偶函数,
,所以,
可得,
即实数的值为.
(3)
,
,
所以的值域为.
当时,存在,使得,设的值域,
转化为:函数的值域是的值域的子集;
即:当时,
函数,对称轴,
当时,即,可得;;
可得:;
当时,即,可得,或,
显然,不满足,此时无解;
当时,即,可得,;不满足,此时无解;
综上可得实数的取值范围为
【点睛】本题主要考查偶函数的性质的应用,二次函数的最值问题,存在性问题,属于中档题..
20.对于正整数集合,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“可分集合”.
(1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”.
①证明:为奇数;
②求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)集合不是“可分集合”,集合是“可分集合”;(2)见解析;(3)①见解析;②最小值是7
【解析】
【分析】
(1)根据定义直接判断即可得到结论;
(2)不妨设,若去掉的元素为,则有①,或者②;若去掉的元素为,则有③,或者④,求解四个式子可得出矛盾,从而证明结论;
(3)①设集合所有元素之和为,由题可知,均为偶数,因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况,分析可得集合中元素个数为奇数;②结合(1)(2)问,依次验证当时,当时,当时集合是否为“可分集合”,从而证明结论.
【详解】(1)集合不是“可分集合”,集合是“可分集合”;
(2)不妨设,
若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有①,或者②;
若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有③,或者④.
由①、③,得,矛盾;由①、④,得,矛盾;
由②、③,得,矛盾;由②、④,得,矛盾.
因此当时,集合一定不是“可分集合”;
(3)①设集合所有元素之和.
由题可知,均为偶数,因此均为奇数或偶数.
如果为奇数,则也均为奇数,由于,所以为奇数.
如果为偶数,则均为偶数,此时设,则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数,则集合中元素个数为奇数.
综上所述,集合中元素个数为奇数.
②当时,显然任意集合不是“可分集合”.
当时,第(2)问已经证明集合不是“可分集合”.
当时,集合,因为:
3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13,
1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11,
则集合是“可分集合”.
所以集合中元素个数的最小值是7.
【点睛】本题考查新定义下的集合问题,对此类题型首先要多读几遍题,将新定义理解清楚,然后根据定义验证,证明即可,注意对问题思考的全面性,考查学生的思维迁移能力、分析能力,属于难度较高的创新题.