【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件(1)学案 22页

1．2　命题及其关系、充分条件与必要条件 [知识梳理] 1．命题 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原 命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能 是 0,2,4. (3)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写； ②当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提； ③对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提． 3．充要条件 (1)集合与充要条件 (2)充分条件与必要条件的两个特征 ①对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“p⇒ q”⇔“q⇐p”． ②传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件， 则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q 且 q⇐r”⇒“p⇐r”)． [诊断自测] 1．概念思辨 (1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　) (2)命题“若 p，则 q”的否定是“若綈 p，则綈 q”．(　　) (3)若命题“若 p，则 q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命 题、逆否命题中至少有一个为真. (　　) (4)“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件. (　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．教材衍化 (1)(选修 A2－1P8T2)命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数” 的逆否命题是(　　) A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 答案　C 解析　若命题为“若 p，则 q”，命题的逆否命题为“若非 q，则 非 p”，所以原命题的逆否命题是“若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都 是偶数”．故选 C. (2)(选修 A2－1P10T4)x2－3x＋2≠0 是 x≠1 的________条件． 答案　充分不必要 解析　若 x2－3x＋2≠0，则 x≠1 且 x≠2，此时充分性成立，当 x＝2 时，满足 x≠1，但此时 x2－3x＋2＝0 成立，即必要性不成立， 即 x2－3x＋2≠0 是 x≠1 的充分不必要条件． 3．小题热身 (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d＞0”是“S4 ＋S6＞2S5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　解法一：∵数列{an}是公差为 d 的等差数列， ∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d， ∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d. 若 d>0，则 21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d， 即 S4＋S6>2S5. 若 S4＋S6>2S5，则 10a1＋21d>10a1＋20d，即 21d>20d， ∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件． 故选 C. 解法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋ d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选 C. (2)(2017·山东潍坊高三期末)命题“若 x＝5，则 x 2－8x＋15＝0”， 那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有(　　) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 答案　B 解析　原命题“若 x＝5，则 x2－8x＋15＝0”为真命题，又当 x2 －8x＋15＝0 时，x＝3 或 5. 故其逆命题：“若 x2－8x＋15＝0，则 x＝5”为假命题．又由四 种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命 题．故选 B. 题型 1　四种命题的关系及真假判断　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 典例 1　　已知：命题“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增 函数，则 m≤1”，则下列结论正确的是(　　) A．否命题是“若函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则 m>1”，是真命题 B．逆命题是“若 m≤1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增 函数”，是假命题 C．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是 减函数”， 是真命题 D．逆否命题是“若 m>1，则函数 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上不 是增函数”，是真命题 本题用四种命题中真假性的等价 关系进行判断． 答案　D 解析　由 f(x)＝ex－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则 f′(x)＝e x－ m≥0 在(0，＋∞)上恒成立，∴m≤1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m>1，则函数 f(x)＝ ex－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．故选 D. 典例 2　　(2018·黄梅期末)给出下列命题： ①命题“若 b2－4ac<0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的 否命题； ②命题“△ABC 中，AB＝BC＝CA，那么△ABC 为等边三角形” 的逆命题； ③命题“若 a>b>0，则3 a>3 b>0”的逆否命题； ④“若 m>1，则 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R”的逆命 题． 其中真命题的序号为________． 分清原命题的条件与结论写出所要 命题，进行判断． 答案　①②③ 解析　①命题“若 b2－4ac<0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实 根”的否命题是“若 b2－4ac≥0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实 根”，是真命题； ②命题“△ABC 中，AB＝BC＝CA，那么△ABC 为等边三角形” 的逆命题是“△ABC 是等边三角形，则 AB＝BC＝CA”，是真命题； ③命题“若 a>b>0，则3 a>3 b>0”是真命题，∴它的逆否命题也 是真命题； ④命题“若 m>1，则 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R”的 逆命题是“若 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R，则 m>1”是假 命题， ∵不等式的解集为 R 时，Error!的解集为∅，∴逆命题是假命题； ∴真命题有①②③. 方法技巧 四种命题关系及真假判断的方法 1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结 论，如果命题不是“若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q” 的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．例 如典例 2. 2．判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为 假命题，只需举出反例．见教材衍化 2. 3．根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同 假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等 价命题的真假．例如冲关针对训练 2. 冲关针对训练 1．(2018·陕西模拟)原命题为“若 z 1，z2 互为共轭复数，则|z1|＝ |z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正 确的是(　　) A．真，假，真 B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 答案　B 解析　先证原命题为真：当 z1，z2 互为共轭复数时，设 z1＝a＋ bi(a，b∈R)，则 z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝ a2＋b2，∴原命题为真，故 逆否命题为真；再证逆命题为假：取 z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但 是 z1，z2 不互为共轭复数，∴逆命题为假，故否命题也为假．故选 B. 2．(2017·沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有________(填 序号)． ①命题“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题； ③命题“若 A∩B＝B，则 A⊆B”的逆否命题． 答案　①② 解析　对于①，命题“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题是 “若 x，y 互为倒数，则 xy＝1”，它是真命题；对于②，命题“面积 相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全 等”，它是真命题；对于③，命题“若 A∩B＝B，则 A⊆B”是假命题，∴ 它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是①②. 题型 2　充分条件与必要条件的判定 角度 1　利用定义判断充分、必要条件 典例　　(2018·赣中南五校联考)已知 α，β 均为第一象限角，那 么 α>β 是 sinα>sinβ 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 利用定义结合特殊值法进行判断． 答案　D 解析　由 α，β 均为第一象限角，可取 α＝2π＋π 3 ，β＝π 3 ，有 α>β， 但 sinα＝sinβ，即 α>β 不是 sinα>sinβ 的充分条件；又由 α，β 均为第 一象限角，可取 α＝π 3 ，β＝2π＋π 6 ，有 sinα>sinβ 成立，但 α<β，即 α>β 不是 sinα>sinβ 的必要条件，综上所述，α>β 是 sinα>sinβ 的既不充分 也不必要条件．故选 D. 角度 2　等价转化法判断充分、必要条件 典例　　(2018·阳山模拟)“a≠1 或 b≠2”是“a＋b≠3”的(　　) A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 用等价转化法． 答案　A 解析　由题意得： ∵命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋b≠3”与命题“若 a＋b＝3， 则 a＝1 且 b＝2”互为逆否命题． ∴判断命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋b≠3”的真假只要判断命 题“若 a＋b＝3，则 a＝1 且 b＝2”的真假即可． 因为命题“若 a＋b＝3，则 a＝1 且 b＝2”显然是假命题． 所以命题“若 a≠1 或 b≠2，则 a＋b≠3”是假命题， ∴a≠1 或 b≠2 推不出 a＋b≠3. 同理“若 a＝1 且 b＝2，则 a＋b＝3”是真命题， ∴命题“若 a＋b≠3，则 a≠1 或 b≠2”是真命题． ∴a＋b≠3⇒a≠1 或 b≠2. ∴“a≠1 或 b≠2”是“a＋b≠3”的必要不充分条件．故选 A. 角度 3　集合法判断充分、必要条件 典例　　(2017·天津高考)设 θ∈R，则“ |θ－ π 12|＜ π 12 ”是“sinθ ＜1 2 ”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 用集合法． 答案　A 解析　∵ |θ－ π 12|＜ π 12 ⇔－ π 12 ＜θ－ π 12 ＜ π 12 ⇔0＜θ＜π 6 ，sinθ＜1 2 ⇔θ ∈ (2kπ－7π 6 ，2kπ＋π 6)，k∈Z， (0，π 6)(2kπ－7π 6 ，2kπ＋π 6)，k∈Z， ∴“ |θ－ π 12|< π 12 ”是“sinθ<1 2 ”的充分而不必要条件．故选 A. 角度 4　探求结论成立的充分、必要条件 典例　　(2018·延安质检)函数 f(x)＝Error!有且只有一 个零点的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．01 用数形结合法． 答案　A 解析　因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点⇔ 函数 y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2x(x≤0)与直线 y＝a 无公共 点．由数形结合，可得 a≤0 或 a>1. 观察选项，根据集合间关系{a|a<0}{a|a≤0 或 a>1}．故选 A. 方法技巧 充分条件和必要条件的三种判断方法 1．定义法：可按照以下三个步骤进行 (1)确定条件 p 是什么，结论 q 是什么； (2)尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p； (3)确定条件 p 和结论 q 的关系．见角度 1 典例． 2．等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈 p 是綈 q 的什么 条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q 是 p 的什么条 件．见角度 2 典例． 3．集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判 断．设 A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件；若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件，若 A＝ B，则 p 是 q 的充要条件．见角度 3 典例． 冲关针对训练 1．(2018·石家庄模拟)命题 p：|x|<1，命题 q：x2＋x－6<0，则綈 p 是綈 q 成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由|x|<1 得－10，若綈 p 是綈 q 的充分不必 要条件，则 a 的取值范围为________． 答案　[－1,6] 解析　∵綈 p 是綈 q 的充分不必要条件， ∴q 是 p 的充分不必要条件． 对于 p，|x－a|<4，∴a－40)，且綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件，则实数 m 的取值 范围为________． 答案　[9，＋∞) 解析　解法一：由 |1－x－1 3 |≤2，得－2≤x≤10， ∴綈 p 对应的集合为{x|x>10 或 x<－2}， 设 A＝{x|x>10 或 x<－2}． 由 x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得 1－m≤x≤1＋m(m>0)， ∴綈 q 对应的集合为{x|x>m＋1 或 x<1－m，m>0}， 设 B＝{x|x>m＋1 或 x<1－m，m>0}． ∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分的条件，∴BA， ∴Error!且不能同时取得等号． 解得 m≥9，∴实数 m 的取值范围为[9，＋∞)． 解法二：∵綈 p 是綈 q 必要而不充分条件， ∴q 是 p 的必要而不充分条件， 即 p 是 q 的充分而不必要条件， 由 x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得 1－m≤x≤1＋m(m>0)．∴q 对应 的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 设 M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 又由 |1－x－1 3 |≤2，得－2≤x≤10， ∴p 对应的集合为{x|－2≤x≤10}．设 N＝{x|－2≤x≤10}，由 p 是 q 的充分而不必要条件知 NM， ∴Error!且不能同时取等号，解得 m≥9. ∴实数 m 的取值范围为[9，＋∞)． [基础送分 提速狂刷练] 一、选择题 1．下列命题中是真命题的是(　　) ①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若 x－3 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　B 解析　对于①，其否命题是“若 x2＋y2＝0，则 x，y 全为零”， 这显然是正确的，故①为真命题；对于②，其逆命题是“若两多边形 相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故②为假命题； 对于③，原命题为真，故逆否命题也为真．因此是真命题的是①③. 故选 B. 2．(2018·河南八市联考)命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题 是(　　) A．若 a≤b，则 a＋c≤b＋c B．若 a＋c≤b＋c，则 a≤b C．若 a＋c>b＋c，则 a>b D．若 a>b，则 a＋c≤b＋c 答案　A 解析　否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若 a>b，则 a＋c>b＋c”的否命题是“若 a≤b，则 a＋c≤b＋c”．故选 A. 3．(2018·曲阜模拟)已知 p：函数 f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是 单调函数，q：函数 g(x)＝loga(x＋1)(a>0 且 a≠1)在(－1，＋∞)上是 增函数，则綈 p 是 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　易知 p 成立⇔a≤1，q 成立⇔a>1，所以綈 p 成立⇔a>1， 则綈 p 是 q 的充要条件．故选 C. 4．下列命题正确的是(　　) A．若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题 B．“a>0，b>0”是“b a ＋a b ≥2”的充分必要条件 C．命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2，则 x2－3x＋2≠0” D．命题 p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈 p：∀x∈R，x2＋x－1≥0 答案　D 解析　若 p∨q 为真命题，则 p，q 中至少有一个为真，那么 p∧ q 可能为真，也可能为假，故 A 错误；若 a>0，b>0，则b a ＋a b ≥2，又 当 a<0，b<0 时，也有b a ＋a b ≥2，所以“a>0，b>0”是“b a ＋a b ≥2”的 充分不必要条件，故 B 错误；命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1 或 x＝ 2”的逆否命题为“若 x≠1 且 x≠2，则 x 2－3x＋2≠0”，故 C 错误， 易知 D 正确．故选 D. 5．“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的(　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由题意知“∃x 0∈R，asinx 0＋1<0”等价于“(asinx＋ 1)min<0”，即“当 a>0 时，－a＋1<0，即 a>1；当 a<0 时，a＋1<0， 即 a<－1”，所以“a<－1”是“∃x0∈R，asinx0＋1<0”的充分不必 要条件，故选 B. 6．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是 中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如 果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设 A，B 为两个同高的 几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B 在等高处的截面积不恒相 等，根据祖暅原理可知，p 是 q 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　设命题 a：“若 p，则 q”，可知命题 a 是祖暅原理的逆否 命题，则 a 是真命题．故 p 是 q 的充分条件．设命题 b：“若 q，则 p”，若 A 比 B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截 面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样 的．所以命题 b 是假命题， 即 p 不是 q 的必要条件．综上所述，p 是 q 的充分不必要条件．故选 A. 7．(2017·衡水联考)“a＝0”是“函数 f(x)＝sinx－1 x ＋a 为奇函数” 的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当 a＝0 时，f(x) ＝sinx－1 x ，f(－x)＝sin(－x)－ 1 －x ＝－sinx＋1 x ＝－ (sinx－1 x)＝－f(x)， 故 f(x)为奇函数； 反之，当 f(x)＝sinx－1 x ＋a 为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0， 又 f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－ 1 －x ＋a＋sinx－1 x ＋a＝2a，故 a＝0， 所以“a＝0”是“函数 f(x)＝sinx－1 x ＋a 为奇函数”的充要条件．故 选 C. 8．(2018·天津模拟)已知 f(x)＝2x＋3(x∈R)，若|f(x)－1|0)，则 a，b 之间的关系是(　　) A．b≥a 2 B．bb 2 答案　A 解析　∵f(x)＝2x＋3，且|f(x)－1|0)， ∴ ( －2－a 2 ， －2＋a 2 )⊆(－b－1，b－1)， ∴Error! 解得 b≥a 2 .故选 A. 9．(2018·江西一联)已知 i 为虚数单位，a 为实数，复数 z＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为 M，则“a>0”是“点 M 在第四象限”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　复数 z＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2－2ai＋i＝a＋2＋(1－2a)i 在 复平面内对应的点为 M(a＋2,1－2a)．若 a>0，则 a＋2>0，但 1－2a 的正负不确定，所以点 M 是否在第四象限也是不确定的；若点 M 在 第四象限，则Error!解得 a>1 2 ，此时可推出 a>0.所以“a>0”是“点 M 在 第四象限”的必要不充分条件．故选 B. 10．(2017·湖北七市联考)已知圆 C：(x－1) 2＋y2＝r2(r>0)．设 p： 00 时，A＝{x|a0 时，有Error!解得 1m；s(x)：x2＋mx ＋1>0.如果∀x∈R，r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题，则实数 m 的 取值范围是________． 答案　(－∞，－2]∪[－ 2，2) 解析　由 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π 4)， 得 sinx＋cosx 的最小值为－ 2. 若∀x∈R 时，命题 r(x)为真命题，则 m<－ 2.若命题 s(x)为真命 题，即∀x∈R，不等式 x2＋mx＋1>0 恒成立，则 Δ＝m2－4<0，解得 －21 时，a>2－a，此时集合 N＝{x|2－a9 4 ； 当 a<1 时，a<2－a，此时集合 N＝{x|a9 4 或 a<－1 4 .