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  • 2021-06-16 发布

浙江省慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题

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‎2019学年第一学期高一高二期中六校联考 高二数学学科试卷 命题学校:象山县第三中学 ‎ 一、 选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是满足题意的。)‎ ‎1.空间中一点到平面的距离为( )‎ A.2 B.‎3 C.1 D.‎ 内,则点P的横坐标是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )‎ A.若,,则 B.若,,,则 C.若,,,则 D.若,,,则 ‎4.在平面直角坐标系中,为不等式组所表示的区域上一动点,则的最小值为(  )‎ A. 2 B. ‎1 C. D. ‎ ‎5.直线和直线平行,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.长方体中,,为中点,则异面直线与所成角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知点在圆外, 则直线与圆的位置关系是( )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎8.已知直线与曲线有两个公共点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.如图,在四棱锥中,底面为正方形,且,其中,,分别是,,的中点,动点在线段上运动时,下列四个结论:①;②;③面;④面,‎ 其中恒成立的为( )‎ A.①③ B.③④ C.①④ D.②③‎ ‎10.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(共7小题,其中11-14题每空3分,15-17题每空4分,共36分.)‎ ‎11.直线的斜率为    ;倾斜角的大小是    . ‎ ‎12.已知方程表示圆,则圆心坐标为   ;实数的取值范围 是    . ‎ 13. ‎《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为畔,高称为正广,非高腰边称为邪。在四棱锥 中,底面 为邪田,两畔的长分别为1,3,正广长为 , 平面,则邪田的邪长为    ;邪所在直线与平面 所成角的大小为    .引切线,切线长的最小值为    .‎ ‎15.已知,满足约束条件若的最小值为-1,则= . ‎ ‎16.如图所示,有一条长度为1的线段,其端点,在边长为4的正方形的四边上滑动,当点绕着正方形的四边滑动一周时,的中点所形成的轨迹长度为______.‎ ‎17.在中,已知,,,‎ 三、解答题(本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎18.(本题14分)已知平面内两点.‎ ‎(1)求过点且与直线平行的直线的方程;‎ ‎(2)一束光线从点射向(1)中的直线,若反射光线过点,求反射光线所在的直线方程.‎ ‎19.(本题15分)如图,在四棱锥中,平面,,,,.为线段的中点.‎ ‎(1)证明:面 ‎(2)求与平面所成的角的正弦值;‎ ‎20.(本题15分)已知圆,直线过定点.‎ ‎(1)若与圆C相切,求的方程;‎ ‎(2)若与圆C相交于P,Q两点,求三角形面积的最大值,并求此时的直线方程.‎ ‎21.(本题15分)如图所示的几何体中,垂直于梯形所在的平面,为的中点,,四边形为矩形,线段交于点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎22、若圆经过坐标原点和点,且与直线相切, 从圆外一点向该圆引切线,为切点,‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,且, 求点的轨迹方程,并判断点是否总在某一定直线上,若是,求出的方程;若不是,请说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若(Ⅱ)中直线与轴的交点为,点是直线上两动点,且以为直径的圆 过点,圆是否过定点?证明你的结论. ‎ ‎2019学年第一学期高一高二期中六校联考 高二数学学科参考答案 一、 选择题 ‎ CBDCD CABAB 二、填空题 ‎11、 12、 13、‎ ‎14、 15、 16、 17、 ‎ 三.解答题 ‎18.解:(1) 由题得 ……………… 2分 由点斜式 ………………4分 ‎∴直线的方程 ……………… 5分 ‎(2)设关于直线的对称点 ‎ ‎∴ ……8分 解得 ……… 10分 ‎∴, ……… 12分 由点斜式可得,整理得 ‎∴反射光线所在的直线方程为 …14分 ‎19.解:(1)取中点,因为,,‎ 所以 ……3分 因为平面,平面所以, ……5分 因为平面,平面,,‎ 所以面 ……7分 ‎ ‎ ……10分 ‎ ……11分 因为,,所以,‎ 因为,所以, ……12分 ‎ ……14分 因此与平面所成的角的正弦值为. ……15分 法二:以为坐标原点,,平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则因为,,所以,因为,所以,‎ 因此 ……10分 从而为平面一个法向量,……12分 因此与平面所成的角的正弦值为. ……15分 ‎20.解:(1)将圆的一般方程化为标准方程,得 ‎∴圆心,半径. …………………… 2分 ‎①若直线的斜率不存在,则直线,符合题意. ……………… 4分 ‎ ‎②若直线斜率存在,设直线,即.‎ ‎∵与圆相切.∴圆心到已知直线的距离等于半径2,‎ 即 …………………5分 解得 . ……6分 ‎∴综上,所求直线方程为或. …………7分 ‎(2)直线与圆相交,斜率必定存在,设直线方程为.‎ 则圆心到直线l的距离 ……………… 8分 又∵面积 ……10分 ‎∴当时,. …………12分 由,解得 …………14分 ‎∴直线方程为或. ……………… 15分 ‎21.解:(1)因为四边形为矩形,所以为的中点.连接,‎ 在中,分别为的中点,所以,……2分 因为平面,平面,‎ 所以平面. ……4分 ‎(2)易知两两垂直,如图以为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系. ……‎ ‎5分 ‎ 则,所以. ‎ 设平面的法向量为,‎ 则即解得 令,得 所以平面的一个法向量为. ……7分 设平面的法向量为,‎ ‎ ,据此可得 ,‎ 则平面的一个法向量为, ……8分 ‎, ……10分 故二面角的正弦值为. ……11分 ‎(3)设存在点满足条件.由,‎ 设,整理得,‎ 则. ……12分 因为直线与平面所成角的大小为,‎ 所以 解得, ……14分 ‎ 由知,即点与重合.‎ 故在线段上存在一点,且. 15分 ‎22.解:(Ⅰ)设圆心由题易得 ………… 1分 ‎ 半径,    ……………… 2分 得,      ………… 3分 ‎ ‎ 所以圆的方程为    …………4分 ‎(Ⅱ)由题可得    ………………5分 ‎ ‎ 所以    …………7分 ‎   ……………… 8分 所以 整理得 所以点总在直线上           ………… 9分 ‎(Ⅲ)     ………… 10分 ‎ ‎ 由题可设点,,‎ 则圆心,半径        ………… 11分 从而圆的方程为      ………… 12分 整理得 ‎ ‎ 又点在圆上,故   得  ………… 13分 ‎ ‎ 所以 令得,      ………… 14分 ‎ 所以或 所以圆过定点和        …………15分