广东省广州市增城区2020届高三上学期调研测试（一）数学（理）科试题 25页

‎2019学年第一学期高三调研测试（一）‎ 数学（理科）‎ 本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟，‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 分别求得集合中元素具体的值或范围，再求两者的交集.‎ ‎【详解】依题意,由解得，故，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是 A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 单位圆以及圆内的部分 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数模的运算化简，由此判断出正确选项.‎ ‎【详解】由得，即，故在以原点为圆心，半径为的单位圆上或者圆内部分，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数模的运算，考查圆内、圆上和圆外点的判断，属于基础题.‎ ‎3.已知，大小关系正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“”分段法比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】由于，，，即，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的焦距为，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得的值，进而求得双曲线离心率.‎ ‎【详解】依题意可知，所以，故，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎5.已知等差数列的前项和为，若，，则的值为（ ）‎ A. B. 0 C. D. 182‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，可得的值.‎ ‎【详解】解：已知等差数列中，‎ 可得，‎ 即：，，‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质，从数列自身的特点入手是解决问题的关键.‎ ‎6.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点坐标求得的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式为为只含的形式，由此求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由于的终边经过点，所以.，上式分子分母同时除以得，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，考查齐次式的计算，属于中档题.‎ ‎7.若圆上存在两点关于直线对称，那么最小值是 A. 5 B. 8 C. 10 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的一般方程求得圆心坐标，代入直线方程求得的关系式，利用“1”的代换的方法求得的最小值.‎ ‎【详解】由于圆上存在两点关于直线对称，故直线经过圆的圆心，即，，所以，当且仅当时等号成立.故本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆的一般方程求圆心，考查圆的几何性质，考查利用基本不等式求和式的最小值，属于中档题.‎ ‎8.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若函数为偶函数，则函数在的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先进行图像变换得到的表达式，根据为偶函数求得的值，然后根据三角函数值域的求法，求得函数在的值域.‎ ‎【详解】图像向左平移个单位，得到函数，由于函数 为偶函数，故，由于，故令求得.所以.由于，，所以，故，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎9.三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证得三角形是直角三角形，由此判断出球心在中点的连线的中点的位置，再利用勾股定理求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.‎ ‎【详解】由于，所以三角形是直角三角形，且为斜边，由于三棱柱是直三棱柱，故外接球球心在中点的连线的中点的位置，画出图像如下图所示，由图可知，外接球的半径，故外接球的表面积为，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎10.已知是R上奇函数，对任意实数都有，当时，，则 A. -1 B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到函数关于直线对称，结合函数为奇函数求得函数的周期，由此求得所求表达式的值.‎ ‎【详解】由于，故函数关于直线对称，由于函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为的周期函数，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的对称性、奇偶性和周期性，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎11.已知椭圆：的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若且的面积为，则的标准方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行线分线段成比例列方程，求得关系式以及的长，结合以及三角形面积公式，求得的值，进而求得的值以及椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】根据题意，且，则，从而得到，又因为，所以，则，根据面积为，从而求得，进而求得，，从而求得椭圆的方程为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查平行线分线段成比例，考查三角形的面积公式，考查方程的思想，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有4个不同的实数解，则的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，根据图像与函数有个不同的交点，求得的取值范围.‎ ‎【详解】由得，也即图像与函数有个不同的交点.当时，令解得，故函数在上递减，在递增，故在处取得极小值.由此画出函数和的图像如下图所示.由图像可知，，是过原点且分别与函数右、左两部分相切的直线.由此先排除C,D两个选项.根据A,B两个选项的结果，只需求得即可，由消去得，相切时，判别式，即，解得，（根据图像，取绝对值较小的一个根.），.由此判断B选项错误，A选项正确.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查直线和曲线相切时，斜率的求法，考查利用导数求函数的单调区间和画图像，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知向量，若向量与垂直，则______‎ ‎【答案】或2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得与，根据这两个向量相互垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】依题意与，由于向量与垂直，所以，解得或.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14.在二项式的展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简二项式展开式的通项公式，由此求得常数项和有理项的个数.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项公式为.当时，求得常数项为.当时，为有理数，也即有理项有个.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查常数项和有理项的求法，属于基础题.‎ ‎15.已知数列的前项和为，且满足，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.‎ ‎【详解】解：，可得时，，‎ 时，，又，‎ 两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.‎ ‎16.如图，在长方体中，，是（含端点）上一动点，则 ‎①平面 ‎②与平面所成角最小为45°‎ ‎③三棱锥体积为定值 ‎④与所成的最大角为90°‎ 上述命题中，正确的序号是______‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面平行的性质定理、线面角的知识、三棱锥体积计算方法以及异面直线所成的角的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的序号.‎ ‎【详解】①由平面平面，且平面，可证.②取中点,易知为所找的线面角，为定长，则当最长时，线面角最小，当与重合时线面角最小，小于.③三棱锥顶点换为，底面大小确定，又因为平面，所以点到底面的距离不变，命题正确.④因为,所以异面直线所成角与相等或互补（取锐角或直角），当与重合时，此时命题正确.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查线面角、线线角的大小，考查三棱锥体积的计算，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎（一）必考题：‎ ‎17.在锐角△中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，且，求△的周长 ‎【答案】（1）（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形内角和定理、降次公式化简题目所给等式，由此求得的大小.（2）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理列方程，求得的值，进而求得三角形的周长.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ ‎，‎ 即∴（另法：）‎ ‎∴，又因为锐角三角形.‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，由正弦定理，得 又由余弦定理，得 又，‎ 得 所以的周长为3.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数降次公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题.‎ ‎18.如图，空间几何体，△、△、△均是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点。‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别取，中点，，连接，，，，，通过面面平行的判定定理，证得面面，从而证得平面.（2）方法一（向量法）：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.方法二（几何法）：过点作垂线，垂足为，连接.由此作出二面角的平面角并证明，解直角三角形求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）分别取，中点，，连接，，，，‎ 由面面且交于，平面，有面 由面面且交于，平面，有面 所以,，所以，‎ 由有，‎ ‎，所以，‎ ‎,所以面面，所以 ‎（2）‎ 法1：以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系 由面，所以面的法向量可取 点,点,点，‎ ‎,，‎ 设面的法向量，所以，取 设二面角的平面角为，据判断其为锐角.‎ 法2：过点作垂线，垂足为，连接.‎ 由（1）问可知又因为，所以平面，则有.‎ 所以为二面角的平面角.‎ 由题可知，所以,则 所以，‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，包括向量法和几何法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.已知动圆经过点，且与直线相切，设圆心的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设动直线与曲线相切于点，点是直线上异于点的一点，若以为直径的圆恒过轴上一定点，求点的横坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）点的横坐标 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）法1：根据圆的几何性质以及抛物线的定义，确定点的轨迹为抛物线，由此求得的方程.法2：设出点坐标，根据点到直线的距离和两点间距离公式列方程，化简后求得的方程.（2）联立直线的方程和的方程并化简，利用直线和抛物线相切，判别式为零列方程，由此求得两点的坐标，设出点坐标，代入，由此列方程组，解方程组求得的横坐标.‎ ‎【详解】解：（1）法1：根据圆的性质，圆心点到点的距离等于到定直线的距离，则圆心的轨迹为抛物线.‎ 设抛物线方程为，由题可知，所以的方程为.‎ 法2：设圆心点，因动圆与直线相切，则圆心点到直线距离为 又因为动圆经过点，所以 由题可知 整理得：此为的方程.‎ ‎（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，得①‎ ‎，所以 所以方程①为，解得，不妨取点的坐标为.‎ 点的坐标为，设点的坐标为.‎ ‎，，‎ 对任意的恒成立，∴，解得.因此，点的横坐标.‎ ‎【点睛】本小题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.某网站于2019年5月推出社会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的占80%现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25），第2组[2535），第3组[35,45），第4组[45,55），第5组[55,65），得到的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人年龄在第3组的概率 ‎（2）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注网约车安全问题的人数为，求的分布列与期望；‎ ‎（3）把年龄在第1,3组的人称为青少年组，年龄在第45组的人称为中老年组。若选出的200人中，关注网约车安全问题的也占80%，其中不关注此问题的中老年人有10人请将以下2×2列联表填写完整，并回答是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？‎ 关注网约车安全 不关注网约车安全合计 青少年 中老年 ‎10‎ 合计 ‎200‎ 附：‎ ‎015‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）填表详见解析，没有的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先利用频率和为列方程，求得的值，然后根据分层抽样计算出1，2，3组抽取的人数，用减去个人都不在第1组的概率，由此求得至少有1人年龄在第3组的概率.（II）根据二项分布分布列计算公式，计算出分布列和数学期望.（III）填写列联表，并计算由此判断出“没有的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关”.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由，得.‎ 所以第1,2,3组的人数分别为20,30,70，从第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1,2,3组抽取的人数分别为2,3,7.‎ 记从12人中随机抽取3人，至少有1人年龄在第3组为事件A，则 ‎（Ⅱ）由题知参与调查的人中关注网约车安全问题的概率为，可取0,1,2,3.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 因为服从，所以.‎ ‎（Ⅲ）由题意得列联表如下：‎ 关注网约车安全 不关注网约车安全 合计 青少年 ‎90‎ ‎30‎ ‎120‎ 中老年 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎，‎ 所以没有的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关.‎ ‎【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查二项分布分布列和期望的计算，考查列联表独立性检验，综合性较强，属于中档题.‎ ‎21.设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间 ‎（2）若为函数的两个零点，且，请比较与的大小关系，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数定义域，通过函数导数求得函数的单调区间.（2）结论是.‎ 证法1：利用导数求得函数的单调区间，将所要证明的不等式，转化为证明，通过构造函数，利用导数研究的单调性，从而证得不等式成立.‎ 证法2：根据是函数的两个零点列方程，化简得，由此将所要证明的不等式转化为证，换元后利用构造函数法，通过导数证得不等式成立.‎ 证法3：同证法2先得到，利用导数证得，由此证得，即证得成立.‎ ‎【详解】解：（1）的定义域为 当时，，，‎ 令则.‎ 当时，当时，‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）下结论：‎ 证明如下：‎ ‎（法一）令，则.‎ ‎∴在单调递减，在单调递增.‎ 则 要证，即证 令 恒成立.‎ ‎∴在单调递增，则 即，又因为 所以，‎ 又因为均在区间上，此时单调递减.-‎ 所以，得证.‎ ‎（法二）由 得，要证，即证，‎ 令，则 ‎，‎ ‎∴，所以 ‎（法三）∵，故，‎ 即，，‎ 设，则，‎ 则，故递增，，‎ ‎∵，∴，‎ 即，故 ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数比较大小，考查利用导数研究函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查构造函数法，综合性很强，属于难题.‎ ‎（二）选考题：‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若，求直线以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的大小消去参数，求得直线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）方法1：写出直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，根据极坐标系下的弦长公式列方程由此求得直线的斜率.方法2：设出直线的直角坐标方程，联立直线的方程和曲线的直角坐标方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线斜率.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，直线，可得直线是过原点的直线，‎ 故其直角坐标方程为，‎ 又，由 故；‎ ‎（2）由题意，直线l的极坐标为，‎ 设、对应的极径分别为，‎ 将代入曲线的极坐标可得：‎ ‎，‎ 故，，‎ ‎，‎ 故，则，即，，‎ 所以故直线的斜率是 法二：由题意，直线方程为，设、对应点坐标为 联立直线与曲线的方程，消去得.‎ 所以，故直线的斜率是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查极坐标系下弦长的计算，考查直角坐标系下弦长的计算公式，属于中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）不等式的解集为R（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式求得的最小值，结合求得不等式的解集为.将原不等式转化为恒成立，去绝对值符号后根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）即,‎ 因为,‎ 所以 又，所以所以不等式的解集为R.‎ ‎（2）因为，所以 则恒成立等价于恒成立，‎ 即恒成立 由可得，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎