2018届二轮复习坐标系与参数方程学案 12页

第1讲　坐标系与参数方程 高考定位　高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.‎ 解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0).‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ 解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 曲线C的标准方程是＋y2＝1，‎ 联立方程解得或 则C与l交点坐标是(3，0)和.‎ ‎(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.‎ 设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).‎ 则P到l距离d＝＝，‎ 其中tan φ＝.‎ 又点C到直线l距离的最大值为.‎ ‎∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.‎ 若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.‎ 若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.‎ 综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.‎ 考 点 整 合 ‎1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，‎ θ)，则 ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程：‎ ‎(1)直线过极点：θ＝α；‎ ‎(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎3.圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程：‎ ‎(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎4.直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P的数量.‎ ‎5.圆、椭圆的参数方程 ‎(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).‎ ‎(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数).‎ 热点一　曲线的极坐标方程 ‎【例1】　(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎【迁移探究1】　本例条件不变，求直线C1与曲线C3交点的极坐标.‎ 解　联立方程解之得θ＝且ρ＝－2.‎ 所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为.‎ ‎【迁移探究2】　本例条件不变，求圆C2关于极点的对称圆的方程.‎ 解　∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，‎ ‎∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，‎ 故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.‎ 探究提高　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.‎ ‎【训练1】　(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离.‎ 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线.‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，‎ ‎∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.‎ ‎(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心.‎ ‎∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ 热点二　参数方程及其应用 ‎【例2】　(2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.[来源: ]‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为；‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 探究提高　‎ ‎1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.‎ ‎2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.‎ ‎【训练2】　(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.‎ 解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去参数t，得x＋y－1＝0.‎ 曲线C的参数方程为(θ为参数)，‎ 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.‎ 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).‎ 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴t1＋t2＝3，t1t2＝1.‎ 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.‎ 热点三　极坐标与参数方程的综合应用 ‎【例3】　(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.[来源:]‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.‎ 又d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，‎ 最小值为，此时点P的直角坐标为.‎ 探究提高　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.‎ ‎【训练3】　(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.‎ ‎(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.‎ 解　(1)由(θ为参数)，消去θ.‎ 普通方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.‎ ‎(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，，‎ 联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝2，‎ ‎∴S△PAB＝×2×2sin＝2.‎ ‎1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.‎ ‎3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).‎ ‎1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.‎ 解　由消去t.[来源:学.科.网]‎ 得l的普通方程为x－2y＋8＝0，‎ 因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).‎ 则点P到直线l的距离d＝＝，‎ ‎∴当s＝时，d有最小值＝.‎ ‎2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.‎ 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，‎ ‎∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意，不妨设P(θ0，ρ0)，则Q(θ＋π，ρ1)，且ρ0＝3ρ1，即＝3·，解得θ0＝或θ0＝，‎ 直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R).‎ ‎3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为与C的交点，求M的极径.‎ 解　(1)由l1：(t为参数)消去t，‎ 化为l1的普通方程y＝k(x－2)，①‎ 同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②‎ 联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).‎ ‎(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，‎ 联立得 ‎∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，∴与C的交点M的极径为.‎ ‎4.(2017·新乡三模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0).‎ ‎(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；‎ ‎(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.‎ 解　(1)由得 故曲线M的参数方程为.‎ ‎(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x.‎ 将代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，‎ ‎∴k1＋k2＝4.‎ 故直线OA与直线OB的斜率之和为4.‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.‎ 所以a＝1.‎ ‎6.(2017·乐山二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，圆C的圆心到直线l的距离为.‎ ‎(1)求θ的值；‎ ‎(2)已知P(1，0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求＋的值.‎ 解　(1)由直线l的参数方程为(t为参数，0≤θ<π)，消去参数t，得xsin θ－ycos θ－sin θ＝0.‎ 圆C的极坐标方程为ρ＝－4cos α，即ρ2＝－4ρcos α.‎ 可得圆C的普通坐标方程为x2＋y2＋4x＝0，‎ 可知圆心为(－2，0)，圆C的圆心到直线l的距离为d＝＝3sin θ.‎ 由题意：d＝，即3sin θ＝，则sin θ＝，‎ ‎∵0≤θ<π，‎ ‎∴θ＝或θ＝.‎ ‎(2)已知P(1，0)，点P在直线l上，直线l与圆C交于A，B两点，将 代入圆C的普通坐标方程x2＋y2＋4x＝0，‎ 得(1＋tcos θ)2＋(tsin θ)2＋4(1＋tcos θ)＝0，‎ ‎∴t2＋6tcos θ＋5＝0.‎ 设A，B对应参数为t1，t2，则t1＋t2＝－6cos θ，t1·t2＝5，‎ ‎∵t1·t2>0，t1，t2是同号.‎ ‎∴＋＝＋＝＝＝.‎