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- 2021-06-16 发布
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泉港一中 2021 届高二年（上）期中考试卷（数学）
（范围：直线、圆、圆锥曲线）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个
答案中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线 的倾斜角为
A． B． C． D．
2．过圆 的圆心，且斜率为 的直线方程为
A． B． C． D．
3．抛物线 的准线方程是
A． B． C． D．
4．焦点为 且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是
A． B． C． D．
5．已知点 （ ）到直线 的距离为 ，则 等于
A． B． C． D．
6．设 ，则直线 与圆 的位置关系为
A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相切或相离
7．两圆 与 的公共弦长
A． B． C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上一点，且 的
中点 在以 为圆心， 为半径的圆上，则
A．6 B．4 C．2 D．1
9．已知 是椭圆 的左焦点， 为 上一点， ，则 的最小
值为
1 0x y+ − = 3 0x y+ + = 3 0x y− + = 3 0x y− − =
013 =++ yx
150° 120° 60° 30°
2 2( 1) ( 2) 4x y+ + − = 1
21
4y x=
1y = − 1x = − 1y = 1x =
0 6（ ，）
2
2 12
x y− =
2 2
124 12
x y− =
2 2
124 12
y x− =
2 2
112 24
y x− =
2 2
112 24
x y− =
( ,1)m 0m > 02: =+− yxl 1 m
2+1 2 1− 2 2− 2
0>m 0122 =+++ myx myx =+ 22
2 2 2 0x y x+ − = 2 2 4 0x y y+ − =
2 5
5
4 5
5 1 2
2 2
116 20
x y− = 1F 2F P 2PF
M O 1OF 2PF =
F
2 2
: 19 5
x yC + = P C 4(1, )3A PA PF+
A． B． C． D．
10．已知抛物线 ，以 为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为
A． B． C． D．
11．已知 是椭圆 的一个焦点，直线 与 交于 两点，则
的周长的取值范围为
A． B． C． D．
12．已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线 的焦点，
点 在抛物线 上．在 中，若 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．椭圆 的两个焦点与短轴一个端点构成的三角形的面积等于__________．
14．以双曲线 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
15．设直线 与圆 相交于 两点， ，则实数
的值是__________．
16．已知双曲线 的中心是坐标原点 ，以 的焦点 为圆心， 为半径的圆与 的一条
渐近线交于 两点．若劣弧 所对的圆心角等于 ，则 的离心率为__________．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，应写出证明过程或演算步骤）
17．（本小题 10 分）
在平面直角坐标系 中，已知 的顶点坐标为 ．
（1）求直线 的方程；
（2）求边 上高 所在的直线方程．
E 2: 2 ( 0)C y px p= > F C
P C EFP∆
1 0x my− − = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − =
m
10
3
11
3 4 13
3
2 4y x= (1,1)
2 1 0x y− + = 2 3 0x y+ − = 2 1 0x y− − = 2 3 0x y+ − =
F
2
2: 14
xE y+ = 0x my− = E ,A B
ABF△
(2,4) [2,4) (6,8) [6,8)
sin sinEFP t FEP∠ = ⋅ ∠ t
2 3 2
2
3
2
2 2: 2 4C x y+ =
2 2
116 9
x y− =
,A B 2 3AB =
E O E F OF E
,O A OA 2π
3 E
xOy ABC∆ (2,4), (1, 2), ( 2,3)A B C− −
BC
BC AD
18．（本小题 12 分）
已知椭圆 的焦点为 和 ，长轴长为 ，设直线 交椭圆 C
于 两点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求弦 的中点坐标及 ．
19．（本小题 12 分）
在直角坐标系 中，已知圆 ．
（1）求圆 的圆心坐标，及半径；
（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ，且 ，求使得 取
得最小值时的点 的坐标．
20．（本小题 12 分）
已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）设 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 ，其中 为坐标
原点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
21．（本小题 12 分）
椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，过焦点 且
C 1(0, 2)F − 2 (0,2)F 52 2y x= +
,A B
C
,A B AB
xOy 2 2: 4 8 16 0C x y x y+ + − + =
C
C P M PM PO= PM
P
2 2 ( 0)y px p= > (3, )T t F 4
t p
,A B x 5OA OB⋅ = O
AB
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 3
2 2F
垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ，直线 经过点 且与椭圆 相交于 两点（异于点
），记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明： 为定值．
22．（本小题 12 分）
坐标平面 内， 轴的右侧动点 到点 的距离比它到 轴的距离大 ，记 的轨
迹为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）曲线 的左右焦点分别是 ， ，过 的直线 分别与曲线
交于点 和 ，若 与 面积分别是 ，求 的取值范围．
2021 届高二年（上）期中考试卷（数学）
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算．每小题5分，满分60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C A C B D B B D C D A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13． 14． 15． 16．
11． 解析：记椭圆 的另一个焦点为 ，则四边形 为平行四边形（如
图 所 示 ）， 的 周 长 等 于 ， 又
，故 的周长取值范围 ．
3
3
±
x C 1
C
(0, 1)M − l (2,1)N C ,A B
M MA 1k MB 2k 1 2+k k
xOy y P (1,0) y 1 P
1C
1C
2 2
2 : 14 3
x yC + = 1F 2F 2F l 21,C C
,A B ,M N 1F AB∆ 1F MN∆ 1 2,S S 1
2
S
S
2 2 16y x= 2 3
3
2
2: 14
xE y+ = 'F 'AFBF
ABF△ ' 2+ + = + + = +AB AF BF AB AF AF AB a
[2 ,2 )∈AB b a ABF△ 2 [2 2 ,4 ) [6,8)+ ∈ + =AB a a b a
12．解析：由题意得，准线 ， ， ，
过 作 ，垂足为 ，则由抛物线定义可知 ，
于是 ，
在 上为减函数，
当 取到最大值时（此时直线 与抛物线相切），计算可得
直线 的斜率为 ，从而 ， ．
16 ． 解 析 ： 如 图 ， 设 双 曲 线 的 方 程 为 ， 则 其 渐 近 线 方 程 为
，由题意，可知 ，故 ，所以 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
解析：（1）由两点式直线方程得 的方程为 ，
．……………………………………………………………………………5 分
（说明：其他解法参照给分，答案对就给 5 分）
（2） 直线的斜率为 ，…………………………………………………………………7 分
∴ 直线斜率为 ．……………………………………………………………………8 分
: 2
pl x = − ,02
pE − ,02
pF
P PH l⊥ H PH PF=
sin
sin
EFP PE
FEP PF
µ ∠= =∠
1 1
cos cos
PE
PH EPH PEF
= = =∠ ∠
cosy x= (0, )π
∴ PEF∠ PE
PE 1 45PEF∠ = ° max
1 2
2
2
µ∴ = =
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
by xa
= ± 30AOx∠ = 3tan30 3
b
a
= =
2
2
2 31 3
c be a a
= = + =
BC 3 2
2 3 1 2
y x− +=− − +
5 3 1 0x y∴ + + =
BC 5
3
−
AD 3
5k =
由点斜式得 方程为 ， 整理得 ．…………………10 分
18．（本小题满分 12 分）
解析：（1）依题意，椭圆的焦点在 轴上，设其方程为 ．…………………1 分
已知 ，……………………………………………………………………………3 分
又 …………………………………………………………………………………4 分
得 ，…………………………………………………………………………………………5 分
故椭圆的标准方程 ．…………………………………………………………6 分
（2）设 ， 的中点为
消去 得 ．…………………………………………………8 分
故 ， ， ……………………………………………………………10 分
则 ， ，
弦 AB 的中点坐标为 ．………………………………………………………………11 分
．…………………………………………………………………6 分
19．（本小题满分 12 分）
解析：（1）依题意， …………………………………………………2 分
故圆心坐标为 ……………………………………………………………………………4 分
半径 ．………………………………………………………………………………………6 分
（2）依题意，设 ，有 ，………………8 分
变形可得 ，则 在直线 上，……………………………9 分
分析可得，若 最小，只需过点 向 作垂线 ，…………………………11 分
与 的交点即为要求的点，联立可得 ，
AD ( )34 25y x− = − 3 5 14 0x y− + =
y
2 2
2 2 1y x
a b
+ =
2, 5c a= =
2 2 2a b c= +
1b =
2
2: 15
yC x+ =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,A B 0 0( , )M x y
=+
+=
55
2
22 yx
xy y 0146 2 =−+ xx
3
2
21 −=+ xx 6
1
21 −=xx
3
1
0 −=x 3
5200 =+= xy
)3
5,3
1(−
3
52
3
2
9
42 =+=AB
2 2( +2) ( 4) 4x y+ − =
( 2,4)−
2r =
0 0( , )P x y 2 2 2 2
0 0 0 0( 2) ( 4) 4x y x y+ + − − = +
0 02 4 0x y− + = P : 2 4 0l x y− + =
PM O l ': 2l y x= −
l 'l 2 4 0
2
x y
y x
− + =
= −
解可得 ，即 的坐标为 ．………………………………………………12 分
20．（本小题满分 12 分）
解析：（1）由抛物线的定义得， ，解得 ，………………………………3 分
所以抛物线的方程为 ，代入点 ，可解得 ．………………………6 分
（2）设直线 的方程为 ， ， ，………………………8 分
联立 ，消元得 ，则 ，………………………10 分
由 ，可得 ，所以 或 （舍去），
即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．…………………………………………………………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
解析：（1）将 x＝c 代入方程 中，由 a2﹣c2＝b2 可得 ，
所以弦长为 ．………………………………………………………………………………2 分
所以 ………………………………………………………………………………4 分
解得 ．………………………………………………………………………………………5 分
所以椭圆 C 的方程为： ．…………………………………………………………6 分
（2）若直线 l 的斜率不存在，则直线的方程为 x＝2，
直线与椭圆只有一个交点，不符合题意；…………………………………………………7 分
4
5
8
5
x
y
= −
=
P 4 8, )5 5
−（
3 42
p+ = 2p =
2 4y x= (3, )T t 2 3t = ±
AB x my n= + 2
1
1( , )4
yA y
2
2
2( , )4
yB y
2 4y x
x my n
=
= +
2 4 4 0y my n− − = 1 2 4y y n= −
5OA OB⋅ = 2
1 2
1 2
( ) 516
y y y y+ = 1 2 20y y = − 1 2 4y y =
4 20n− = − 5n = AB 5x my= +
AB (5,0)
设直线 l 的斜率为 k，若 k＝0，则直线 l 与椭圆只有一个交点，不符合题意，故 k≠0；
所以直线 l 的方程为 y﹣1＝k（x﹣2），即 y＝kx﹣2k+1，．……………………………8 分
直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得：
消去 y 得（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+16k2﹣16k＝0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ，．………………………………………9 分
∵
∴k1+k2＝ + ＝
＝
＝ ＝2k﹣ ，……………………10 分
把 代入上式，
得 ．……………………………………………………12 分
22．（本小题满分 12 分）
解析：（1） 依题意， 轴的右侧动点 到点 的距离与到定直线的距离相等，…1 分
故 的方程为 ．………………………………………………………………………3 分
（2）依题意 ，……………………………………………………………………4 分
①当 不垂直于 轴时，设 的方程是 ，
联立 ，得 ， ，…5 分
y P (1,0)
1C 2 4y x=
1
2
ABS
S MN
=
l x l ( )( )1 0y k x k= − ≠
( )
2
1{
4
y k x
y x
= −
= ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = ( )22 4
1 2 4 4 0k k∆ = + − >
设 ， ，则 ， ；…6 分
联立 得： ，
，…………………………………7 分
设 ， ，
则 ， ，…………………………………………………8 分
，……………………………………9 分
（或 ）
则 ，……………………………………………10 分
②当 垂直于 轴时，易知 ， ，此时 ………11 分
综上有 的取值范围是 ．………………………………………………………12 分
（设 相应给分；用其他方法的相应给分）
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
( )2
1 2 2
4 1
2
k
AB x x k
+
= + + =
( )
2 2
1
3 4 12 0
y k x
x y
= −
+ − =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − =
( )4 2
2 64 4 3 4k k∆ = − + ( ) ( )2 24 12 144 1 0k k− = + >
( )3 3,M x y ( )4 4,N x y
2
3 4 2
8
3 4
kx x k
+ = +
2
3 4 2
4 12
3 4
kx x k
−= +
( ) ( ) ( )2
22
3 4 3 4 2
12 1
1 4 3 4
k
MN k x x x x k
+ = + + − = +
( ) ( )2
3 4 2
12 1
2 3 4
k
MN a e x x k
+
= − + = +
2
1
2 2
2
3 4 4 1 4 ,3 3 3
ABS k
S MN k k
+ = = = + ∈ +∞
l x 4AB =
22 3bMN a
= = 1
2
4
3
ABS
S MN
= =
1
2
S
S
4 ,3
+∞
: 1l x my= +
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