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- 2021-06-16 发布
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成都七中高2020届零诊热身试卷数学(理工类)
第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由得:,,
则,故选B.
2.若,则复数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解:由题意可知: ,
则 .
本题选择D选项.
3.设是定义在上周期为2的奇函数,当时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据的周期为2,则,再根据奇函数求解.
【详解】因为的周期为2,
所以;
又是奇函数,
所以
所以
故选B
【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法:根据奇偶性、周期性把自变量化到有解析式的区间.
4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元
【答案】B
【解析】
试题分析:由题,,所以.
试题解析:由已知,
又因为,
所以,即该家庭支出为万元.
考点:线性回归与变量间的关系.
5.设为中边上的中点,且为边上靠近点的三等分点,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由平面向量基本定理可得:,故选A.
6.执行如图的程序框图,则输出的值是( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易知当时,循环结束;再寻找的规律求解.
【详解】计算过程如下:
2
-1
2
…
0
1
2
3
4
…
1024
是
是
是
是
是
是
否
当时,循环结束,所以输出.
故选D.
【点睛】本题考查程序框图,选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时,要注意寻找规律.
7.等差数列中的、是函数的两个极值点,则( )
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
由,得,由,且是的极值点,得,,∴,则,故选C.
8.以下三个命题正确的个数有( )个.①若,则或;②定义域为的函数,函数为奇函数是的充分不必要条件;③若,且,则的最小值为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据原命题与逆否命题真假关系;②根据奇函数的定义与性质判断;③根据基本不等式判断.
【详解】当且时,成立,
根据原命题与逆否命题真假一致,故①正确;
定义域为的奇函数必有,
定义域为函数且满足不一定是奇函数,如,故②正确;
若,且,
则
当且仅当即时等号成立,故③正确;
故选D.
【点睛】本题考查命题,充分必要条件,及基本不等式.原命题的真假比较难判断时,可借助逆否命题来判断;基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .
9.甲、乙、丙,丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有两位优秀,两位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )
A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】
【分析】
根据甲的所说的话,可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好,再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.
【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好,
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立,即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好,
又乙看了丙的成绩,则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩,
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好,则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.
因此,乙、丁知道自己的成绩,故选:A.
【点睛】本题考查简单的合情推理,解题时要根据已知的情况逐一分析,必要时可采用分类讨论的思想进行推理,考查逻辑推理能力,属于中等题.
10.在正方体中,点为线段的中点,设点在直线上,直线与平面所成的角为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据图像找到直线与平面的夹角范围,再计算对应正弦值得到答案.
【详解】
由题意可得:直线OP于平面所成的角 的取值范围:
不妨取 .
在中, .
的取值范围是 .
故答案为:.
【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值,通过图形找到对应的角度是解题的关键.
11.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式,再利用周期函数求出其最小正周期,可得答案.
【详解】解:
,可得其最小正周期为,
故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等,及三角函数的周期性的,属于中档题型
12.如图,已知,其内部有一点满足,命题最大值有可能超过36度;命题若三边长对应分别为,则;则正确的选项为( )
A. 真假 B. 假假 C. 真真 D. 假真
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算三边关系得到,得到命题q为真命题,根据角度关系得到内角和超过,故命题P为假命题,得到答案.
【详解】方法1:
在中,根据正弦定理得,即 ①
在中,根据正弦定理得,即 ②
由①②得,即.
又,
在中,根据正弦定理得,即得,
∴. ∴为真.
∵,∴不是最长边,∴至少有一个超过,∴内角和超过,所以错误.
方法2:如图
延长交的外接圆于点,则,
∴,∴.
又∵,∴.
∴,即,即.
【点睛】本题考查了命题的判断,计算量较大,意在考查学生的计算能力.
第Ⅱ卷
二、 填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分
13.命题:,,写出命题的否定:_______________
【答案】,
【解析】
【分析】
特称命题改为全称命题,把“”改为“”,“存在”改为“所有”,再否定结论.
【详解】命题是特称命题,它的否定是全称命题,
所以命题的否定为:
,
【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法:先改量词,再否定结论.
14.曲线与直线,所围成封闭图形的面积为,实数满足,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通过定积分计算面积得到,再通过线性规划得到答案.
【详解】曲线与直线,所围成封闭图形的面积为
根据图像知:
当时:为最小值
当时:为最大值
的取值范围是:
故答案为:
【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划,综合性较强,意在考查学生的综合应用能力.
15.已知抛物线与椭圆有相同的焦点,是两曲线的公共点,若,则此椭圆的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标,将P点坐标代入椭圆得到答案.
【详解】设椭圆的左焦点为,由题意抛物线的准线方程为
,
由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ,可得点P的横坐标为 ,
纵坐标为
则有 ,所以 ,
则
故答案为
【点睛】本题考查了抛物线性质,椭圆的离心率,计算出P点坐标是解题的关键.
16.定义在区间上的函数恰有2个不同零点,则实数的取值范围是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
首先的到 这个零点,再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案.
【详解】定义在区间上的函数恰有2个不同零点
易知:是一个零点.
时:
或
且
或
故答案为:或
【点睛】本题考查了函数的零点问题,参数分离法解决问题,意在考查学生的计算能力.
三、解答题(共70分):解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,写在答题卷上
17.在中,角,,所对应的边长分别为,,,已知,
(1)求角;
(2)若,求
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析:(1)化简条件得:,即可得角;
(2)由余弦定理可得,再结合条件可得,进而得,再由正弦定理求得,进而可求面积.
试题解析:
(1)因为,所以,
解得:,舍去,所以,又,所以
(2)在中,因,由余弦定理得:
又,所以,所以,
又因为,由正弦定理
得:,所以.
18.为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;并求出值
(2)估计该校学生身高在之间的概率;
(3)从样本中身高在之间的女生中任选2人,求至少有1人身高在之间的概率。
【答案】(1)男生人数为400;(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解;(2)用样本身高在之间的频数除以样本总数来估计;(3)列举所有情况,根据古典概型的概率公式求解.
【详解】解(1)样本中男生人数为40,由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。
由于以10%的比例抽取,所以样本中女生应该是30人,所以
(2)由统计图知,样本中身高在之间的学生有人,样本容量为70,
所以样本中学生身高在之间的频率,所以由估计该校学身高在之间的概率
(3)样本中女生身高在之间的人数为4,身高在之间的人数为1。
设表示事件“从样本中身高在之间的女生中任选2人,至少有1人身高在之间”,通过列举可得或者正面列举也是.
【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型,属于综合题.分层抽样的要点是总体及各层的抽样比例相同;古典概型列举所有基本事件时要有逻辑顺序,不要遗漏.
19.如图,三棱柱中,侧面为菱形,.
(1)证明:;
(2)若,,,求二面角的余弦值的绝对值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
【分析】
(1)连接,交于点,连接,证明且平分得到答案.
(2)为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立空间直角坐标,计算相应点坐标,计算法向量,利用二面角公式计算得到答案.
详解】证明:(1)连接,交于点,连接,
因为侧面为菱形,
所以,且为与的中点,又,所以平面.
由于平面,故.
又,故.
(2)因为,且为的中点,所以.
又因为,所以,故,从而两两相互垂直,为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立空间直角坐标
因为,所以为等边三角形,又,则
设是平面的法向量,则
,即 所以.
设是平面的法向量,则,同理可取,
,所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线段相等的证明,建立空间直角坐标系解决二面角问题,计算量较大,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20.已知椭圆,与轴负半轴交于,离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,若,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标。
【答案】(1)(2)见证明
【解析】
【分析】
(1)由椭圆与轴交于可得得值,结合与即可求解;(2)由,和两点斜率公式即可分别用表示,表示,再联立直线与椭圆方程,用韦达定理与直线方程代入化简即可求解.
【详解】(1)由题有,. ∴,∴.
∴椭圆方程为.
(2)法1:
,.
又∴,同理
又
∴
∴,此时满足
∴
∴直线恒过定点
法2:设直线的方程为:
则
∴或
∴,同理,
当时,由有. ∴,同理
又
∴,
当时,
∴直线的方程为
∴直线恒过定点,当时,此时也过定点
综上直线恒过定点
【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程,联立直线方程与椭圆方程消元,再利用韦达定理代入是常用方法.
21.设函数,其中.
(1)当时,的零点个数;
(2)若的整数解有且唯一,求的取值范围.
【答案】(1)只有一个零点(2)
【解析】
【分析】
(1)求导,根据导数求函数的单调性,结合极值即可判断;(2)易发现,再分和根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时的取值范围,求交集即可.
【详解】解:(1),当时,,函数单增,
且时函数值都已经大于0了;当时,,函数单减,
且,所以只有一个零点
(2)观察发现,下证除整数0外再无其他整数 ,
①当时,,根据同向不等式乘法得到,因为,
所以,所以函数单增,且趋于时函数值显然很大很大;
但要保证只有唯一整数0,需要,却发现恒成立,
②当时,要保证只有唯一整数0,首先需要,得到
当时,,根据同向不等式得到,又因,
所以,所以函数在单减,且
综上所述:的整数解有且唯一时,
【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法:1、直接求出函数零点;2、根据函数单调性与极值判断;3、转化为两个函数的交点.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.在极坐标系下,已知圆和直线
(1)求圆和直线的直角坐标方程;
(2)当时,求圆和直线的公共点的极坐标.
【答案】(1) 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0
(2)
【解析】
试题分析:(1)根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程(2)先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标,再根据化为极坐标
试题解析:(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,
即ρ2=ρ cos θ+ρ sin θ,
故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.
直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,
则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得,
,解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),
将(0,1)转化为极坐标为,即为所求.