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  • 2021-06-16 发布

山西省实验中学2020届高三上学期10月月考数学(文)试题

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山西省实验中学2019-2020学年第二次月考高三文科 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用平方关系求出的值,再求的值得解.‎ ‎【详解】因为 所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.‎ ‎2.下列函数中存在最大值的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】对于选项A,显然当时,时,‎ ‎,所以没有最大值,所以该选项是错误的;‎ 对于选项B, ,所以函数的最大值是4,所以该选项是正确的;‎ 对于选项C, ,当时,,所以函数没有最大值,所以该选项是错误的;‎ 对于选项D, ,当时,,所以函数没有最大值,所以该选项是错误的.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查函数的图像和性质,考查函数的最值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎3.函数的最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用正弦函数的最小正周期公式求解.‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的最小正周期,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎4.已知a为函数的极小值点,则( )‎ A. -4 B. -2 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数的极值得解.‎ ‎【详解】由题得,‎ 令,‎ 所以函数的增区间为,减区间为(-2,2),‎ 所以函数的极小值点为x=2.‎ 所以a=2.‎ 故选:D ‎【点睛】本题主要考查函数的极值,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.记,那么( )‎ A. B. ‎ C. D. -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:,所以 ‎,故选A.‎ 考点:弦切互化.‎ ‎6.函数在下面哪个区间内是增函数 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求后令可得函数的单调间区间,逐一比较可得正确选项.‎ ‎【详解】令,则,令,可得或,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】一般地,若在区间上可导,且,则在上为单调增(减)函数;反之,若在区间上可导且为单调增(减)函数,则.‎ ‎7.若函数的导函数的图像关于原点对称,则函数的解析式可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数,导函数为奇函数的符合题意.‎ ‎【详解】A中为奇函数,B中 非奇非偶函数,C中为偶函数,D中+1非奇非偶函数.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运算,考查函数的奇偶性.解题关键是掌握奇函数的图象关于原点对称这个性质.‎ ‎8.若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:由公式可得结果.‎ 详解:‎ 故选B 点睛:本题主要考查二倍角公式,属于基础题.‎ ‎9.在中,为边上的中线,点满足,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的加法和减法法则求解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.已知函数最小正周期为,则函数的图象( )‎ A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析:先化简函数f(x)=,再根据周期求出w,再讨论每一个选项的真假.‎ 详解:由题得f(x)=,因为 对于选项A,把代入函数得,所以选项A是错误的;‎ 对于选项B, 把代入函数得,所以选项B是错误的;‎ 对于选项C,令无论k取何整数,x都取不到,所以选项C是错误的.‎ 对于选项D, 令当k=1时,,所以函数的图像关于点对称.‎ 故答案为:D.‎ 点睛:(1)本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断,要灵活,不要死记硬背.‎ ‎11.已知曲线在处的切线方程是,则与分别为  ‎ A. 5, B. ,5 C. ,0 D. 0,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到f'(5)等于直线的斜率﹣1,由切点横坐标为5,‎ 得到纵坐标即f(5).‎ ‎【详解】由题意得f(5)=﹣5+5=0,f′(5)=﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎12.若是函数图像上的动点,已知点,则直线的斜率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数图象上的动点,,利用斜率公式表达直线斜率;令;求函数的最值可得的范围.‎ ‎【详解】是函数图象上的动点,点,‎ 设,,,‎ 则:,则直线斜率;‎ 令;求函数的最值可得的范围,‎ ‎;‎ 当时,,在上单调递增;‎ 当时,,在上单调递减;‎ 所以函数的最小值为:(1);‎ 所以:,‎ 即:,直线斜率的取值范围是,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数应用,函数的单调性以及分类讨论思想,转化思想的应用,考查计算能力.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎13.函数的振幅是________。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数,再求函数的振幅得解.‎ ‎【详解】由题得 ‎=‎ 所以函数的振幅是2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦,考查三角函数的振幅,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.函数的导函数是___________________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求导的法则求解即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查函数求导,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎15.已知非零向量满足,设与的夹角为,则_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,化简即得解.‎ ‎【详解】由得,‎ 所以,‎ 所以 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示,考查数量积的运算法则,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.‎ ‎16.已知非零实数满足,且,则_____‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由已知得,再化简代入得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以 由题得=0‎ 故答案为:0‎ ‎【点睛】本题主要考查同角的三角函数的关系,考查三角恒等变换,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点。‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若角满足,求值。‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由已知条件即可求,则的值可得;(Ⅱ)由已知条件即可求,, ,再由代值计算得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)角的顶点与原点重合,始边与轴非负半轴重合,终边过点,.‎ ‎,,,‎ ‎;‎ ‎(Ⅱ)由,,,‎ 得,,‎ 又由,‎ 得,‎ 则,‎ 或.‎ 的值为或.‎ ‎【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义,考查了和角差角的余弦公式的应用,是中档题.‎ ‎18.已知向量。‎ ‎(Ⅰ)求向量的模的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设,且,若是三角形的一个内角,求。‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性即可得出;(Ⅱ)利用向量的坐标运算、数量积的运算、两角和差的正弦公式即可得解.‎ ‎【详解】(Ⅰ),.‎ ‎,,‎ 当时取等号.‎ 向量的模的最大值是2.‎ ‎(Ⅱ),.‎ 又.‎ ‎,‎ 化为,‎ ‎,即.‎ 因为,所以,所以.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、余弦函数的单调性有界性、两角和差的正弦公式等基础知识与基本技能方法,考查了转化方法和计算能力,属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线的纵截距;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的值域。‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先对函数求导,再求切线的斜率,即得切线的纵截距;(Ⅱ)先通过二次求导得到函数在区间的单调性,再求其值域得解.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题得,‎ 所以切线的斜率,,‎ 所以切线的方程为,‎ 令x=0,得 所以切线纵截距.‎ ‎(Ⅱ)令,‎ 所以,‎ 所以函数g(x)在上单调递减,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以函数f(x)在在上单调递减,‎ 所以,‎ 所以函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数求导和导数几何意义,考查利用导数求函数的最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知函数在 上单调递减,且满足.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)将的图象向左平移个单位后得到的图象,求的解析式.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用辅助角公式把原函数化为,再利用对称轴为得到或,最后根据在上为减函数舎去.(2)利用左加右减求解的解析式.‎ 解析:(1).‎ ‎,则图象关于对称,在时,,,而,或,‎ 时,在上单减,符合题意.‎ 可取.‎ 在时,在上单增,不合题意,舍去.‎ 因此,.‎ ‎(2)由(1)可知,将向左平移个单位得到,.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间上的最大值为,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 单增区间,单减区间(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)在定义域内对函数求导,再根据导数求出单调区间.(Ⅱ)在定义域内对函数求导,对进行分类讨论并判断其单调性,根据在区间,上的单调性求其最大值,并判断其最大值是否为,若是就可求出相应的最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)当时,,‎ ‎,‎ 又,所以当时,,在区间上为增函数,‎ 当时,,在区间上为减函数,‎ 即在区间上为增函数,在区间上为减函数.‎ ‎(Ⅱ),‎ ‎①若,,则,在区间,上恒成立,‎ 在区间,上为增函数,,‎ ‎,舍去;‎ ‎②当时,‎ ‎,,,,在区间,上为增函数,‎ ‎,,舍去;‎ ‎③若,当时,,在区间上为增函数,‎ 当时,,在区间上为减函数 ‎,.‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)若为曲线上的动点,求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先利用极坐标公式求出曲线C的直角坐标方程,再把直线l的参数方程化成普通方程;(Ⅱ)设点P,再求出距离的表达式求出其最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题得,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为 消去直线的参数方程中的t得,‎ 所以直线l的普通方程为.‎ ‎(Ⅱ)设点P,‎ 所以点P到直线l的距离为,‎ 所以 所以 所以时,.‎ 所以点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的互化,考查圆锥曲线参数方程的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎23.已知、、均为正实数.‎ ‎(Ⅰ)若,求证:‎ ‎(Ⅱ)若,求证:‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)先证明,再证明,从而可得结果;(Ⅱ)由,,∴, ∴.‎ 试题解析:(Ⅰ)∵,三式相加可得 ‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 又均为正整数,∴成立. ‎ ‎(Ⅱ):,,∴, ‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,“=”成立.‎ ‎ ‎