2020学年高一数学下册期末直线、平面平行和垂直的判定与性质知识点 14页

2020 学年高一数学下册期末直线、平面平行和垂直的判定与性质知识点 知识点总结 1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线与此平面内的 一条直线平行，则该直线与此 平面平行(线线平行 ⇒ 线面平 行) l∥a，a ⊂ α，l⊄α ⇒ l∥ α 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行(线面 平行 ⇒ 线线平行) l∥α，l ⊂ β，α∩β＝b ⇒ l ∥b 2．判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点)． (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b ⊂ α，a∥b ⇒ a∥α)． (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂ α ⇒ a∥β)． (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α ⇒ a∥β)． 练习 考点一：直线与平面平行的判定 例 1、(2019·陕西西安调研)如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH. 求证：AP∥GH. 证明 如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点， ∴AP∥OM. 又 MO ⊂ 平面 BMD，PA⊄平面 BMD， ∴PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD＝GH，且 PA ⊂ 平面 PAHG， ∴AP∥GH. 练习、如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的中点． (1)证明 AD1∥平面 BDC1； (2)证明 BD∥平面 AB1D1. 证明 (1)∵D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，四边形 ACC1A1 为平行四边形， ∴C1D1∥DA，C1D1＝DA， ∴四边形 ADC1D1 为平行四边形，∴AD1∥C1D. 又 AD1⊄平面 BDC1，C1D ⊂ 平面 BDC1， ∴AD1∥平面 BDC1. (2)连接 D1D. ∵BB1∥平面 ACC1A1，BB1 ⊂ 平面 BB1D1D，平面 ACC1A1∩平面 BB1D1D＝D1D， ∴BB1∥D1D. 又 D1，D 分别为 A1C1AC 中点， ∴BB1＝DD1， ∴四边形 BDD1B1 为平行四边形， ∴BD∥B1D1. 又 BD⊄平面 AB1D1，B1D1 ⊂ 平面 AB1D1， ∴BD∥平面 AB1D1. 练习、如图所示，CD，AB 均与平面 EFGH 平行，E，F，G，H 分别在 BD，BC，AC， AD 上，且 CD⊥AB.求证：四边形 EFGH 是矩形． 证明 ∵CD∥平面 EFGH， 而平面 EFGH∩平面 BCD＝EF， ∴CD∥EF.同理 HG∥CD，∴EF∥HG. 同理 HE∥GF，∴四边形 EFGH 为平行四边形， ∴CD∥EF，HE∥AB， ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角． 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形． 知识点讲解 3.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平 行(线面平行 ⇒ 面面平 行) a∥β，b∥β，a∩b＝ P，a ⊂ α，b ⊂ α ⇒ α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ ＝b ⇒ a∥b 4.判定面面平行的四种方法 (1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)． (2)利用面面平行的判定定理(主要方法)． (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)． (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观 题可用)． 考点练习 考点二：平面与平面平行的判定与性质 例 2、(2019 年南宁月考)如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB， AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点， ∴GH 是△A1B1C1 的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E，F 分别是 AB，AC 的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面 BCHG，BC ⊂ 平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G∥EB 且 A1G＝EB， ∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. 又∵A1E⊄平面 BCHG，GB ⊂ 平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. 又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF ⊂ 平面 EFA， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. [变式探究] 在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1∥平 面 AC1D. 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M， ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形， ∴M 是 A1C 的中点，连接 MD， ∵D 为 BC 的中点， ∴A1B∥DM. ∵A1B ⊂ 平面 A1BD1，DM⊄平面 A1BD1， ∴DM∥平面 A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD， ∴四边形 BDC1D1 为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1 ⊂ 平面 A1BD1， ∴DC1∥平面 A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM ⊂ 平面 AC1D， ∴平面 A1BD1∥平面 AC1D. 训练、如图，ABCD 与 ADEF 均为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，EF 的中点． (1)求证：BE∥平面 DMF； (2)求证：平面 BDE∥平面 MNG. 证明 (1)连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O， 连接 MO，则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO， 又 BE⊄平面 DMF，MO ⊂ 平面 DMF， 所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DE∥GN， 又 DE⊄平面 MNG，GN ⊂ 平面 MNG， 所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点， 所以 MN 为△ABD 的中位线，所以 BD∥MN， 又 MN ⊂ 平面 MNG，BD⊄平面 MNG， 所以 BD∥平面 MNG， 又 DE∩BD＝D，DE ⊂ 平面 BDE，BD ⊂ 平面 BDE， 所以平面 BDE∥平面 MNG. 知识点讲解 5、重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 考点练习 考点三：与线面平行相关的命题真假判断 例 3．(2019·山东日照月考)若 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下 列命题正确的是( ) A． 若α⊥β，m⊥β，则 m∥α B．若 m∥α，n⊥m，则 n⊥α C．若 m∥α，n∥α，m ⊂ β，n ⊂ β，则α∥β D．若 m∥β，m ⊂ α，α∩β＝n，则 m∥n 【答案】D [对于 A，若α⊥β，m⊥β，则 m∥α或 m ⊂ α，故 A 错误；对于 B，若 m∥ α，n⊥m，则 n⊥α或 n ⊂ α或 n 与α相交，故 B 错误；对于 C，若 m∥α，n∥α，m ⊂ β，n ⊂ β， 则α∥β或α、β相交，故 C 错误；对于 D，若 m∥β，m ⊂ α，α∩β＝n，由线面平行的性质定 理，可得 m∥n，故 D 正确．] 练习．(全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为 所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 【答案】A [A 项，作如图①所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD∥AB. ∵QD∩平面 MNQ＝Q，∴QD 与平面 MNQ 相交， ∴直线 AB 与平面 MNQ 相交． B 项，作如图②所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又 AB⊄平面 MNQ， MQ ⊂ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ. C 项，作如图③所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又 AB⊄平面 MNQ， MQ ⊂ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ.D 项，作如图④所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥NQ. ∴AB∥NQ.又 AB⊄平面 MNQ，NQ ⊂ 平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ.] 【知识梳理】 6．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面α 互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直，则该直线 与此平面垂直 a，b ⊂ α a∩b＝O l⊥a l⊥b ⇒ l ⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面 的两条直线平行 a⊥α b⊥α ⇒ a∥b 7．证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理． 8．证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． 考点练习 考点四：直线与平面垂直的判定与性质 例 4．(2019·湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面， 下列给出的条件中一定能推出 m⊥β的是( ) A．α⊥β且 m ⊂ α B．α⊥β且 m∥α C．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且α∥β 【答案】C [由线面垂直的判定定理，可知 C 正确．] 练习、（2019 年潍坊月考）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB＝5， AC＝6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE＝CF＝5 4 ，EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置．OD′＝ 10. 求证：D′H⊥平面 ABCD. 证明 由已知得 AC⊥BD，AD＝CD. 又由 AE＝CF 得AE AD ＝CF CD ，故 AC∥EF. 因此 EF⊥HD，从而 EF⊥D′H. 由 AB＝5，AC＝6 得 DO＝BO＝ AB2－AO2＝4. 由 EF∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1 4 . 所以 OH＝1，D′H＝DH＝3. 于是 D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2， 故 D′H⊥OH. 又 D′H⊥EF，而 OH∩EF＝H，且 OH，EF ⊂ 平面 ABCD，所以 D′H⊥ 平面 ABCD. 知识点讲解 9．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这 两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个 平面的垂线，则这两 l ⊂ β l⊥α ⇒ α⊥β 个平面垂直 性质 定理 两个平面垂直，则一 个平面内垂直于交 线的直线与另一个 平面垂直 α⊥β l ⊂ β α∩β＝a l⊥a ⇒ l ⊥α 10.面面垂直的两种证明方法 (1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面 垂直问题转化为证明平面角为直角的问题． (2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线， 把问题转化成证明线线垂直加以解决． 考点练习 考点五：面面垂直的判定与性质 练习、(北京卷)如图，在三棱锥 PABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC ＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积． (1)证明 因为 PA⊥AB，PA⊥BC，所以 PA⊥平面 ABC. 又因为 BD ⊂ 平面 ABC，所以 PA⊥BD. (2)证明 因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知，PA⊥BD， 所以 BD⊥平面 PAC， 所以平面 BDE⊥平面 PAC. (3)解 因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， 所以 PA∥DE. 因为 D 为 AC 的中点，所以 DE＝1 2 PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC， 所以三棱锥 EBCD 的体积 V＝1 6 BD·DC·DE＝1 3 . [变式探究] 在本例条件下，证明：平面 PBC⊥平面 PAB. 证明 由(1)知 PA⊥BC，又 BC⊥AB 且 PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB， 又∵BC ⊂ 平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAB. 练习、(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°. 以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA. (1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝2 3 DA，求三棱锥 QABP 的 体积． (1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB ⊂ 平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)解 由已知可得， DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝2 3 DA，所以 BP＝2 2. 如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 綊 1 3 DC. 由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC， 所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1. 因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP＝1 3 ×S△ABP×QE＝1 3 ×1 2 ×3×2 2sin 45°×1＝1. 考点六：平行、垂直中关系的证明 例 6、(2018·江苏卷)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. (1)证明 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AB∥A1B1. 因为 AB⊄平面 A1B1C，A1B1 ⊂ 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C. (2)证明 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中， 四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1＝AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B. 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以 AB1⊥BC. 又因为 A1B∩BC＝B，A1B ⊂ 平面 A1BC，BC ⊂ 平面 A1BC，所以 AB1⊥平面 A1BC. 因为 AB1 ⊂ 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC. 练习、(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵ 所在平面垂直，M 是 CD ︵ 上异于 C，D 的点． (1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC； (2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由． (1)证明 由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥CD，BC ⊂ 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD， 故 BC⊥DM. 因为 M 为CD ︵ 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径， 所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM ⊂ 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC. (2)解 当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD. 证明如下：连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP，因 为 P 为 AM 中点， 所以 MC∥OP. 又 MC⊄平面 PBD，OP ⊂ 平面 BPD， 所以 MC∥平面 PBD. 练习、(2019·山东潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝π 2 ， AB＝BC＝1 2 AD＝a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将△ABE 沿 BE 折起到图(2) 中△A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE. (1)证明：CD⊥平面 A1OC； (2)当平面 A1BE⊥平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值． (1)证明 在题图(1)中，因为 AB＝BC＝1 2 AD＝a， E 是 AD 的中点，∠BAD＝π 2 ，所以 BE⊥AC. 即在题图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 从而 BE⊥平面 A1OC. 又 CD∥BE，所以 CD⊥平面 A1OC. (2)解 由已知，平面 A1BE⊥平面 BCDE， 且平面 A1BE∩平面 BCDE＝BE， 又由(1)可得 A1O⊥BE，所以 A1O⊥平面 BCDE. 即 A1O 是四棱锥 A1BCDE 的高． 由题图(1)知，A1O＝AO＝ 2 2 AB＝ 2 2 a，平行四边形 BCDE 的面积 S＝BC·AB＝a2， 从而四棱锥 A1BCDE 的体积为 V＝1 3 S·A1O＝1 3 ×a2× 2 2 a＝ 2 6 a3. 由 2 6 a3＝36 2，得 a＝6.