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- 2021-06-16 发布
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数学（文科）试卷
第Ⅰ卷 选择题
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据并集求法直接求出结果.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选C.
【点睛】考查并集的求法，属于基础题.
2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
【答案】B
【解析】
分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
∴z的共轭复数为1﹣i.
故选B．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．
3.函数的定义域为（ ）
A [，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）
C. [，+∞） D. （3，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】因为函数，
解得且；
函数的定义域为, 故选A．
【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.
4.在等差数列中，若，则（ ）
A. 8 B. 12 C. 14 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】根据题意，故只需把函数的图象
上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
6.设且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
项，由得到，则，故项正确；
项，当时，该不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误；
项，当，时，，即不等式不成立，故项错误．
综上所述，故选．
7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )
A. B. 1 C. 2 D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.
【详解】若实数x，y满足条件，目标函数
如图：
当时函数取最大值为
故答案选C
【点睛】求线性目标函数的最值:
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.
8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.
【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．
因为，解得，，解得．故选B．
【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.
9.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A. 1 B. -3 C. 1或 D. -3或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为D
【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
10.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．
【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．
【点睛】本题考查程序框图，是基础题．
11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.
【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.
【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.
12.关于的不等式的解集是，则关于的不等式
的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集.
【详解】由解集为，可知且，
令，解得，，
因为，所以的解集为，
故选：A.
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.若，且，则的最小值是______.
【答案】8
【解析】
【分析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】因为（即 取等号），
所以最小值为.
【点睛】已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
14.已知向量，，若，则实数______.
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】由题意得：
，解得：
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．
【答案】300．
【解析】
【分析】
先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.
【详解】由题意，高三学生占的比例为，
所以应从高三年级学生中抽取的人数为.
【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16.已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.
【详解】，，解得：，
即在处的切线斜率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
三．解答题（共70分,解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分.
17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，角为锐角，的面积为.
（1）求角的大小；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）7.
【解析】
分析：（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
详解：（1）∵ ，
∴，
∵为锐角，
∴；
（2）由余弦定理得：
.
点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
18.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而， 得证线面平行；
（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．
【详解】（1）证明：取PD中点G，连结
为的中位线，且，
又且，且，
∴EFGA是平行四边形，则，
又面，面，
面；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面面，为正三角形，
面，且，
连交于，可得，
，则，即．
连，又，
可得平面，则，
即是二面角的平面角，
在中，
∴，即二面角的正切值为．
【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
19.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
【详解】解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率约
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件，
因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，
所以
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，
所以
所以可以认此次冰雪培训活动有效．
【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．
20.已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋8＝0．
y1＋y2＝4m，y1y2＝8． …6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又， ②
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．
所以，直线l的方程为，或． …12分
考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.
21.已知函数，当时，有极大值3；
（1）求，的值；
（2）求函数的极小值及单调区间.
【答案】（1）；
（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；
（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.
【详解】（1）由题意，函数，则，
由当时，有极大值，则，解得.
（2）由（1）可得函数的解析式为，
则，
令，即，解得，
令，即，解得或，
所以函数的单调减区间为，递增区间为，
当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.
【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.
【答案】（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.
【解析】
【分析】
（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.
【详解】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知．
（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可．
【详解】因为不等式有实数解，所以
因为，所以
故．
①当时，，所以，故
②当时，，所以，故
③当时，，所以，故
综上，原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用．
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