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  • 2021-06-16 发布

广东省实验中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

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www.ks5u.com 广东实验中学2018-2019学年(下)高一级模拟考试 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案:不能答在试卷上。‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷收问。‎ 第一部分选择题(60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.关于的不等式的解集为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式化为,等价于,解出即可。‎ ‎【详解】由原式得且,解集为,故选:B。‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法,解分式不等式时,要求右边化为零,等价转化如下:‎ ‎;;‎ ‎;.‎ ‎2.三边,满足,则三角形是( )‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式得出,将三个不等式相加得出,由等号成立的条件可判断出的形状。‎ ‎【详解】为三边,,由基本不等式可得,‎ 将上述三个不等式相加得,当且仅当时取等号,‎ 所以,是等边三角形,故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查基本不等式的应用,利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用,考查推理能力,属于中等题。‎ ‎3.设是等差数列的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列,并将和都用表示,可得出的值。‎ ‎【详解】根据等差数列的性质,若数列为等差数列,则也成等差数列;又,则数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列片断和的性质,再利用片断和的性质时,要注意下标之间的倍数关系,结合性质进行求解,考查运算求解能力,属于中等题。‎ ‎4.若直线:与直线:平行 ,则的值为( )‎ A. 1 B. 1或2 C. -2 D. 1或-2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:因为直线:与直线:平行 ,所以或-2,又时两直线重合,所以。‎ 考点:两条直线平行的条件。‎ 点评:此题是易错题,容易选C,其原因是忽略了两条直线重合的验证。‎ ‎5.如图,在中,,是边上的高,平面,则图中直角三角形的个数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面垂直得出一些相交直线垂直,以及找出题中一些已知的相交直线垂直,由这些条件找出图中的直角三角形。‎ ‎【详解】①平面,,都是直角三角形;‎ ‎②是直角三角形;‎ ‎③是直角三角形;‎ ‎④由得平面,可知:也是直角三角形.‎ 综上可知:直角三角形的个数是个,故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查直角三角形个数的确定,考查相交直线垂直,解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到,考查推理能力,属于中等题。‎ ‎6.角的终边在直线上,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线的斜率得出,再利用诱导公式将分式化为弦的一次分式齐次式,并在分子分母中同时除以,利用弦化切的思想求出所求代数式的值。‎ ‎【详解】角的终边在直线上,,‎ 则,故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式化简求值,考查弦化切思想的应用,弦化切一般适用于以下两个方面:‎ ‎(1)分式为角弦的次分式齐次式,在分子分母中同时除以,可以弦化切;‎ ‎(2)代数式为角的二次整式,先除以,转化为角弦的二次分式其次式,然后在分子分母中同时除以,可以实现弦化切。‎ ‎7.已知三棱锥,侧棱两两垂直,且,则以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三棱锥三条侧棱的关系,得到球与三棱锥的重叠部分为球的,然后利用球体的体积公式进行计算。‎ ‎【详解】三棱锥,侧棱两两互相垂直,且,‎ 以为球心且为半径的球与三棱锥重叠部分的为球的,‎ 即对应的体积为,故选:B。‎ ‎【点睛】本题主要考查球体体积公式的应用,解题的关键就是利用三棱锥与球的关系,考查空间想象能力,属于中等题。‎ ‎8.已知是圆上的三点,( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由等式,得出,并计算出,以及与的夹角为,然后利用平面向量数量积的定义可计算出的值。‎ ‎【详解】由于是圆上三点,,‎ 则,,故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算,解题的关键就是要确定向量的模和夹角,考查计算能力,属于中等题。‎ ‎9.如图,将边长为的正方形沿对角线折成大小等于的二面角分别为的中点,若,则线段长度的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接和,由二面角的定义得出,由结合为的中点,可知是的角平分线且,由的范围可得出的范围,于是得出的取值范围。‎ ‎【详解】连接,‎ 可得,即有为二面角的平面角,‎ 且,在等腰中,,‎ 且,,‎ 则,故答案为:,故选:A。‎ ‎【点睛】本题考查线段长度的取值范围,考查二面角的定义以及锐角三角函数的定义,解题的关键在于充分研究图形的几何特征,将所求线段与角建立关系,借助三角函数来求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题。‎ ‎10.已知圆关于直线成轴对称图形,则的取值范围  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆关于直线成轴对称图形得,根据二元二次方程表示圆得,再根据指数函数的单调性得的取值范围.‎ ‎【详解】解:圆关于直线成轴对称图形,‎ 圆心在直线上,‎ ‎,解得 又圆的半径,,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.‎ ‎11.已知函数,正实数是公差为正数的等差数列,且满足,若实数是方程的一个解,那么下列四个判断:① ;②;③;④中一定不成立的是( )‎ A. ① B. ②③ C. ①④ D. ④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断出函数的单调性,分两种情况讨论:①;②。结合零点存在定理进行判断。‎ ‎【详解】在上单调减,值域为,又。‎ ‎(1)若,由知,③成立;‎ ‎(2)若,此时,①②③成立。‎ 综上,一定不成立的是④,故选:D。‎ ‎【点睛】本题考查零点存在定理的应用,考查自变量大小的比较,解题时要充分考查函数的单调性,对函数值符号不确定的,要进行分类讨论,结合零点存在定理来进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题。‎ ‎12.已知实数满足,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况讨论,在时,得出所求代数式等于零;在时,在所求分式中分子分母同时除以,得出,设,转化为直线与圆有公共点时,求出的取值范围,再结合对勾函数的单调性求出所求代数式的最大值。‎ ‎【详解】当时,,当时,,‎ 令,则,‎ 可先求过点与动点的直线的斜率的取值范围.‎ 动点落在圆上,若与圆相切,则有,‎ 解得,又过点且与圆相切的直线还有,‎ ‎,由函数单调性,当时单调递减,‎ 当时单调递增,当时有最小值,‎ 即的最小值为的最大值为,故选:B。‎ ‎【点睛】本题考查双勾函数求最值,考查直线与圆的位置关系,利用直线与圆的位置关系求出的取值范围是解题的关键,另外就是双勾函数单调性的应用,综合性较强,属于难题。‎ 第二部分非选择题(90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.在等比数列中,已知,则=________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14.正方体中,分别是的中点,则所成的角的余弦值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点,由得出异面直线与所成的角为,然后在由余弦定理计算出,可得出结果。‎ ‎【详解】取的中点,由且可得为所成的角,‎ 设正方体棱长为,中利用勾股定理可得,‎ 又,由余弦定理可得,‎ 故答案为:。‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线找出异面直线所成的角,再选择合适的三角形,利用余弦定理或锐角三角函数来计算,考查空间想象能力与计算能力,属于中等题。‎ ‎15.已知为直线上一点,过作圆的切线,则切线长最短时的切线方程为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切线长最短时,取最小值找点:即过圆心作直线的垂线,求出垂足点。就切线的斜率是否存在分类讨论,结合圆心到切线的距离等于半径得出切线的方程。‎ ‎【详解】设切线长为,则,所以当切线长取最小值时,取最小值,‎ 过圆心作直线的垂线,则点为垂足点,此时,直线的方程为,‎ 联立,得,点的坐标为.‎ ‎①若切线的斜率不存在,此时切线的方程为,圆心到该直线的距离为,合乎题意;‎ ‎②若切线的斜率存在,设切线的方程为,即.‎ 由题意可得,化简得,解得,‎ 此时,所求切线的方程为,即.‎ 综上所述,所求切线方程为或,‎ 故答案为:或。‎ ‎【点睛】本题考查过点的圆的切线方程的求解,考查圆的切线长相关问题,在过点引圆的切线问题时,要对直线的斜率是否存在进行分类讨论,另外就是将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径长,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题。‎ ‎16.下列说法中:‎ ‎①若,满足,则的最大值为;‎ ‎②若,则函数的最小值为 ‎③若,满足,则的最小值为 ‎④函数的最小值为 正确有__________.(把你认为正确的序号全部写上)‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①令,得出,再利用双勾函数的单调性判断该命题的正误;‎ ‎②将函数解析式变形为,利用基本不等式判断该命题的正误;‎ ‎③由得出,得出 ‎,利用基本不等式可判断该命题的正误;‎ ‎④将代数式与代数式相乘,展开后利用基本不等式可求出 的最小值,进而判断出该命题的正误。‎ ‎【详解】①由得,则,则,‎ 设,则,则,则上减函数,则上为增函数,‎ 则时,取得最小值,当时,,故的最大值为,错误;‎ ‎②若,则函数,‎ 则,‎ 即函数的最大值为,无最小值,故错误;‎ ‎③若,满足,则,则,‎ 由,得,‎ 则 ‎ ‎,‎ 当且仅当,即得,即时取等号,‎ 即的最小值为,故③正确;‎ ‎④‎ ‎,‎ 当且仅当,即,即时,取等号,‎ 即函数的最小值为,故④正确,故答案为:③④。‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式来判断命题的正误,利用基本不等式需注意满足“一正、二定、三相等”这三个条件,同时注意结合双勾函数单调性来考查,属于中等题。‎ 三、解答题 本大题共6小题,共70分. ‎ ‎17.设数列的前项和为,若且 求 若数列满足,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由时,,再验证适合,于是得出,再利用等差数列的求和公式可求出;‎ ‎(2)求出数列的通项公式,判断出数列为等比数列,再利用等比数列的求和公式求出数列的前项和。‎ ‎【详解】(1)当且时,;‎ 也适合上式,所以,,则数列为等差数列,‎ 因此,;‎ ‎(2),且,所以,数列是等比数列,且公比为,‎ 所以。‎ ‎【点睛】本题考查数列的前项和与数列通项的关系,考查等差数列与等比数列的求和公式,考查计算能力,属于中等题。‎ ‎18.设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ‎ ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由条件利用正弦定理求得 sinB的值,可得B的值 ‎(Ⅱ)使用正弦定理用sinA,sinC表示出a,c,得出a+c关于A的三角函数,根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值.‎ ‎【详解】解(Ⅰ)锐角 ‎ 又 ‎ ‎,,‎ 由正弦定理得 , ‎ ‎∴ ‎ ‎ . ∴ ‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查正弦定理,余弦定理的应用,基本不等式的应用,属于基础题.‎ ‎19.已知四棱锥的底面是菱形,底面,是上的任意一点 求证:平面平面 设,求点到平面的距离 在的条件下,若,求与平面所成角的正切值 ‎【答案】(1)见解析(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由平面,得出,由菱形的性质得出,利用直线与平面垂直的判定定理得出平面,再利用平面与平面垂直的判定定理可证出结论;‎ ‎(2)先计算出三棱锥的体积,并计算出的面积,利用等体积法计算出三棱锥的高,即为点到平面的距离;‎ ‎(3)由(1)平面,于此得知为直线与平面所成的角,由,得出平面,于此计算出,然后在中计算出即可。‎ ‎【详解】(1)平面,平面,,‎ 四边形是菱形,,‎ 平面;‎ 又平面,所以平面平面.‎ ‎(2)设,连结,则,‎ 四边形是菱形,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 设点到平面的距离为平面,,‎ ‎,解得,‎ 即点到平面距离为;‎ ‎(3)由(1)得平面,为与平面所成角,‎ 平面,‎ ‎,与平面所成角的正切值为。‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明、点到平面的距离以及直线与平面所成的角,求解点到平面的距离,常用的方法是等体积法,将问题转化为三棱锥的高来计算,考查空间想象能力与推理能力,属于中等题。‎ ‎20.两地相距千米,汽车从地匀速行驶到地,速度不超过千米小时,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分两部分组成:可变部分与速度的平方成正比,比例系数为,固定部分为元,‎ ‎(1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函效:并求出当时,汽车应以多大速度行驶,才能使得全程运输成本最小;‎ ‎(2)随着汽车的折旧,运输成本会发生一些变化,那么当,此时汽车的速度应调整为多大,才会使得运输成本最小,‎ ‎【答案】(1),当汽车以的速度行驶,能使得全称运输成本最小;‎ ‎(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算出汽车的行驶时间为小时,可得出全程运输成本为,其中,代入,,利用基本不等式求解;‎ ‎(2)注意到时,利用基本不等式取不到等号,转而利用双勾函数的单调性求解。‎ ‎【详解】(1)由题意可知,汽车从地到地所用时间为小时,‎ 全程成本为,.‎ 当,时,,‎ 当且仅当时取等号,‎ 所以,汽车应以的速度行驶,能使得全程行驶成本最小;‎ ‎(2)当,时,,‎ 由双勾函数单调性可知,当时,有最小值,‎ 所以,汽车应以的速度行驶,才能使得全程运输成本最小。‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用,解题的关键就是建立函数模型,得出函数解析式,并通过基本不等式进行求解,考查学生数学应用能力,属于中等题。‎ ‎21.已知函数 当时,求函数的定义域;‎ 若存在使关于的方程有四个不同的实根,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将问题转化为解不等式,即,然后就与的大小进行分类讨论,求出该不等式的解,即可得出函数的定义域;‎ ‎(2),将问题转化为:关于的方程有两个不同的正根,得出,两根之和为正、两根之积为正,列出不等式组可解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由题意,,即,‎ 解方程,得,.‎ ‎①当时,即当时,解不等式,得或,‎ 此时,函数的定义域为;‎ ‎②当时,即当时,解不等式,得,‎ 此时,函数的定义域为;‎ ‎③当时,即当时,解不等式,解得或,‎ 此时,函数的定义域为;‎ ‎(2)令,‎ 则关于的方程有四个不同的实根可化为,‎ 即有两个不同的正根,则,‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查含参不等式的求解,考查函数的零点个数问题,在求解含参不等式时,找出分类讨论的基本依据,在求解二次函数的零点问题时,应结合图形找出等价条件,通过列不等式组来求解,考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想,属于中等题。‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知以点为圆心的圆过原点,不过圆心的直线与圆交于两点,且点为线段的中点,‎ 求的值和圆的方程:‎ 若是直线上的动点,直线分别切圆于两点,求证:直线恒过定点;‎ 若过点的直线与圆交于两点,对于每一个确定的,当的面积最大时,记直线的斜率的平方为,试用含的代数式表示.‎ ‎【答案】(1),圆的方程为(2)见解析(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由垂直于直线得出,利用斜率公式可求出的值,可得出圆的方程,再将点的坐标代入直线的方程可求出的值;‎ ‎(2)设点,可得出以为直径的圆的方程,直线是以为直径的圆和圆的公共弦,将两圆方程作差可得出直线的方程,根据直线的方程得出该直线所过的定点;‎ ‎(3)设直线的方程为,的面积为,则,当时,取到最大值,此时点到直线的距离为,由点到直线的距离公式得出 ‎,解得,然后分类讨论即可求出答案。‎ ‎【详解】(1)由题意,,即,解得,‎ 圆心坐标为,半径为,圆的方程为,‎ 点在直线上,;‎ ‎(2)证明:设,则的中点坐标为,‎ 以为直径的圆的方程为,‎ 即,联立,‎ 可得所在直线方程为:,直线恒过定点;‎ ‎(3)由题意可设直线的方程为的面积为,‎ 则,‎ 当最大时,取得最大值,‎ 要使,只需点到直线的距离等于,即 整理得:,解得 ‎①当时,最大值是,此时,‎ 即;‎ ‎②当时,,‎ 是上减函数,当最小时,最大,‎ 过作于,则,当最大时,最小,‎ 且,‎ 当最大时,取得最大值,即最大,‎ 当时,取得最大值,‎ 当的面积最大时,直线的斜率,‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查了点到直线距离公式的应用,考查分类讨论数学思想,在求解直线与圆的综合问题时,应将问题转化为圆心到直线的距离,结合图象进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题。‎ ‎ ‎

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