陕西省西安市曲江第一中学2020届高三下学期3月第五次模考理科数学试题 26页

西安市曲江第一中学2019-2020学年高三第五次模考 数学试题（理科）‎ 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解法可得集合，然后根据对数不等式的解法可得集合，最后根据交集的概念，可得结果.‎ ‎【详解】由，‎ 则 由 或 所以或 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查一元二次不等式解法以及对数不等式解法，还考查了交集的概念，重在于计算，属基础题.‎ ‎2.已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，已知，，则“//”是“//”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数形结合，举出反例，可得结果.‎ ‎【详解】//不能推出//，如图 ‎，则相交 ‎//不能推出//，如图 ‎，与异面 所以“//”是“//”的既不充分也不必要条件 故选：D ‎【点睛】本题考查线线、面面之间的关系，结合图形形象直观，通过反例，言简意赅，属基础题.‎ ‎3.2019年我国国内生产总值增长率为6.1%，达到了990865亿元，实现了新的跨越，2020年我们将全面建成小康社会，实现第一个一百年的奋斗目标.如果从2020年初开始，以后每年的国内生产总值都按得增长率6.1%增长，那么2021年的国内生产总值为（ ）‎ A. 105.13万亿元 B. 111.54万亿元 C. 118.35万亿元 D. 116.2万亿元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据2020年初国内生产总值为99.0865万亿，然后计算99.0865（1+6.1%），可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：2020年初国内生产总值为99.0865万亿 则2021年的国内生产总值为99.0865（1+6.1%）=105.13万亿元 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列在实际应用中的应用，理清思路，审清题意，属基础题.‎ ‎4.曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得，然后将进行化简，将弦化切，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：，则 所以，由 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查曲线在某点处的导数的几何意义以及二倍角正弦公式，还考查齐次化化简，弦切互换，重在于计算，属基础题.‎ ‎5.陕西洛川苹果享誉国内外，据统计：陕西洛川苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）‎ 附：若，则，‎ A. 0.0215 B. ‎0.0430 ‎C. 0.8185 D. 0.6826‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原则以及原则，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：直径在内的概率为，‎ 则 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查正态分布的应用，考验分析能力以及计算能力，属基础题.‎ ‎6.已知，则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据利用等价转化思想，比较大小，即比较之间大小，利用作商比较法并构造函数，研究性质可得大小，结合，最后可得结果.‎ ‎【详解】由，即 又，所以最小 比较大小，即比较大小 又，则 令，‎ 令，则 所以当时，‎ 当时，‎ 所以函数在单调递增，在单调递减 所以且，‎ 所以，所以 故选：D ‎【点睛】本题考查利用构造函数比较指数式之间的大小关系，比较式子大小的常用的方法：比较法，函数的单调性等，有时候也会借助中间值0，1，属中档题.‎ ‎7.设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，然后化简，使用换元法，计算的最小值即可.‎ ‎【详解】由，令 令，可得的一条等值线 如图 当直线沿着的负半轴移动时，‎ 可得取最小值的最优解点 所以，所以 故选：C ‎【点睛】本题考查线性规划的问题，一般步骤：（1）画出可行域；（2）利用目标函数的一条等值线，且理解或含式子的意义，找到目标函数取最值的最优解，属基础题.‎ ‎8.过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与抛物线相交于，两点，且，则抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得直线方程，然后与抛物线方程联立并使用韦达定理可得，然后根据，可得，最后可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：直线方程为 则 所以 由 所以抛物线准线的方程为：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的应用，常常联立方程并使用韦达定理，掌握抛物线的定义，考验计算能力，属基础题.‎ ‎9.已知函数，下列关于函数的描述错误的是（ ）‎ A. 函数是偶函数 B. 函数的最小值为 C. 函数在单调递增 D. 是的对称轴 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用逐一验证法，根据余弦函数的性质，得到在中，函数的表达式，然后可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：函数的定义域为 所以，所以函数是偶函数，故A正确 当时，‎ 根据函数是偶函数，‎ 则函数的最小值为，故B正确 当时，‎ 所以函数在单调递增，故C正确 是的对称轴，不是，故D错 故选：D ‎【点睛】本题考查余弦函数的综合应用，关键在于去掉绝对值，根据函数的奇偶性，只需看一部分即可，考验分析能力以及逻辑推理能力，属中档题.‎ ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线在第一象限交于点，另一条渐近线恰好过的中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用数形结合，作轴交于点，并计算，然后使用勾股定理，，结合，可得结果.‎ ‎【详解】作轴交于点，如图 由题可知：，‎ 又，分别为，的中点，所以//‎ 所以可知为线段的中垂线 由，‎ 则 由，所以，则 所以，‎ 则，又 所以 在中，有 所以，则 由，所以 则或（舍）‎ 所以 故选：C ‎【点睛】本题考查双曲线离心率，离心率的值以及范围是热点内容，关键在于找到之间的关系，考验分析能力以及计算能力，属中档题.‎ ‎11.已知定义在上的函数有一个最大值1和一个最小值-1，则正实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 使用整体法，可得的范围，然后根据正弦函数的图象可知，的范围，简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】由，所以 由题可知： ，‎ 所以，故的最小值为 故选：D ‎【点睛】本题考查正弦型函数的应用，关键在于掌握基础函数正弦函数的图象和性质，同时结合整体法的使用，考验分析问题的能力，属中档题.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，使用换元法，令，并构造函数，通过的范围，可得结果.‎ ‎【详解】当时，，则 令，则 令，则 所以函数在递增，在递减，‎ 则，且当时，‎ 函数图象如图，‎ 关于的方程有四个不等实根 令，‎ 则①，‎ 所以 ‎②，‎ 由 则函数一个根在，另外一个根在中 所以 综上所述：‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.‎ 二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）‎ ‎13.已知向量的夹角为60°，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的模长计算公式，代值计算即可求得.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量模长的计算公式，属简单计算题.‎ ‎14.某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去三个贫困县调研“精准扶贫”政策的落实情况，每个县至少安排一个人，则学生甲、乙被安排到同一个县城有_________种不同的安排方式？‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用捆绑法，先将甲、乙作为一组，然后按甲、乙这一组2个人，或甲、乙这一组3个人分情况进行分组，最后全排列，可得结果.‎ ‎【详解】由题可知：每个县至少安排一人，故将5人分成3组 又甲、乙在一起，则当甲、乙这一组2人时：‎ 当甲、乙这一组3人时：‎ 所以总共有种不同的安排方式 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查排列组合知识，重在审清题意，简单计算，属基础题.‎ ‎15.已知直角梯形中，//，，，现将沿折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用数形结合，分别取的中点，利用线线、线面关系结合面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理可得平面，找到球心，可得半径，最后可得结果.‎ ‎【详解】如图，分别取的中点 由题可知：，又平面平面 平面平面，平面 所以平面，又平面 所以，‎ 在图1中，，//‎ 所以 由，，‎ 所以，‎ 则 又，所以 又//，则 又平面 所以平面，‎ 又分别是的外心，‎ 可知外接球的球心分别在过垂直平面，平面的垂线上 所以球心为，半径为 故三棱锥的外接球的体积为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥外接球的体积，关键在于找到球心以及半径，熟练掌握线线、线面、面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.‎ ‎16.已知中，角对的边分别为，且，求________，求的最大值_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据余弦定理，可得，然后使用正弦定理并化简，可得，再次使用余弦定理，，化简可得，使用均值不等式，可得结果.‎ ‎【详解】由，则 又，则 所以，即 所以，‎ 又 则 所以 即，所以 由 即 当且仅当时，取等号 又，所以，‎ 所以的最大值为 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于熟悉公式以及计算，考验分析能力与计算能力，同时考查了基本不等式的应用，知识之间的交叉应用，属中档题.‎ 三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.疫情期间，为了更好地了解学生线上学习的情况，某兴趣小组在网上随机抽取了100名学生对其线上学习满意情况进行调查，其中男女比例为2∶3，其中男生有24人满意，女生有12人不满意.‎ ‎（1）完成列联表，并回答是否有95%把握认为“线上学习是否满意与性别有关”‎ 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 ‎（2）从对线上学习满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在6名学生中抽取3名，记抽到的女生人数为，求的分布列和数学期望.‎ 参考公式：附：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.842‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，有95%把握认为“线上学习是否满意与性别有关”（2）分布列见解析，数学期望为2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据男女比例，可得男生、女生人数，然后简单计算可得表中数据，最后根据公式计算，可得结果.‎ ‎（2）计算出学习满意的学生中男生、女生抽出的人数，然后写出所有的可能取值并结合组合知识得出相应的概率，并列出分布列最后根据期望公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由男女比例为2∶3，所以男生40人，女生60人 所以 满意 不满意 合计 男生 ‎24‎ ‎16‎ ‎40‎ 女生 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 合计 ‎72‎ ‎28‎ ‎100‎ 所以有95%把握认为“线上学习是否满意与性别有关”‎ ‎（2）对线上学习满意的学生男生抽取了：人 女生抽取了：人 所以所有的可能取值为：1，2，3‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【点睛】本题考查卡方的计算以及离散型随机变量的分布列和期望，掌握公式的计算，关键在于计算，基础题.‎ ‎18.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得线面垂直平面，然后根据面面垂直的判定定理，可得结果.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式，简单计算可得结果.‎ ‎【详解】（1）由为等腰直角三角形，‎ 为的中点，所以 又为正三角形，所以 又,平面 所以平面，又平面 所以平面平面 ‎（2）由，所以，又 所以，则，又 ‎,平面，所以平面 则建立如图所示空间直角坐标系 ‎，，‎ ‎，‎ 平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为 所以，令 所以 则二面角的余弦值为 ‎【点睛】本题考查面面垂直以及利用向量的方法求解二面角的余弦值，识记线线、线面、面面之间的关系，判定定理以及性质定理，同时掌握向量的方法在空间中的使用，属中档题.‎ ‎19.已知数列中，且满足.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列.‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简式子，可得，然后根据等比数列的概念可得结果.‎ ‎（2）根据（1）的条件，计算，然后使用错位相减法求和，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题可知：，则 又，所以 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列 ‎（2）由（1）可知：‎ 所以①‎ 则②‎ ‎①-②得：‎ 所以，‎ 化简可得 ‎【点睛】本题考查等比数列的定义以及错位相减法求和，熟练常用的求和方法：裂项相消法、错位相减法、公式法等，属基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎（2）若函数有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案见详解；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算，讨论以及，然后根据 的符号得出原函数的单调性.‎ ‎（2）根据（1）的结果，利用函数的极值的符号，可得结果.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为 由，‎ 所以 由，‎ 当时，则 所以函数在单调递增 当时，‎ 令，则或 令，则 ‎ 所以函数在单调递增，在单调递减 当时 令，则或 令，则 所以函数在单调递增，在单调递减 ‎（2）由（1）可知 当时，‎ 若时，；若时，‎ 所以函数在单调递减，在单调递增 且，由函数有两个零点 所以 当时，函数在单调递增，不符合题意 当时，‎ 函数在单调递增，在单调递减 函数的极大值为 令 则，由，所以 所以在单调递增，‎ 所以 故函数有1个零点，不符合题意 当时，‎ 函数在单调递增，在单调递减 函数的极大值为 所以函数有1个零点，不符合题意 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，掌握导函数与原函数的关系并结合分类讨论的方法的使用，考验了对问题的分析能力以及计算能力同时考验极强的逻辑推理能力，属难题.‎ ‎21.已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）若过的直线与椭圆交于，两点，记，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点坐标，可得，然后把点代入椭圆方程，并结合可得椭圆方程.‎ ‎（2）巧设直线方程，然后联立椭圆方程并结合韦达定理，用参数表示出，然后根据不等式的解法，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题可知：，由，则 所以椭圆方程为，又在椭圆上 所以，解得，所以 所以椭圆的方程为 ‎（2）设直线方程， ‎ 则 所以 ‎ 又，则 所以 所以 则 当时，‎ 由，所以，所以 则，则 当时，，符合题意 所以 ‎【点睛】本题考查椭圆应用，求解椭圆的方程关键在于找到之间关系，直线与圆锥曲线的应用，常常联立方程并结合韦达定理的使用，细心计算，化繁为简，属难题.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，直线与曲线相交于，两点，线段的中点为，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线过定点可得直线的普通方程，然后根据，可得曲线 的直角坐标方程 ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得的一元二次方程，然后使用韦达定理，结合，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由（为参数，）‎ 所以 所以直线的普通方程为 又 由 所以，即 所以曲线的直角坐标方程 ‎（2）设点，所对应的参数为 将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程 则 化简可得：‎ 所以 化简可得：‎ 所以 所以，由，所以 所以，则 所以直线的斜率为 ‎【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程以及普通方程之间的转化以及应用，尤其掌握直线参数方程中的参数的几何意义，考验逻辑推理能力以及计算能力，属中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法，简单计算，然后取各段求得结果的并集即可.‎ ‎（2）计算值域，根据题意可得，然后简单计算，可得结果.‎ ‎【详解】（1）由，且 所以①‎ ‎②‎ ‎③‎ 综上所述：‎ ‎（2）由，，使成立，‎ 所以 如图：‎ 所以 又 所以 所以 ‎【点睛】本题考查零点分段法求解绝对值不等式，以及绝对值三角不等式的应用，考验分析能力，属中档题.‎