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- 2021-06-16 发布
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射洪中学高三第二学月考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题(60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B.C. D.
2.已知复数,则
A. B.3 C.1 D.
3.命题“”的否定是
A. B.
C. D.
4.等差数列的前项和为,已知,,则的值等于
A. B. C. D.
5.在△ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则=
A. B. C. D.
6.已知,则
A. B. C. D.
7.函数为奇函数的充要条件是
A. B. C. D.
8.某班有60名学生,一次考试的成绩服从正态分布,若,估计该班数学成绩在100分以上的人数为( )
A.12 B.20 C.30 D.40
9.函数在区间上的最大值与最小值的差记为,若 恒成立,则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知是上的偶函数,且在上单调递减,则不等式的解集为
A. B. C. D.
11.已知三棱锥中,,,,若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上,则此球的体积为
A. B. C. D.
12.双曲线的右焦点为,为双曲线上的一点,且位于第一象限,直线分别交于曲线于两点,若为正三角形,则直线的斜率等于
A. B. C. D.
第II卷 非选择题(90分)
二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设函数,则____________.
14.若,满足约束条件则当取最小值时,的值为__________.
15.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有
项的系数和为256,则含的项的系数为_________.
16.如图所示,在平面四边形中,,,,,则四边形的面积的最大值是 .
三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)在中,角的对边分别为,且.
(I)求角的大小;
(II)若,的面积为,求.
18.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(Ⅰ)请将右面的列联表补充完整;
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
5
女
10
合计
50
(Ⅱ)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(Ⅲ)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.
下面的临界值表供参考:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式 其中)
19.(12分)在五面体中,, ,
,,平面平面.
(I) 证明: 直线平面;
(II) 已知为棱上的点,试确定点位置,使二面
角的大小为.
20.(12分)已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II)证明:.
21.(12分)已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(I)求的方程;
(II)若直线与曲线交于两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时总有?若存在,请说明理由.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,曲线(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线.
(I)若与曲线没有公共点,求的取值范围;
(II)若曲线上存在点到距离的最大值为,求的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数,
(I)解不等式
(II)若对于,有,求证:.
理科数学参考答案
1.A 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D
13. 14.1 15.8. 16..
17.(1)∵ ∴由正弦定理得:
∵ ∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(2)由得:
∴
∴
18.(Ⅰ)列联表补充如下
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
(Ⅱ)∵∴
∵
∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关
(Ⅲ)根据题意,的值可能为0,1,2,3
, , ,
分布列如下:
0
1
2
3
则
19.(1)∵, ∴
∴四边形为菱形,∴∵平面平面,平面平面,
∵∴平面∴,又∵∴直线平面
(2)∵,∴为正三角形,取的中点,连接,则
∴,∵平面平面,平面,平面平面,
∴平面∵∴两两垂直以为原点,的方向为轴,
建立空间直角坐标系∵, ,∴
由(1)知是平面的法向量∵,
设,则.
设平面的法向量为∵, ∴,
令,则∴∵二面角为,
∴ ,解得
∴点靠近点的的三等分点处
20.(1)解:,
①若时,在上单调递减;②若时,当时,单调递减;当时,单调递增;
综上,若时,在上单调递减;
若时,在上单调递减;在上单调递增;
(2)证明:要证,只需证,
由(1)可知当时,,即,
当时,上式两边取以为底的对数,可得,
用代替可得,又可得,所以,
,
即原不等式成立.
21.解:(1)得圆的圆心为,半径;圆的圆心,半径.设圆的圆心为,半径为.因为圆与圆外切并与圆内切,所以
由椭圆的定义可知,曲线是以为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
(2)假设存在满足.设
联立得,由韦达定理有
①,其中恒成立,
由(显然的斜率存在),故,即②,
由两点在直线上,故代入②得:
即有
③
将①代入③即有:④,要使得④与的取值无关,当且仅当“”时成立,综上所述存在,使得当变化时,总有
22.解:(1)因为直线的极坐标方程为,即,
所以直线的直角坐标方程为;因为(参数,)
所以曲线的普通方程为,
由消去得,,
所以,解得,故的取值范围为.
(2)由(1)知直线的直角坐标方程为,
故曲线上的点到的距离,
故的最大值为由题设得,解得.又因为,所以.
23.解:(1)不等式f(x)<x+1,等价于|2x﹣1|<x+1,即﹣x﹣1<2x﹣1<x+1,
求得0<x<2,故不等式f(x)<x+1的解集为(0,2).
(2),
所以f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2+<1.