湖北省黄冈市浠水县实验高级中学2020届高三12月月考数学（理）试题 22页

浠水实验高中2020届高三十二月月考 数学（理科）试题 一．选择题：‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合，‎ 所以，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查解对数不等式，集合交集运算，属于简单题.‎ ‎2.命题“对任意的，”的否定是 A. 不存在， B. 存在，‎ C. 存在， D. 对任意的，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．‎ ‎“对任意的，”的否定是:存在，‎ 选C.‎ ‎3.若非零向量，满足，向量与垂直，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，且与垂直，∴，即，‎ ‎∴，∴，∴与的夹角为．‎ 故选．‎ ‎4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（ ）‎ A. 1．5尺 B. 2．5尺 C. 3．5尺 D. 4．5尺 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，，可得，，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．‎ ‎【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，‎ 是其前项和，‎ 则，所以，‎ 由题知，所以，‎ 所以公差，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：‎ 月平均气温 ‎ ‎17 ‎ ‎13 ‎ ‎8 ‎ ‎2 ‎ 月销售量（件） ‎ ‎24 ‎ ‎33 ‎ ‎40 ‎ ‎55 ‎ 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温为，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）‎ A. 58件 B. 40件 C. 38件 D. 46件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由表格得为：，因为在回归方程上且，，解得，当时，，故选D.‎ 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.‎ ‎6.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ）‎ A. 平均数为20，方差为4 B. 平均数为11，方差为4‎ C. 平均数为21，方差为8 D. 平均数为20，方差为8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.‎ ‎【详解】样本的平均数是10，方差为2，‎ 所以样本的平均数为,方差为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为.‎ ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排除法，由的符号，结合选项即可得结果.‎ ‎【详解】因所以排除选项B、D;‎ 因为所以排除选项C，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ ‎8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，‎ ‎.根据这些信息，可得（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有，正五边形内角，，已知三角函数值有 ‎，所以，从而．‎ ‎【详解】由题可知，且，，‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.‎ ‎9.齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.‎ ‎【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，‎ 现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,‎ 基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,‎ 齐王的马获胜的概率为，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎10.若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时（ ）‎ A. 在单调递减 B. 在单调递增 C. 在单调递减 D. 在单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 令，因为是函数的图象的一条对称轴，所以，即．当时，取得最小正数为，此时 ，所以的单调增区间为，单调减区间为 ‎，对照各选项，可知只有D选项符合题意，故选D．‎ ‎11.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设 线段的中点在上的投影为，则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解析：因，故，由基本不等式可得即，应选答案C．‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数，记的导函数为，当时，满足，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造，在上单调递增，且，从而可以推断出在上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果.‎ ‎【详解】令，在上单调递增，且，从而可以推断出 则（当时，满足），‎ 从而在上单调递增，‎ 所以当时，，‎ 从而当时，；‎ 当时，（当时取等号），‎ 又当时，，即，‎ 所以在上单调递增，‎ 由于是定义在上的奇函数，从而在上单调递增；‎ 不等式.‎ 令，则原问题等价于有解，从而，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上单减，在上单增，‎ ‎∴，‎ 所以的最小值为，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运用，函数存在性的问题，函数零点的问题，利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．‎ 二．填空题.‎ ‎13.若,的展开式中常数项为________．‎ ‎【答案】112‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出n的值，再利用二项式展开式的通项求常数项得解.‎ ‎【详解】，‎ 的展开式的通项为，‎ 令.‎ 所以展开式的常数项为.‎ 故答案为112‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14.某年级有1000名学生，一次数学测试成绩，，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______.‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据考试的成绩服从正态分布，．得到考试的成绩关于对称，根据，得到，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．‎ ‎【详解】考试的成绩服从正态分布，．‎ 考试的成绩关于对称，‎ ‎，‎ ‎，‎ 该班数学成绩在115分以上的人数为 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩关于对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．‎ ‎15.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______．‎ ‎【答案】198‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再相加即可。‎ ‎【详解】解：分两种情况讨论.‎ ‎①若选两个国内媒体一个国外媒体，‎ 有种不同提问方式；‎ ‎②若选两个外国媒体一个国内媒体，‎ 有种不同提问方式.‎ 所以共有种提问方式.‎ 故答案为：198‎ ‎【点睛】本题考查组合数公式的运用，排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序，则是排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.‎ ‎16.已知，设.若当时，恒有，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设 与 交点横坐标为 ，则 时，总有 ，所以若 ，必有 ，只需 ，即 ，若 ，必有 ，只需，‎ 综上， ，故答案为 .‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理得sinA﹣sinCsinBsinC，即有sinA＝2sinC，a＝2c，bc，从而可由余弦定理求出cosA的值；（2）先求出sinA的值，再由二倍角的正余弦公式求出sin2A，cos2A，即可求的值．‎ ‎【详解】（1）∵a﹣cb，sinBsinC．‎ ‎∴由正弦定理得，sinA﹣sinCsinBsinC，‎ 即有sinA＝2sinC，a＝2c，bc，‎ 由余弦定理知，cosA．‎ ‎（2）∵由（1）知，cosA．A为三角形内角，∴sinA，∴sin2A=cos2A= - ‎ ‎∴＝sin2Acos cos2A sin．‎ ‎【点睛】本题主要考察两角和与差的余弦函数、正弦定理、余弦定理的综合应用，熟练运用边角互化得a,b,c关系是突破点，准确计算是关键，属于中档题．‎ ‎18.已知数列、满足，且.‎ ‎（1）令证明：是等差数列，是等比数列；‎ ‎（2）求数列和的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前n项和公式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别将相加与相减可得到和,结合可证明结论;‎ ‎（2）结合（1）可求得的表达式,进而可求得的表达式;‎ ‎（3）由,并结合（2）可得到数列的通项公式,进而利用错位相减法可对其求和.‎ ‎【详解】（1）证明：由题设得，‎ 即，因此，又，‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列,.‎ 又由题设得，‎ 即，因此，又，‎ 所以数列是首项为1，公比为等比数列,.‎ ‎(2)由（1）知.即 ,‎ 解得 ‎（3）‎ ‎,‎ ‎,‎ 两式相减得:‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的证明,考查了通项公式的求法,考查了利用错位相减法求数列的前项和,属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的焦距为4，点P（2，3）在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P引圆的两条切线PA，PB，切线PA，PB与椭圆C的另一个交点分别为A，B，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出其定值，若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得焦点坐标，利用椭圆的定义可得，由此得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设出两条切线的直线方程，由切线的性质可得两切线的斜率相加0，再设出，，分别联立两切线与椭圆的方程，利用韦达定理得到，与，的关系，代入进行化简即可得到答案．‎ ‎【详解】（1）椭圆C的焦距为4，所以c＝2，左焦点F1（﹣2，0），右焦点F2（2，0），‎ 则PF1＝5，PF2＝3，所以2a＝PF1+PF2＝5+3＝8，即，则椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设PA： ，则，所以 设PB：，则，所以 所以，为方程的两根，即．‎ 设，，联立 ‎ 有，‎ ‎，．‎ 同理联立，可得：，‎ 则．‎ 故直线AB的斜率是定值，．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎20.高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 合计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎（Ⅰ）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.‎ ‎①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；‎ ‎②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.‎ 附公式及表如下：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.（Ⅱ）①②见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）由题意完成列联表，结合列联表计算可得.所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”概率为，女“移动支付达人”的概率为.‎ ‎①有对立事件公式可得满足题意的概率值为.‎ ‎②记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.由题意得，由二项分布公式首先求得Y的分布列，然后利用均值和方差的性质可得X的分布列，计算可得，得的数学期望元.‎ 详解：（Ⅰ）由表格数据可得列联表如下：‎ 非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计 男 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 女 ‎15‎ ‎40‎ ‎55‎ 合计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得：‎ ‎ .‎ 所以在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关.‎ ‎（Ⅱ）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，‎ 该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为.‎ ‎①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为.‎ ‎②记抽出的男“移动支付达人”人数为，则.‎ 由题意得，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎300‎ ‎600‎ ‎900‎ ‎1200‎ 由，得的数学期望元.‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列，分布列的性质，独立性检验及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知函数存在极值点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设的极值点为，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由题意确定函数定义域，再对函数求导，当得到函数单调，无极值点；当时，设，分别讨论和两种情况，根据二次函数的性质，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得，推出，根据，得到，令，根据函数单调性，确定的范围，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ 当时，，即函数单调递减，无极值点；‎ 当时，由或，‎ 设，则 当时，的两根一个小于1、一个大于1，故有一个极值点；‎ 当时，由对称轴为，知的两根均小于1，故无极值点；‎ 综上所述，；‎ ‎（2）由（1）知且，∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令，显然在上单增，‎ 又，∴即，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数有极值点求参数，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性与极值即可，属于常考题型.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用平方法可得曲线的普通方程，利用两角差的正弦公式及可得直线的直角坐标方程；（2），则点到直线的距离为，利用辅助角公式及三角函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：（1）因为，所以曲线的普通方程为，‎ 又展开得，即，‎ 因此直线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）设，则点到直线的距离为 等号成立当且仅当，即，即时成立，‎ 因此点到直线的距离的最大值为．‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎ 已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集.‎ ‎（2）对任意的，有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值的几何意义分析解答得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以 解之得不等式的解集为.‎ ‎(2)‎ 当时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合，‎ 所以，所以，‎ 当时，不等式恒成立，‎ 当时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，‎ 由题得，所以m没有解.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用分类讨论法解绝对值不等式，考查利用绝对值的几何意义分析不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎