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  • 2021-06-16 发布

天津九校2019届高三下学期4月联考文科数学试题

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高三年级九校联考文科数学试卷(2019.04)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩(∁UT)等于( )‎ A. {1,4,5,6} B. {1,5} C. {4} D. {1,2,3,4,5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合,,由补集的运算有,又,再结合交集的运算即可得解.‎ ‎【详解】解:因为集合,,‎ 所以,又,‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集,交集的运算,重点考查了对交集、补集概念的理解能力,属基础题.‎ ‎2.如果实数满足条件,那么的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解:当直线过点时,最大,故选B ‎3.“”是“直线与直线平行”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由两直线平行得到方程解出m的值,再验证排除两直线重合的情况,得到平行的充要条件,再进行判断即可.‎ ‎【详解】解:若直线:与直线:平行 则,‎ 当时,直线:与直线:,两直线重合,舍 所以“直线:与直线:平行”等价于“”‎ 所以“”是“直线:与直线:平行”的既不充分也不必要条件 故选D ‎【点睛】本题考查了两直线平行的充要条件,充分必要条件的判断,注意判断两直线平行一定要验证两直线是否重合.‎ ‎4.设,,则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数和对数函数的单调性分别与0和1比较,易得,,,所以.‎ ‎【详解】解:因为 所以 故选A ‎【点睛】本题考查了指数和对数函数性质的运用,在指数和对数比较大小过程中一般先比较与0,1的大小关系.‎ ‎5.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为(  )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由程序框图可知:故选C.‎ 考点:本题主要考查程序框图及学生分析问题解决问题的能力.‎ ‎6.已知函数图像与轴的两个相邻交点的距离等于,若将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则是减函数的区间为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简函数得,再由图象与 轴的两个相邻交点的距离等于得,,,再写出平移后的,求出单调递减区间判断即可.‎ ‎【详解】解:‎ 因为图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 所以,‎ 所以 所以 由得 所以是减函数的区间为 分析选项只有D符合 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图像与性质,三角函数的变换,属于基础题.‎ ‎7.曲线的焦点恰好是曲线的的右焦点,且曲线与曲线交点连线过点,则曲线的离心率是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线与双曲线的焦点得到,再分别求出x取焦点横坐标时对应的y值,因为曲线与曲线交点连线过点,得到方程,解出离心率.‎ ‎【详解】解:抛物线的焦点,‎ 双曲线的右焦点为,‎ 所以,即 当时,代入,得 当时,代入,得 由题意知点,则 两边同除得,解得(负值舍)‎ 所以 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线与双曲线的方程与几何性质,属于基础题.‎ ‎8.已知函数,且函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点,再分别画出和的图像,通过观察图像得出a的范围.‎ 详解】解:方程 所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点 记,‎ 画出函数简图如下 画出函数如图中过原点虚线l,平移l要保证图像有三个交点,‎ 向上最多平移到l’位置,向下平移一直会有三个交点,‎ 所以,即 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题,解决函数零点问题常转化为两函数交点问题 二、填空题:本大题共6小题。‎ ‎9.已知为虚数单位,复数,则等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先分子分母同乘,化简得,所以.‎ ‎【详解】解:因 所以 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念与除法运算,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,为的导函数,则的值等于______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,由函数的解析式计算可得f′(x),将x=1代入可得f′(1)的值,即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意,函数f(x)=,‎ 则f′(x)==,‎ 则f′(1)==1;‎ 故答案为1.‎ ‎【点睛】本题考查导数的计算,关键是正确计算函数f(x)的导数.‎ ‎11.圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先由条件求得圆心C的坐标,再求出半径r=|AC|,从而得到圆C的方程.‎ 因为直线AB的中垂线方程为x=-3,代入直线x-2y+7=0,得y=2,‎ 故圆心的坐标为C(-3,2),再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=‎ ‎∴圆C的方程为.‎ 故答案为.‎ 考点:圆的标准方程.‎ ‎12.已知,且,则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出,将代数式和代数式,展开后利用基本不等式可求得的最小值.‎ ‎【详解】由题,‎ 当且仅当时,即当时取等号,‎ 因此,的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,涉及的妙用,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎13.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的体积______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正方体的外接球的半径为正方体体对角线的一半,可求出R,然后计算体积.‎ ‎【详解】解:因为正方体的顶点都在同一球面上 所以球的半径为正方体体对角线的一半,即 所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查了正方体的外接球,正方体外接球的直径即为正方体的体对角线,属于基础题.‎ ‎14.平行四边形的两条对角线相交于点,点是的中点.若且,‎ ‎,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:,由已知:‎ 考点:向量的数量积的计算 三、解答题。‎ ‎15.某校进入高中数学竞赛复赛的学生中,高一年级有6人,高二年级有12人, 高三年级有24人,现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访.‎ ‎(1)求应从各年级分别抽取的人数;‎ ‎(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解(注高一学生记为,高二学生记为,高三学生记为,)‎ ‎①列出所有可能的抽取结果;‎ ‎②求抽取的2人均为高三年级学生的概率.‎ ‎【答案】(1)高一1人,高二2人,高三4人;(2)①、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,共21种;②..‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由各年级人数所占的比例即可求出各年级抽取的人数;(2)将所有抽取结果一一列出,然后计算概率.‎ ‎【详解】解:(1)高一:;‎ 高二:;‎ 高三:;‎ 所以抽取高一1人,高二2人,高三4人 ‎(2)由(1)知高一1人记为,高二2人记为,高三4人记为、‎ ‎①从中抽取两人,所有可能的结果为:、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、,共21种 ‎②由①知,共有21种情况,抽取的2人均为高三年级学生有、、、、、,共6种,所以抽取的2人均为高三年级学生的概率.‎ ‎【点睛】本题考查了分层抽样和古典概型,属于基础题.‎ ‎16.在中,分别是角的对边,若,且 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值;‎ ‎(3)若,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由得,即,再由余弦定理求出,转化为;(2)先求出和,再由和差角公式求出;(3)由直接计算即可.‎ ‎【详解】解:(1)因为 所以,即 所以 因为,所以 ‎(2)因为,‎ 所以 ‎(3)因为,所以,‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了正余弦定理,给值求值,三角形的面积公式,属于基础题.‎ ‎17.如图:是菱形,对角线 与 的交点为 ,四边形为梯形,‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)若,,,求直线 与平面所成角.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析: (Ⅰ)取AD的中点G,连接OG,FG,证明OGFE为平行四边形,可得OE∥FG,即可证明:OE∥平面ADF;‎ ‎(Ⅱ)欲证:平面AFC⊥平面ABCD,即证BD⊥平面AFC;‎ ‎(Ⅲ)做FH⊥AC于H,∠FAH为AF与平面ABCD所成角,即可求AF与平面ABCD所成角.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)证明:取AD的中点G,连接OG,FG.‎ ‎∵对角线AC与BD的交点为O,‎ ‎∴OG∥DC,OG=DC,‎ ‎∵EF∥DC,DC=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴OGFE为平行四边形,‎ ‎∴OE∥FG, ‎ ‎∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,‎ ‎∴OE∥平面ADF; ‎ ‎(Ⅱ)证明:∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴OC⊥BD,‎ ‎∵FD=FB,O是BD的中点,‎ ‎∴OF⊥BD,‎ ‎∵OF∩OC=O,‎ ‎∴BD⊥平面AFC, ‎ ‎∵BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴平面AFC⊥平面ABCD; ‎ ‎(Ⅲ)解:作于,‎ 因为平面平面,‎ 所以平面,‎ 则为与平面所成角. ‎ 由及四边形为菱形,得为正三角形,‎ 则,.‎ 又,‎ 所以为正三角形,从而. ‎ 在中,由余弦定理,得,‎ 则, ‎ 从而,‎ 所以与平面所成角的大小为.‎ 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ ‎18.已知数列的前项和为,且满足.数列是首项为,公差不为零的等差数列,且成等比数列.‎ ‎(1)求数列与的通项公式.‎ ‎(2)若,数列的前项和为恒成立,求的范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由化简可得成等比,求出的通项,再由可求出的通项;(2)因为,用错位相减法求得,所以.‎ ‎【详解】解:(1)因为,‎ 所以 所以 所以成等比,首项,公比q 所以 由题意知,设公差为d 则,即,‎ 解得或(舍)‎ 所以 ‎(2)‎ 所以 两式相减得 所以 所以 ‎【点睛】本题考查了数列的通项与求和,对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和,分列乘减算四步进行.‎ ‎19.已知椭圆,离心率等于,且点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)①直线与椭圆交于两点.求的弦长;‎ ‎②若直线与椭圆交于两点.且线段的垂直平分线经过点,求的面积的最大值.(为原点)‎ ‎【答案】(1);(2)①;②1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)联立,,可解出,,,得出椭圆方程;(2)①联立直线与椭圆方程,得到韦达定理,利用弦长公式求出弦长;②先求出AB中点坐标,利用点在AB中垂线上列出方程,找到m与k的关系,再利用写出面积表达式,求出最值.‎ ‎【详解】解:(1)因为离心率,点在椭圆上,即,‎ 解得,,‎ 所以椭圆方程为 ‎(2)①联立和得 得 所以 所以 ‎② 因为,‎ 所以AB中点为M 又因为AB的中垂线过点N 所以,化简得 点O到直线AB的距离 所以 当时,最大为1‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,弦长公式,面积的最大值问题,属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)若对任意,都有成立,求实数的取值范围;‎ ‎(3)若过点可作函数图像的三条不同切线,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间为,单调递减区间为和;(2);(3)‎ ‎【解析】‎ 试题解析:(1)当a=3时,,得 因,‎ 所以当12时,,函数单调递减.‎ 所以函数的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).‎ ‎(2)由,得,‎ 因为对于任意都有成立,‎ 即对于任意都有成立,‎ 即对于任意都有成立,‎ 令,‎ 要使对任意都有成立,‎ 必须满足△<0或 即或 所以实数的取值范围为(-1,8)‎ ‎(3)设点P是函数图象上的切点 则过P的切线的斜率为,‎ 切线方程为:‎ ‎∵在切线上 ‎∴‎ ‎∵若过点可作函数图象的三条不同切线 ‎∴有三个不等的实根,‎ 令,解得 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围 考点:本题考查导数与函数 点评:本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想 ‎ ‎