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- 2021-06-16 发布
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高一数学下学期期末备考等比数列及其前 n 项和
1.等比数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那
么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,定义的表达
式为an+1
an
=q.
(2)等比中项:如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.即 G 是 a 与 b
的等比中项⇔a,G,b 成等比数列⇒G2=ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前 n 项和公式:Sn=
na1,q=1,
a11-qn
1-q
=a1-anq
1-q
,q≠1.
考点练习
考点一 等比数列的基本运算
例 1、(2019·甘肃兰州诊断)在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a2,a4,a8 成等比数
列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 bn=2an,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
则依题意有 a1=1,
a1+3d2=a1+da1+7d,
解得 d=1 或 d=0(舍去),∴an=1+(n-1)=n.
(2)由(1)知 an=n,∴bn=2n,∴bn+1
bn
=2,
∴{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
∴Tn=21-2n
1-2
=2n+1-2.
练习 1.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计
算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,
依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于12 2.若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为( )
A.3 2f B.3 22f
C.12 25f D.12 27f
【答案】D [由题知,这十三个单音的频率构成首项为 f,公比为12 2的等比数列,则第
八个单音的频率为(12 2)7f=12 27f.]
练习 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( )
A.1
3 B.-1
3
C.1
9 D.-1
9
【答案】C [由题知 q≠1,则 S3=a11-q3
1-q
=a1q+10a1,得 q2=9,又 a5=a1q4=9,则
a1=1
9.]
练习 3.(全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足 a1+a2=-1,a1-a3=-3,则 a4=________.
【答案】-8 [设等比数列{an}的公比为 q,
∵a1+a2=-1,a1-a3=-3,
∴a1(1+q)=-1,①
a1(1-q2)=-3.②
②÷①,得 1-q=3,∴q=-2.∴a1=1,
∴a4=a1q3=1×(-2)3=-8.]
练习 4.(2019·山东沂水月考)在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线 y=2x 上,则 a4
的值为( )
A.7 B.8
C.9 D.16
【答案】B [∵点(an,an+1)在直线 y=2x 上,
∴an+1=2an.∵a1=1≠0,∴an≠0,
∴{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列,∴a4=1×23=8.]
解决等比数列有关问题的两种常用思想
(1)方程的思想:等比数列中有五个量 a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列
方程(组)求关键量 a1 和 q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论,当 q=1 时,{an}
的前 n 项和 Sn=na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn=a11-qn
1-q
=a1-anq
1-q
.
考点二 等比数列的判定与证明
例 2、(2019·山东潍坊质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2.
(1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
【答案】(1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,
得 a1+a2=S2=4a1+2.
∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
又 Sn+1=4an+2, ①
Sn=4an-1+2n≥2, ②
由①-②,得 an+1=4an-4an-1(n≥2),
∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2).
∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2),
故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.
(2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3·2n-1,
∴an+1
2n+1
-an
2n=3
4
,
故
an
2n 是首项为1
2
,公差为3
4
的等差数列.
∴an
2n=1
2
+(n-1)·3
4
=3n-1
4
,
故 an=(3n-1)·2n-2.
[变式探究] 若将本例中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”,其他不变,求数列
{an}的通项公式.
解 由已知得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n.
∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,
∴an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),n≥2,(*)
又 a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即 a2+1=2(a1+1),
∴当 n=1 时(*)式也成立,
故{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.
等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法:若an+1
an
=q(q 为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0,且 a2n+1=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·qn(c,q 均是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}
是等比数列.
练习 3、(全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 S5=31
32
,求λ.
【答案】(1)证明 由题意得 a1=S1=1+λa1,
故λ≠1,a1= 1
1-λ
,故 a1≠0.
由 Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1 得 an+1=λan+1-λan,
即 an+1(λ-1)=λan.
由 a1≠0,λ≠0 得 an≠0,所以an+1
an
= λ
λ-1.
因此{an)是首项为 1
1-λ
,公比为 λ
λ-1
的等比数列,
于是 an= 1
1-λ
λ
λ-1 n-1.
(2)解 由(1)得 Sn=1-
λ
λ-1 n.
由 S5=31
32
得 1-
λ
λ-1 5=31
32
,即
λ
λ-1 5= 1
32.
解得λ=-1.
知识点总结
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),
则 am·an=ap·aq=a2k.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},
1
an ,{a2n},{an·bn},
an
bn (λ≠0)仍然
是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…
为等比数列,公比为 qk.
4.等比数列{an}的单调性
(1)满足 a1>0,
q>1
或 a1<0,
0
0, 01 时,{an}是递减数列. (3)当 a1≠0, q=1 时,{an}为常数列. (4)当 q<0 时,{an}为摆动数列. 5.与等比数列前 n 项和 Sn 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. ①若共有 2n 项,则 S 偶∶S 奇=q; ②若共有 2n+1 项,则 S 奇-S 偶=a1+a2n+1q 1+q (q≠1 且 q≠-1),S 奇-a1 S 偶 =q. (2)分段求和:Sn+m=Sn+qnSm⇔qn=Sn+m-Sn Sm (q 为公比). 考点练习 考点三 等比数列的性质及应用 例 3、(2019·山东日照检测)已知等比数列{an}中,an>0,a1,a99 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a20·a50·a80=( ) A.32 B.64 C.256 D.±6 【答案】B [因为 a1,a99 为方程 x2-10x+16=0 的两根,则 a1·a99=16,又数列{an}是等 比数列,则 a20·a80=a250=a1·a99=16,又 an>0,所以 a20·a50·a80=64.] 练习、(2019·河南郑州调研)已知数列{an}是等比数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1+a2+a3=4, a4+a5+a6=8,则 S12 等于( ) A.40 B.60 C.32 D.50 【答案】B [由等比数列的性质可知,数列 S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9 是等比数列, 即数列 4,8,S9-S6,S12-S9 是等比数列,因此 S12=4+8+16+32=60.] 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类: (1)通项公式的变形. (2)等比中项的变形. (3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决 问题的突破口.