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- 2021-06-16 发布
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课时跟踪检测(十六)大题考法——圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
1.(2018·浙江高考名师预测卷二)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点.M为椭圆上任意一点,△MF1F2面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C上的任意一点N(x0,y0),从原点O向圆N:(x-x0)2+(y-y0)2=3作两条切线,分别交椭圆于A,B两点.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值;若不是,请说明理由.
解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
由题意可得c=2.
当点M位于椭圆短轴的端点处时,△MF1F2的面积最大,
即有×b×2c=4,解得b=2,
所以a2=b2+c2=4+8=12,
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线OA:y=k1x,OB:y=k2x,A(x1,y1),B(x2,y2),
设过原点与圆(x-x0)2+(y-y0)2=3相切的切线方程为y=kx,
则有=,整理得(x-3)k2-2x0y0k+y-3=0,
所以k1+k2=,k1k2=.
又因为点N在椭圆上,所以+=1,
所以可求得k1k2==-.
将y=k1x代入椭圆方程x2+3y2=12,
得x=,则y=.
同理可得x=,y=,
所以|OA|2+|OB|2=+
=
==16.
所以|OA|2+|OB|2的值为定值,且为16.
2.如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),是否存在直线l,使得以PQ为直径的圆恰好过点A,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
解:(1)在C2的方程中,令y=0,可得x=±1,
∴A(-1,0),B(1,0).
又A,B两点是上半椭圆C1的左、右顶点,∴b=1.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1可得a=2,∴a=2,b=1.
(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
由题易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0).
代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.
设点P的坐标为(xP,yP),又直线l经过点B(1,0),
∴xP+1=,xP=.
从而yP=,∴点P的坐标为.
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
依题意可知AP⊥AQ,
∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点为E,
P为直线x=a上的任意一点,且(+)·=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A,B两点(点A在第一象限),动直线l与椭圆C交于M,N两点,且M,N位于直线AB的两侧,若始终保持∠MAB=∠NAB,求证:直线MN的斜率为定值.
解:(1)设P,F(c,0),E(a,0),则=,=,=(c-a,0),
所以(+)·=·=2,即·(c-a)=2,又e==,
所以a=2,c=1,b=,
从而椭圆C的方程为+=1.
(2)由(1)知A,设M(x1,y1),N(x2,y2),
设MN的方程为y=kx+m,代入椭圆方程+=1,
得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
又M,N是椭圆上位于直线AB两侧的动点,若始终保持∠MAB=∠NAB,
则kAM+kAN=0,即+=0,
(x2-1)+(x1-1)=0,
即(2k-1)(2m+2k-3)=0,得k=.
故直线MN的斜率为定值.
4.(2018·镇海中学5月模拟)已知抛物线C1,C2的方程分别为x2=2y,y2=2x.
(1)求抛物线C1和抛物线C2的公切线l的方程;
(2)过点G(a,b)(a,b为常数)作一条斜率为k的直线与抛物线C2:y2=2x交于P,Q两点,当弦PQ的中点恰好为点G时,试求k与b之间的关系.
解:(1)由题意可知,直线l的斜率显然存在,且不等于0,
设直线l的方程为y=tx+m.
联立消去y并整理得x2-2tx-2m=0,
因为直线l与抛物线C1相切,
所以Δ1=(-2t)2-4×(-2m)=0,整理得t2+2m=0. ①
同理,联立得2tm=1. ②
由①②,解得
所以直线l的方程为y=-x-.
(2)由题意知直线PQ的方程为y-b=k(x-a),
即y=k(x-a)+b.联立
消去y得k2x2+(-2k2a+2kb-2)x+k2a2+b2-2kab=0,
当k=0时,直线PQ与抛物线C2:y2=2x只有一个交点,故k≠0,
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),
所以由根与系数的关系得x1+x2=,
所以=.
又y1+y2=k(x1-a)+b+k(x2-a)+b
=k(x1+x2)-2ka+2b=-2ka+2b
==,
所以=.
要满足弦PQ的中点恰好为点G(a,b),根据中点坐标公式可知即所以kb=1.
故k与b之间的关系是互为倒数.
5.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的上顶点为A,过点A作椭圆C的两条动弦AB,AC,若直线AB,AC斜率之积为,直线BC是否恒过一定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.
解:(1)由题意知椭圆的一个焦点为F(1,0),则c=1.
由e==得a=,所以b=1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由(1)知A(0,1),当直线BC的斜率不存在时,
设BC:x=x0,设B(x0,y0),则C(x0,-y0),
kAB·kAC=·===≠,
不合题意.故直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y=kx+m(m≠1),并代入椭圆方程,得:
(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0, ①
由Δ=(4km)2-8(1+2k2)(m2-1)>0,
得2k2-m2+1>0. ②
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1,x2是方程①的两根,
由根与系数的关系得,
x1+x2=-,x1x2=,
由kAB·kAC=·=得:
4y1y2-4(y1+y2)+4=x1x2,
即(4k2-1)x1x2+4k(m-1)(x1+x2)+4(m-1)2=0,
整理得(m-1)(m-3)=0,
又因为m≠1,所以m=3,
此时直线BC的方程为y=kx+3.
所以直线BC恒过一定点(0,3).