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- 2021-06-16 发布
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专题五 数列
问题二 数列中的最值问题
一、考情分析
数列中的最值是高考热点,常见题型有 求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.
二、经验分享
(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.
②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.③结合相应函数的图象直观判断.
(2) 最大值与最小值 若 则an最大;若 则an最小.
(3)求等差数列前n项和的最值,常用的方法 ①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;②利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,通过二次函数的性质求最值.另外,对于非等差数列常利用函数的单调性 求其通项或前n项和的最值.
三、知识拓展
已知等差数列的公差为d,前n项和为,①若,有最小值,若,则最小,若则最小; ①若,有最大值,若,则最大,若则最大。
四、题型分析
(一) 求数列的最大项或最小项
求数列中的最大项的基本方法是 (1)利用不等式组(n≥2)确定数列的最大项;(2)利用不等式组(n≥2)确定数列的最小项.(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.
【例1】已知数列的通项公式为=,求的最大项.
【分析】思路1 利用基本不等式求解.思路2 求满足的的值.
【解法一】基本不等式法.
==,因为;当且仅当,即n=时,而, 且n∈,于是将n=12或13代人,得且最大.
【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足的的值,从而找到最大项
【小试牛刀】在数列{an}中,an=(n+1)(n∈N*).
(1)求证 数列{an}先递增,后递减;
(2)求数列{an}的最大项.
【解析】因an=(n+1)是积幂形式的式子且an>0,所以可用作商法比较an与an-1的大小.
(1)证明 令≥1(n≥2),即≥1,整理得≥,解得n≤10.
令≥1,即≥1,整理得≥,解得n≥9.
∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减.
(2)解 由(1)知a9=a10=最大.
【点评】要证明数列{an}是单调的,可利用“{an}是递增数列⇔an<an+1,数列{an}是递减数列⇔an>an+1” 证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.
(二) 数列前n项和最值问题
公差不为0的等差数列的前n项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差
数列前n项和最值的方法有 (1)利用{an}中项的单调性,求出其正负转折项.(2)利用二次函数的性质求最值.公差不为0的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数).(3)利用求出Sn的最值.
【例2】在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取最大值,则d的取值范围是________. *
【分析】知a1和S8最大,可以求出Sn关于d的表达式是关于n的二次函数,再用二次函数的最值 解决;还可用S8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大.
【小试牛刀】【安徽省宿州市2018届高三上 期第一次教 质量检测】在等差数列中, ,若它的前项和有最大值,则当时, 的最大值为( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】A
【解析】数列为等差数列,若,则,可得
, , ,,
, ,则当时, 的最大值为,故选
(三) 求满足数列的特定条件的的最值
【例3】【贵州省凯里市第一中 2018届高三下 期一模】已知的前项和为,且成等差数列, ,数列的前项和为,则满足的最小正整数的值为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【分析】先求和,再解不等式.
【答案】C
【解析】,当时, ,由成等差数列可得,即,解得,故,则,故,由得,即,则,即,故的最小值为.
【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列各项为正数,且,.
(Ⅰ)证明 数列为等比数列;
(Ⅱ)令,数列的前项和为,求使成立时的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)6
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,
,
则.
不等式即为,
所以,
于是成立时的最小值为6.
(四) 求满足条件的参数的最值
【例4】【山东省枣庄市2017届高三上 期期末】已知为各项均为正数的数列的前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若对恒成立,求实数的最大值.
【分析】(1)首先求得的值,然后利用与的关系推出数列为等差数列,由此求得的通项公式;(2)首先结合(1)求得的表达式,然后用裂项法求得,再根据数列的单调性求得的最大值.
【解析】(1)当时,由,得,即.
又,解得.由,可知.
两式相减,得,即.
由于,可得,即,
所以是首项为,公差为的等差数列,所以.
(2)由 ,可得
.
因为,所以,所以数列是递增数列,
所以,所以实数的最大值是.
【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.
【小试牛刀】已知数列的通项公式为,前项和为,若对任意的正整数,不等式恒成立,则常数所能取得的最大整数为 .
【答案】5
五、迁移运用
1.【福建省福州市2018届高三上 期期末质检】设数列的前项和为, ,且.若,则的最大值为( )
A. 51 B. 52 C. 53 D. 54
【答案】A
【解析】若为偶数,则, , ,所以这样的偶数不存在
若为奇数,则
若,则当时成立
若,则当不成立
故选
点睛 本题是道数列的综合题目,考查了数列的求和时的最值问题,需要注意这里的分类讨论,当为偶数、为奇数时运用等差数列求和,将和的表达式写出 ,然后结合题意进行讨论
2.【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上 期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列中, 与的等比中项为4,则当取最小值时首项等于( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
【答案】A
【解析】设各项为正数的等比数列的公比为
∵与的等比中项为4 _ _ _X_X_ ]
∴,∴
∴
当且仅当,即时取等号,此时,故选A
3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列中,存在两项满足,且,则的最小值是( )
A. B.2 C. D.
【答案】A
4.【天津六校2017届高三上 期期中联考】已知数列满足 ,.若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,因为数列是单调递增数列,所以当时;当时,,因此,选D.
5.设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( ).
A. B. C.4 D.0
【答案】D
【解析】∵an=-3+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大为0.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】 C
【解析一】由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时,Sn最大.
【解析二】由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,
故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根据二次函数的性质,知当n=7时,Sn最大.
【解析三】根据a1=13,S3=S11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n==7时,Sn取得最大值.
7.在数列{an}中,an=,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )
A.a1,a50 B.a1,a44 C.a45,a44 D.a45,a50
【答案】C
【解析】an==1+,
∴当n∈[1,44]时,{an}单调递减,当n∈[45,100]时,{an}单调递减,
结合函数f(x)=的图象可知,(an)max=a45,(an)min=a44,选C.
8.已知函数,且,设等差数列的前项和为,若,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得.
由题意可得或
解得a=1或a=-4,
当a=-1时,,数列{an}不是等差数列;
当a=-4时,,,
,
当且仅当,即时取等号,
∵n为正数,故当n=3时原式取最小值,故选D.
9.【天一大联考2017—2018 年高中毕业班阶段性测试】已知等差数列的通项公式为,前项和为,若不等式恒成立,则的最小值为__________.
【答案】[ ]
【解析】由题可知 恒成立,即恒成立,设t=n+1,则,因为函数在, ,所以,所以M的最小值是
10.【江苏省常州2018届高三上 期期末】各项均为正数的等比数列中,若,则的最小值为________.
【答案】
【解析】因为是各项均为正数的等比数列,且,所以
,则,即,即,即的最小值为.
11.【福建省闽侯县第八中 2018届高三上 期期末】已知数列的前项和为,且,则使得的最小正整数的值为__________.
【答案】
12.【河北省承德市联校2018届高三上 期期末】设等差数列满足, ,则的最大值为________.
【答案】512
【解析】依题意有,解得,故.,故当时,取得最大值为.
13.【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设是等差数列的前项和,若, ,则数列的最大项是第________项.
【答案】13
【解析】因为, ,所以
所以最大, 为最小正数项,因此 最大,即最大项是第13项.
14.【安徽省淮南市2018届高三第一次(2月)模拟】已知正项数列的前项和为,当时, ,且,设,则
的最小值是________.
【答案】9
【解析】当 时, ,即 ,展开化为 ∵正项数列的前项和为 ∴数列是等比数列,首项为1,公比为4.
则
则
当且仅当即时等号成立.
故答案为9
15.【山西省太原市2018届高三上 期期末】已知数列的前项和为,且, , .
(1)求及数列的通项公式;
(2)设,求数列的最大项.
【解析】(1)由题得,解得,
故,
则时, ,令, 成立,
所以数列的通项公式为.
(2), .
当时, ,则,
当时, ,则,[ ]
故数列前3项依次递增,从第3项开始依次递减,
所以数列的最大项为.
16.【天津六校2017届高三上 期期中联考】已知各项都是正数的数列的前项和为,,
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设数列满足 ,,数列的前项和,求证 ;
(3) 若对任意恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
【解析】(1)时,
是以为首项,为公差的等差数列
(2)
, ,即
(3)由得, 当且仅当时,有最大值,
17.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,
即4a5=a3,于是q2==.
又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.
故等比数列{an}的通项公式为
an=×=(-1)n-1·.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn=1-=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1Sn-≥S2-=-=-.
综上,对于n∈N*,总有-≤Sn-≤.
所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为-.
18.公差不为零的等差数列{an}中,a1、a2、a5成等比数列,且该数列的前10项和为100.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an﹣10,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值.
【答案】(1)an=2n﹣1;(2)﹣25.
【解析】(1)∵公差不为零的等差数列{an}中,a1、a2、a5成等比数列,
且该数列的前10项和为100,
∴,
∴解得a1=1,d=2,
∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1.
19.已知数列满足 ,,且
,记集合.
(1)若,写出集合的所有元素;
(2)若集合存在一个元素时3的倍数,证明 的所有元素都是3的倍数;
(3)求集合的元素个数的最大值.
解析 (1),,.
(3)由,,,可归纳证明.因为是正整数,,所以是2的倍数.
从而当时,是的倍数. *
如果是3的倍数,由(2)知对所有正整数,是3的倍数,因此当时,,这时,中的元素的个数不超过5.如果不是3的倍数,由(2)知,对所有的正整数,不是3的倍数,因此当时,,这时的元素的个数不超过8.
当时,有8个元素.
综上可知,集合的元素个数的最大值为8.