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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习全国通用版高考必考题突破讲座(五)直线与圆锥曲线的综合应用2学案

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高考必考题突破讲座(五)‎ 直线与圆锥曲线的综合应用 题型特点 考情分析 命题趋势 ‎1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法.‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用.‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ,20‎ ‎2017·北京卷,18‎ ‎2017·江苏卷,17‎ ‎2017·山东卷,21‎ ‎1.求直线或曲线所过的定点.‎ ‎2.求与圆锥曲线有关的定值问题.‎ ‎3.求与圆锥曲线相关的面积、距离的最值.‎ ‎4.探求与圆锥曲线有关的存在性问题.‎ 分值:12~14分 ‎1.直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长问题 ‎(1)研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时,一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数,消元后,应注意讨论含x2 项的系数是否为零的情况,以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件,用数形结合的方法求解.‎ ‎(2)涉及弦的问题中,应熟练的利用根与系数关系、设而不解法简化运算、计算弦长;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.处理中点弦问题常用的求解之法①点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率, 借用中点公式即可求得斜率.②根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.‎ ‎2.范围、最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法,一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.‎ ‎3.定点、定值以及探索性问题 ‎(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法:①引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.②特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.‎ ‎(2)解决定值问题一般有两种方法:①从特殊情况入手,求出定值,再证明定值与变量无关;②直接计算、推理,在推理过程中消去变量,注意设而不求,整体思想和消元思想的运用.‎ ‎(3)解决探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论;②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;③当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要发散思维,采取另外合适的方法.‎ ‎【例1】 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程;‎ ‎(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.‎ 解析 (1)椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),∴c=1,‎ 又点P(0,1)在曲线C1上,∴b=1,a2=b2+c2=2,‎ 故椭圆C1的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+m.‎ 代入x2+2y2-2=0中,得(1+2k2)x2+4kmx+‎2m2‎-2=0.‎ 因为直线l与椭圆C1相切,‎ 所以Δ1=16k‎2m2‎-4(1+2k2)(‎2m2‎-2)=0.‎ 整理得2k2-m2+1=0. ①‎ 由消去y,得k2x2+(‎2km-4)x+m2=0.‎ 因为直线l与抛物线C2相切,‎ 所以Δ2=(‎2km-4)2-4k‎2m2‎=0,整理得km=1. ②‎ 由①②,解得或 所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.‎ ‎【例2】 (2017·浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围;‎ ‎(2)求|PA|·|PQ|的最大值.‎ 解析 (1)设直线AP的斜率为k,‎ 则k==x-,‎ 因为-0)的一个焦点为F(-1,0),左右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.‎ 解析 (1)因为F(-1,0)为椭圆的焦点,‎ 所以c=1,又b2=3,所以a2=4,所以椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)若l⊥x轴,则直线l的方程为x=-1,‎ 此时D,C,△ABD,△ABC面积相等,‎ ‎|S1-S2|=0.‎ 若直线l与x不垂直,设直线方程为y=k(x+1)(k≠0),‎ C(x1,y1),D(x2,y2),将y=k(x+1)代入3x2+4y2=12中,‎ 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,‎ 显然Δ>0,方程有根,x1+x2=-,x1x2=,‎ 此时|S1-S2|=2||y1|-|y2||=2|y1+y2|‎ ‎=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|‎ ‎==≤= ,所以|S1-S2|的最大值为.‎ ‎【例5】 (2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.‎ ‎(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;‎ ‎(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.‎ 解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.‎ 当t=4时,E的方程为+=1,A(-2,0).‎ 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.‎ 因此直线AM的方程为y=x+2,代入3x2+4y2=12中.‎ 得7y2-12y=0,解得y1=.‎ 因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.‎ ‎(2)由题意知t>3,k>0,A(-,0).‎ 将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得 ‎(3+tk2)x2+2·tk2x+t2k2-3t=0.‎ 由x1·(-)=得x1=,‎ 故|AM|=|x1+|=.‎ 由题设知,直线AN的方程为y=-(x+),‎ 故同理可得|AN|=.‎ 由2|AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).‎ 当k=时上式不成立,因此t=.‎ t>3等价于=<0,即<0.‎ 由此得或解得b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P‎2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.‎ 解析 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.‎ 又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.‎ 因此解得故C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设直线P‎2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.‎ 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,‎ 可得A,B的坐标分别为,.‎ 则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.‎ 从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1‎ 得(4k2+1)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0.‎ 由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.‎ 设A(x1,y1),B(x1,y2),则x1+x2=-,x1x2=.‎ 则k1+k2=+=+ ‎=.‎ 由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.‎ 即(2k+1)·+(m-1)·=0,‎ 解得k=-.‎ 当且仅当m>-1时,Δ>0,‎ 于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),‎ 所以l过定点(2,-1).‎ ‎【例7】 如图,椭圆有两顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于 C,D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.‎ ‎(1)当|CD|=时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当点P异于A,B两点时,求证:·为定值.‎ 解析 (1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1,c=1,∴a=,‎ ‎∴椭圆的方程为+x2=1,‎ 若l⊥x轴,则|CD|=2与已知矛盾,‎ ‎∴可设直线l的方程为y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2).‎ 联立化简得(k2+2)x2+2kx-1=0,‎ 则x1+x2=-,x1·x2=-.‎ ‎∴|CD|= ‎=· ‎==,解得k=±.‎ ‎∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y-1=0.‎ ‎(2)证明:依题意,l与x轴不垂直,‎ 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0,k≠±1),C(x1,y1),D(x2,y2),‎ ‎∴点P的坐标为.‎ 由(1)知x1+x2=-,x1x2=-,‎ 且直线AC的方程为y=(x+1),‎ 直线BD的方程为y=(x-1),‎ 将两直线方程联立,消去y,得=.‎ ‎∵-1b>0)的离心率为,以该椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长等于6.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设过C的左焦点F的直线l交C于A,B两点,是否存在常数λ,使||=λ·恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ 解析 (1)∵e==,∴c=a,‎ 又∵‎2a+‎2c=6,则a=2,c=1,b2=3,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)可得F(-1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 若l⊥x轴,则x1=-1时,不妨取y1=,||=3,‎ =,=,‎ ·=-,λ===-;‎ 若l与x轴不垂直,则设直线l的方程为y=k(x+1).‎ 代入3x2+4y2-12=0中整理得 ‎(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,‎ ‎∵Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=122(1+k2)>0,‎ ‎∴x1+x2=-,x1x2=,‎ ‎||=·=,‎ 又=(x1+1,y1),=(x2+1,y2),‎ ‎∴·=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(k2+1)(x1+1)(x2+1)=,∴=·=-.‎ 综上所述,存在实数λ=-,使||=λ·恒成立.‎ ‎1.已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=18x上,求实数m的值.‎ 解析 设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),‎ 则 由②-①得3(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),‎ 显然x1≠x2,∴·=3,即kMN·=3,‎ ‎∵M,N关于直线y=x+m对称,∴kMN=-1,∴y0=-3x0.‎ 又y0=x0+m,∴P,‎ 代入抛物线方程得m2=18·,‎ 解得m=0或-8,经检验都符合.‎ ‎2.(2018·陕西部分学校摸底)已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,O为坐标原点,直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为-p.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:>2.‎ 解析 (1)∵直线AB过点F且与抛物线C交于A,B两点,F,‎ ‎∴直线AB(不垂直于x轴)的方程可设为y=k(k≠0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y=2px1,y=2px2.‎ ‎∵直线OA与OB的斜率之积为-p,‎ ‎∴=-p,∴2=p2,得x1x2=4.‎ 由得k2x2-(k2p+2p)x+=0,‎ 其中Δ=(k2p+2p)2-k2·p2k2>0,‎ x1+x2=,x1x2=.又p>0,‎ ‎∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)设M(x0,y0),D(x3,y3),∵M为线段AB的中点,‎ ‎∴x0=(x1+x2)==,y0=k(x0-2)=.‎ ‎∴直线OD的斜率为kOD==,‎ ‎∴直线OD的方程为y=kODx=x,代入抛物线C:y2=8x,‎ 得x3=,∴=k2+2.‎ ‎∵k2>0,∴==k2+2>2.‎ ‎3.(2018·安徽十校联考)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.‎ ‎(1)求E的离心率;‎ ‎(2)设点P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求E的方程.‎ 解析 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=‎4a,‎ 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将l的方程y=x+c代入E的方程b2x2+a2y2=a2b2,‎ 化简得(a2+b2)x2+‎2a2cx+a2(c2-b2)=0,‎ 则x1+x2=,x1x2=.‎ 因为|AB|=|x2-x1|=,‎ 即a=,故a2=2b2,c2=a2-b2=b2,‎ 所以E的离心率e==.‎ ‎(2)设AB的中点N为(x0,y0),由(1)知 x0===-,y0=x0+c=.‎ 由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,‎ 得c=3,从而a=3,b=3.‎ 故椭圆E的方程为+=1.‎ ‎4.(2018·广东广州联考)已知点P是圆O:x2+y2=1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M,使=.‎ ‎(1)求点M的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过点C(m,0)作圆O的切线l,交(1)中曲线E于A,B两点,求△AOB面积的最大值.‎ 解析 (1)设点M(x,y),∵=,∴P为QM的中点,又PQ⊥y轴,∴P.‎ ‎∵点P是圆O:x2+y2=1上的点,∴2+y2=1,‎ 即点M的轨迹E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可知直线l与y轴不垂直,故可设l:x=ty+m,t∈R,‎ A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵l与圆O:x2+y2=1相切,∴=1,即m2=t2+1. ①‎ 联立消去x,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0.‎ 其中Δ=(2mt)2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2)+64=48>0.‎ ‎∴y1+y2=-,y1y2=. ②‎ ‎∴|AB|= ‎= ‎=.‎ 将①②代入上式得 ‎|AB|==,|m|≥1,‎ ‎∴S△AOB=|AB|·1=× ‎=≤=1,‎ 当且仅当|m|=,即m=±时,等号成立.‎ ‎∴(S△AOB)max=1.‎ ‎5.(2018·湖北七市联考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.‎ 解析 (1)∵双曲线的离心率为,∴椭圆的离心率=.‎ 又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点(a,0),‎ ‎∴a=2,∴c=,b=1,∴椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),‎ M(x1,y1),N(x2,y2).‎ 联立得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.‎ 又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,‎ 故·==k2,‎ ‎∴-+m2=0.‎ 由m≠0得k2=,解得k=±.‎ 又由Δ=64k‎2m2‎-16(1+4k2)(m2-1)‎ ‎=16(4k2-m2+1)>0,得0b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△AOB的面积为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.‎ 解析 (1)由题意得解得a=2,b=1.‎ 所以椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则x+4y=4.‎ 当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).‎ 令x=0,得yM=-,从而|BM|=|1-yM|=.‎ 直线PB的方程为y=x+1.‎ 令y=0,得xN=-,从而|AN|=|2-xN|=.‎ 所以|AN|·|BM|=· ‎= ‎==4.‎ 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|·|BM |=4.‎ 综上,|AN|·|BM|为定值.‎ ‎7.如图,已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且·=0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.‎ 解析 (1)圆M的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=3,‎ 故圆M的圆心为M(3,1),半径r=.‎ 由A(0,1),F(c,0)得直线AF:+y=1,即x+cy-c=0.‎ ‎∵直线AF与圆M相切,∴=.‎ ‎∴c=,a2=c2+1=3.‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1.‎ ‎(2)证明:由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,‎ 直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0),‎ 将y=kx+1代入椭圆C的方程x2+3y2=3并整理得:‎ ‎(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-,‎ 因此P的坐标为,‎ 即.‎ 将上式中的k换成-,得Q.‎ ‎∴直线l的方程为y=+,‎ 化简得直线l的方程为y=x-.‎ 因此直线l过定点N.‎

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