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- 2021-06-16 发布
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4
.
2
.
2
数列中的证明及存在性问题
-
2
-
等差
(
比
)
数列的判断与
证明
例
1
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n+
1
=
2
a
n
+n-
1,
且
a
1
=
1
.
(1)
求证
:
数列
{
a
n
+n
}
为等比数列
;
(2)
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
所以数列
{
a
n
+n
}
是首项为
2,
公比为
2
的等比数列
.
(2)
解
由
(1)
得
,
a
n
+n=
2
×
2
n-
1
=
2
n
,
所以
a
n
=
2
n
-n.
-
3
-
解题心得
1
.
判断和证明数列是等差
(
比
)
数列的三种方法
.
(1)
定义法
:
对于
n
≥
1
的任意自然数
,
验证
a
n+
1
-a
n
为
同一常数
.
(2)
通项公式法
:
若
a
n
=kn+b
(
n
∈
N
*
),
则
{
a
n
}
为等差数列
;
若
a
n
=pq
kn+b
(
n
∈
N
*
),
则
{
a
n
}
为等比数列
.
(3)
中项公式法
:
若
2
a
n
=a
n-
1
+a
n+
1
(
n
∈
N
*
,
n
≥
2),
则
{
a
n
}
为等差数列
;
若
=
a
n-
1
·a
n+
1
(
n
∈
N
*
,
n
≥
2),
则
{
a
n
}
为等比数列
.
2
.
对已知数列
a
n
与
S
n
的关系
,
证明
{
a
n
}
为等差或等比数列的问题
,
解题思路是
:
由
a
n
与
S
n
的关系递推出
n+
1
时的关系式
,
两个关系式相减后
,
进行化简、整理
,
最终化归为用定义法证明
.
-
4
-
对点训练
1
(2017
全国
Ⅰ
,
文
17)
设
S
n
为等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
,
已知
S
2
=
2,
S
3
=-
6
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式
;
(2)
求
S
n
,
并判断
S
n+
1
,
S
n
,
S
n+
2
是否成等差数列
.
解得
q=-
2,
a
1
=-
2
.
故
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=
(
-
2)
n
.
故
S
n+
1
,
S
n
,
S
n+
2
成等差数列
.
-
5
-
数列型不等式的证明
例
2
设
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和
,
a
n
>
0,
且
4
S
n
=a
n
(
a
n
+
2)
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(1)
解
4
S
n
=a
n
(
a
n
+
2),
①
即
2(
a
n
+a
n-
1
)
=
(
a
n
+a
n-
1
)(
a
n
-a
n-
1
)
.
∵
a
n
>
0,
∴
a
n
-a
n-
1
=
2,
∴
a
n
=
2
+
2(
n-
1)
=
2
n.
-
6
-
解题心得
要证明关于一个数列的前
n
项和的不等式
,
一般有两种思路
:
一是先求和
,
再对和式放缩
;
二是先对数列的通项放缩
,
再求数列的和
,
必要时对其和再放缩
.
-
7
-
对点训练
2
已知数列
{log
2
(
a
n
-
1)}(
n
∈
N
*
)
为等差数列
,
且
a
1
=
3,
a
3
=
9
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(1)
解
设等差数列
{log
2
(
a
n
-
1)}
的公差为
d.
由
a
1
=
3,
a
3
=
9,
得
log
2
2
+
2
d=
log
2
8,
即
d=
1
.
∴
log
2
(
a
n
-
1)
=
1
+
(
n-
1)
×
1
=n
,
即
a
n
=
2
n
+
1
.
-
8
-
数列中的存在性问题
例
3
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
a
1
=
1,
a
n
≠0,
a
n
a
n+
1
=
λ
S
n-
1
,
其中
λ
为常数
.
(1)
证明
:
a
n+
2
-a
n
=
λ
;
(2)
是否存在
λ
,
使得
{
a
n
}
为等差数列
?
并说明理由
.
(1)
证明
由题设
,
a
n
a
n+
1
=
λ
S
n
-
1,
a
n+
1
a
n+
2
=
λ
S
n+
1
-
1,
两式相减
,
得
a
n+
1
(
a
n+
2
-a
n
)
=
λ
a
n+
1
.
因为
a
n+
1
≠0,
所以
a
n+
2
-a
n
=
λ
.
-
9
-
(2)
解
由题设
,
a
1
=
1,
a
1
a
2
=
λ
S
1
-
1,
可得
a
2
=
λ
-
1
.
由
(1)
知
,
a
3
=
λ
+
1
.
令
2
a
2
=a
1
+a
3
,
解得
λ
=
4
.
故
a
n+
2
-a
n
=
4
.
由此可得
{
a
2
n-
1
}
是首项为
1,
公差为
4
的等差数列
,
a
2
n-
1
=
4
n-
3;{
a
2
n
}
是首项为
3,
公差为
4
的等差数列
,
a
2
n
=
4
n-
1
.
所以
a
n
=
2
n-
1,
a
n+
1
-a
n
=
2
.
因此存在
λ
=
4,
使得数列
{
a
n
}
为等差数列
.
解题心得
假设推理法
:
先假设所探求对象存在或结论成立
,
以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理
,
若由此推出矛盾
,
则假设不成立
,
即不存在
.
若推不出矛盾
,
即得到存在的结果
.
-
10
-
对点训练
3
(2017
云南昆明一中仿真
,
文
17
)
已知数列
{
a
n
}
和
{
b
n
},
a
1
a
2
a
3
…
a
n
=
(
n
∈
N
*
),
且
a
1
=
2,
b
3
-b
2
=
3,
数列
{
a
n
}
为等比数列
,
公比为
q.
(1)
求
a
3
及数列
{
b
n
}
的通项公式
;
(2)
令
c
n
=
,
是否存在正整数
m
,
n
(
m
≠
n
),
使
c
2
,
c
m
,
c
n
成等差数列
?
若存在
,
求出
m
,
n
的值
;
若不存在
,
请说明理由
.
-
11
-
所以存在正整数
m=
3,
n=
6,
使
c
2
,
c
m
,
c
n
成等差数列
.
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